Électromagnétisme dans les milieux

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UNIVERSITE MOHAMED PREMIER

Électromagnétisme dans les milieux

SMP-S4

2019-2020 FACULTE POLYDISCIPLINAIRE DE NADOR

Prof Adnane Noual

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Sommaire :

 Chapitre I :

Electrostatique des milieux (diélectriques)

 Chapitre II:

Magnétostatiques des milieux magnétiques

 Chapitre III:

Equations de Maxwell dans les milieux

 Chapitre IV:

Application : propagation guidée

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 Chapitre I :

Electrostatique des milieux (diélectriques)

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 Introduction:

 En général, on distingue deux grandes classes de matériaux : conducteurs et isolants (en fait il y a également les semi-conducteurs entre les deux !);

 Dans les métaux il y a des charges libres pouvant se mouvoir sans contrainte.

 A l’inverse, un isolant (ou diélectrique) ne contient pas de charges libres. Les charges sont en effet liées aux atomes ou molécules dont est fait le matériau (en question). Ces charges ne peuvent donc conduire l’électricité !

Schéma :

 Néanmoins, à défaut de se mouvoir librement, les charges liées dans un diélectrique peuvent se déplacer à l’intérieur de l’atome (ou molécule) auquel elles sont liées d’une quantité de l’ordre de l’angström (~ 𝟏 Å).

 Ces déplacements pris individuellement sont négligeables, mais pris collectivement (à l’échelle du matériau) ils permettent de rendre compte des propriétés électriques des matériaux diélectriques.

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 Introduction:

 Lorsque un champ électrique 𝑬 est appliqué à un matériau diélectrique, celui-ci acquiert une polarisabilité, c’est-à-dire qu’il acquiert un moment dipolaire électrique (macroscopique).

 La polarisabilité du matériau provient de ce qui se produit au niveau microscopique (au niveau des atomes / molécules) lorsque le champ 𝑬 est appliqué.

𝑬 = 𝟎

𝑬 ≠ 𝟎

 Le dipôle ainsi crée (caractérisé par le moment dipolaire 𝒑) est lié au champ électrique par une relation linéaire (en première approximation) comme suite :

𝒑 = 𝜶𝑬

 En effet, l’application de 𝑬 déplace les charges positives et négatives au niveau d’un atome (ou molécule) en les séparant, induisant ainsi un dipôle électrique (induit) atomique.

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 Introduction:

où 𝒑 est le moment du dipôle (induit). 𝜶 est la polarisabilité de l’atome caractérisant le degré de séparation de charges (ou de polarisation) suite à l’application de 𝑬. En générale, 𝜶 est un tenseur (sauf pour les atomes sphériques).

 Parmi les diélectriques, on distingue deux classes de matériaux: (i) matériaux polaires et (ii) matériaux non-polaires (ou apolaires).

 Les molécules (ou atomes) dans les matériaux polaires possèdent un moment dipolaire permanent, c’est-à-dire que, 𝒑 ≠ 𝟎 même en absence de champ électrique.

 A l’inverse, dans les matériaux non-polaires 𝒑 = 𝟎 sauf si 𝑬 ≠ 𝟎.

Exemple :

𝒑_𝟏

𝒑_𝟐

 Pour la molécule d’eau, le moment total est 𝒑 = 𝒑_𝟏 + 𝒑_𝟐 ≠ 𝟎, alors que pour la molécule 𝑪𝑶_𝟐, le moment est 𝒑 = 𝒑_𝟏 − 𝒑_𝟏 = 𝟎. Ainsi, la molécule d’eau est polaire et la molécule de dioxyde de carbone est apolaire.

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 Introduction:

 Néanmoins, la polarisation totale (macroscopique) d’un matériau polaire obtenue par la contribution moyennée de tous les atomes est nulle à cause de l’agitation thermique.

 En effet, ceci cause une orientation aléatoire du moment dipolaire de chaque atome conduisant à une somme totale nulle.

𝑯

_𝟐

𝑶

 L’application d’un champ électrique extérieur 𝑬 conduit à un alignement des moment dipolaires moléculaires le long de 𝑬 (en moyenne); cela vient du fait que l’énergie potentielle d’interaction entre le moment 𝒑 (d’une molécule) et 𝑬 est donnée par 𝑬_𝒑 = −𝒑. 𝑬.

 On voit effectivement que 𝑬_𝒑 = 𝑬_{𝒑𝒎𝒊𝒏} quand le dipôle est parallèle au champ électrique (𝒑//𝑬).

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 Introduction:

 En produisant un alignement des dipôles avec 𝑬, l’application de celui-ci produira un moment dipolaire total non nul.

𝑬 = 𝟎 Diélectrique non-polarisé

𝑬 ≠ 𝟎 Diélectrique polarisé

 Ce type de polarisation (alignement des dipôles moléculaires à un champ extérieur) est appelée polarisation d’orientation.

 Deux autres types de polarisations contribuent à la polarisation totale, il s’agit de la polarisation électronique et la polarisation ionique.

 Polarisation électronique : Elle provient du déplacement du nuage électronique (ou déformation du nuage électronique) et du noyau au niveau d’un atome suite à l’application de 𝑬.

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 Introduction:

 Polarisation ionique : Ce type de polarisation peut avoir lieu dans des diélectriques polaires comme dans 𝑯_𝟐𝑶 ou dans les cristaux ioniques comme dans 𝑵𝒂𝑪𝒍. Elle est produite par le déplacement des ions positifs suivant 𝑬 et du déplacement des ions négatifs dans le sens inverse de celui-ci.

𝑬 ≠ 𝟎

𝒑_𝒊𝒐𝒏

 Ainsi, de manière générale la polarisabilité d’un matériau donné pourra être exprimée en tenant compte des trois modes de polarisation, soit :

𝜶 = 𝜶_𝒊 + 𝜶_𝒆 + 𝜶_𝒐

NB. Dans des matériaux comme le silicium (Si) ou le germanium (Ge) où de telles liaisons ne sont pas présentes, la polarisation ionique n’aura donc pas lieu (𝜶_𝒊 = 𝟎) !

𝑬 = 𝟎

𝑬 ≠ 𝟎

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 Introduction:

 Définition:

 Considérons un milieu diélectrique polarisé (comme indiqué sur la figure ci-dessous) :

 Macroscopiquement, un élément de volume 𝒅𝝉 du diélectrique peut être vu à grande distance par rapport aux dimensions moléculaires, comme un dipôle dont le moment dipolaire 𝒅𝒑 est la somme vectorielle des moments élémentaires des molécules contenues dans 𝒅𝝉 (𝒅𝒑 = 𝒑_𝒊 _𝒂𝒕𝒊).

 Ainsi, un diélectrique peut être considéré comme une

distribution volumique de dipôles dans le vide. Diélectrique

𝑴

𝒅𝝉

𝒓

𝒓′

𝑸(𝒙^′, 𝒚^′, 𝒛^′)

 On caractérise cette distribution au point, 𝑸, se trouvant au centre du volume 𝒅𝝉 par le vecteur polarisation ou le moment diploaire électrique par unité de volume; il s’agit donc de la densité volumique de moments dipolaires électriques, soit :

𝑷 = 𝒅𝒑 𝒅𝝉

Le module de 𝑷, 𝑷 s’exprime en Coulomb par mettre carrée, 𝐂/𝒎^𝟐. De manière générale, 𝑷 dépend du point 𝑸 et du temps, mais si tel n’est pas le cas, alors la polarisation est dite uniforme dans ce cas.

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

I. Rappel (champ et potentiel crée par un dipôle électrique en un point éloigné :

 Avant d’aborder l’étude des champs et potentiels en présence de matériaux diélectriques ayant une polarisation permanente (polaires) ou induite (apolaires) par un champ électrique extérieur, on va rappeler les résultats du dipôle électrostatique.

 Dipôle électrique : un dipôle électrique est composé de deux charges +𝒒 et −𝒒 se trouvant à une distance 𝒂 l’un de l’autre. L’étude du dipôle électrique consiste à évaluer le champ électrostatique et potentiel qu’il crée en un point 𝑴 situé à une distance 𝒓 ≫ 𝒂.

𝒂

𝒖_𝒓 𝒖_𝜽

 Potentiel crée en 𝑴 par le dipôle:

Le potentiel au point 𝑴 s’écrit : 𝑽 𝑴 = 𝒒

𝟒𝝅𝜺_𝟎 𝟏

𝒓_𝑷 − 𝟏 𝒓_𝑵

D’autre part les relations suivantes :

𝒓_𝒑^𝟐 = 𝒓^𝟐 + (𝒂/𝟐)^𝟐−𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒓_𝑵^𝟐 = 𝒓^𝟐 + (𝒂/𝟐)^𝟐+𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 Soit donc :

𝟏

𝒓_𝒑 = 𝟏

𝒓 𝟏 + 𝒂 𝟐𝒓

𝟐

− 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒓

−𝟏/𝟐

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

I. Rappel (champ et potentiel crée par un dipôle électrique en un point éloigné : En posant, 𝜺 = ^𝒂

𝟐𝒓

𝟐 − ^{𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽}

𝒓 , on obtient sachant que 𝒓 ≫ 𝒂 : 𝟏

𝒓_𝒑 = 𝟏

𝒓 𝟏 − 𝟏

𝟐𝜺 + 𝟑

𝟖𝜺^𝟐 , 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝟏 + 𝜺 ^𝜶 = 𝟏 + 𝜶𝜺 + 𝜶 𝜶 − 𝟏

𝟐! 𝜺^𝟐 + ⋯ D’où :

𝟏

𝒓_𝒑 = 𝟏

𝒓 𝟏 − 𝟏 𝟐

𝒂 𝟐𝒓

𝟐

− 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽

𝒓 + 𝟑 𝟖

𝒂 𝟐𝒓

𝟐

− 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒓

𝟐

−. . .

De manière similaire, on obtient :

𝟏

𝒓_𝑵 = 𝟏

𝒓 𝟏 − 𝟏 𝟐

𝒂 𝟐𝒓

𝟐

+ 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽

𝒓 + 𝟑 𝟖

𝒂 𝟐𝒓

𝟐

+ 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒓

𝟐

−. . .

Si l’on se limite à l’ordre 2 en puissance de 𝒓, on aboutit à :

𝟏

𝒓_𝒑 = 𝟏

𝒓 𝟏 + 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽

𝟐𝒓 + 𝒂^𝟐 𝟒𝒓^𝟐

𝟑𝒄𝒐𝒔^𝟐𝜽 − 𝟏 𝟐

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

De même (pour 𝒓_𝑵):

𝟏

𝒓_𝑵 = 𝟏

𝒓 𝟏 − 𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽

𝟐𝒓 + 𝒂^𝟐 𝟒𝒓^𝟐

𝟑𝒄𝒐𝒔^𝟐𝜽 − 𝟏 𝟐

 Ainsi, le potentiel devient :

𝑽 𝑴 = 𝒒 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏

𝒓_𝑷 − 𝟏

𝒓_𝑵 = 𝒒𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐

 Par ailleurs, le moment dipolaire du dipôle est défini comme :

𝒑 = 𝒒𝑵𝑷 = 𝒒𝒂𝒖_𝒛

 Le potentiel devient donc :

𝑽 𝑴 = 𝒑𝒆_𝒓 𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐

Remarque: La relation qu’on vient de démontrer, indique que le potentiel crée par un dipôle électrostatique en un point donné (éloigné) décroît en 𝟏/𝒓^𝟐, tandis que le potentiel crée par une charge ponctuel diminue comme 𝟏/𝒓.

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Champ électrique crée par le dipôle au point 𝑴 :

 Pour calculer le champ électrique 𝑬, on utilise la relation liant le champ au potentiel en coordonnées sphériques, soit :

𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽 = −𝝏𝑽

𝝏𝒓 𝒆_𝒓 − 𝟏 𝒓

𝝏𝑽

𝝏𝜽𝒆_𝜽 − 𝟏 𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽

𝝏𝑽

𝝏𝝋𝒆_𝝋

 Le champ 𝑬 aura donc deux composantes comme suite : 𝑬_𝒓 = 𝟐𝒒𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽

𝟒𝝅𝜺_𝟎 𝟏 𝒓^𝟑 𝑬_𝜽 = 𝒒𝒂𝒔𝒊𝒏𝜽

𝟒𝝅𝜺_𝟎 𝟏 𝒓^𝟑 𝑬_𝝋 = 𝟎

 Soit encore :

𝑬 = 𝟐𝒑𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏

𝒓^𝟑 𝒆_𝒓 + 𝒑𝒔𝒊𝒏𝜽 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏 𝒓^𝟑𝒆_𝜽

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Champ électrique crée par le dipôle au point 𝑴 :

• Or, on a :

𝒆_𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒆_𝒓 − 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒆_𝜽 ⟹ 𝒔𝒊𝒏𝜽𝒆_𝜽 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒆_𝒓 − 𝒆_𝒛

• On obtient :

𝑬 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏

𝒓^𝟑( 𝟑𝒑𝒆_𝒓 𝒆_𝑟 − 𝒑𝒆_𝒛 )

𝑬 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

(𝟑 𝒑𝒓 𝒓𝒆_𝒓 − 𝒓^𝟐𝒑) 𝒓^𝟓

• Lignes de champ et lignes équipotentielles (du dipôle) :

Une ligne de champ par définition est tangente en tous point du champ 𝑬; donc si on considère un élément de déplacement 𝒅𝒍 d’une ligne de champ, alors on aura 𝒅𝒍 ∧ 𝑬 = 𝟎, soit :

𝒅𝒍 ∧ 𝑬 = 𝒅𝒓𝒆_𝒓 + 𝒓𝒅𝜽𝒆_𝜽 ∧ 𝟐𝒑𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏

𝒓^𝟑𝒆_𝒓 + 𝒑𝒔𝒊𝒏𝜽 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏

𝒓^𝟑𝒆_𝜽 = 𝟎

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

𝒅𝒍 ∧ 𝑬 = 𝒑𝒅𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏

𝒓^𝟑𝒆_𝝋 − 𝟐𝒑𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏

𝒓^𝟑𝒆_𝝋 = 𝟎 Soit :

D’où :

𝒅𝒓𝒔𝒊𝒏𝜽 − 𝟐𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽𝒅𝜽 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒓

𝒓 = 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽

𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒅𝜽 = 𝟐𝒅 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒔𝒊𝒏𝜽 𝒍𝒏 𝒓(𝜽) = 𝒍𝒏 𝒔𝒊𝒏^𝟐𝜽 + 𝒍𝒏 𝑲 ⟹ 𝒓(𝜽) = 𝑲𝒔𝒊𝒏^𝟐𝜽

où 𝑲 est un paramètre lié à la constante d’intégration qui prend des valeurs différentes d’une ligne de champ à l’autre. L’équation ainsi trouvée définit la famille de lignes de champ d’un dipôle.

 Surface équipotentielle : une surface équipotentielle est par définition l’ensemble de points se trouvant au même potentiel, c’est-à-dire, les points 𝑴 tels que :

𝑽 𝑴 = 𝒒𝒂𝒄𝒐𝒔𝜽

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐 = 𝒄𝒔𝒕𝒆

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 On obtient alors l’équation des équipotentielles comme suite : 𝒓 = 𝑲′ 𝒄𝒐𝒔𝜽

𝑲′ est un paramètre prenant une valeur donnée pour chaque surface.

 Forme des lignes de champ (et équipotentielles) :

𝒓 𝜽 = 𝑲𝒔𝒊𝒏^𝟐𝜽 ⟹ 𝒓^′ 𝜽 = 𝑲𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽

𝒓 𝜽 = 𝑲′ 𝒄𝒐𝒔𝜽

⟹ 𝒓^′ 𝜽 = − 𝑲^′𝒔𝒊𝒏𝜽 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽

𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Considérons un cas général où un dipôle électrique est soumis à un champ 𝑬 qui lui est pas nécessairement parallèle. Chacune des deux charges ressentira la force de Coulomb :

 Action d’un champ électrique sur un dipôle :

𝑭_𝑨 = −𝒒𝑬 𝑭_𝑩 = +𝒒𝑬

 La charge au point A, subit le moment de force 𝚪_𝑨 = 𝑶𝑨 ∧ 𝑭_𝑨 et la charge au point B est soumise à 𝚪_𝑩 = 𝑶𝑩 ∧ 𝑭_𝑩.

 Le moment total ressenti par le dipôle est donc donné par :

𝜞 = 𝑶𝑨 ∧ −𝒒𝑬 + 𝑶𝑩 ∧ 𝒒𝑬 = 𝒒𝑨𝑩 ∧ 𝑬 = 𝒑 ∧ 𝑬

 Ainsi, le couple que subit le dipôle tend à aligner celui-ci avec le champ électrique (c’est-à-dire rendre, 𝒑 ∕∕ 𝑬); dans ce cas l’énergie potentielle est minimale (comme vu précédemment) et le dipôle est dans une position d’équilibre stable.

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

II. Approximation dipolaire :

 Considérons une distribution de charges 𝒒_𝒊 (𝓥) (ponctuelles et immobiles) dans un volume (𝓥).

 Une charge 𝒒_𝒊 est repérée par le rayon vecteur 𝑹_𝒊 par rapport à une origine 𝑶;

 Celle-ci peut être choisie à l’intérieur de (𝓥) ou au voisinage de ce dernier (extérieur voisin).

 Or, on a :

𝑽 𝒓 = 𝒒_𝒊 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟏 𝒓_𝒊

𝒊

 Le potentiel, 𝑽(𝒓), crée par la distribution de charges au point 𝑴(𝒓), tel que 𝒓 ≫ 𝑹_𝒊 est donné par :

𝒓_𝒊 = 𝒓 − 𝑹_𝒊 = 𝒓^𝟐 + 𝑹_𝒊^𝟐 − 𝟐𝒓𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊 ⟹ 𝟏

𝒓_𝒊 = 𝒓^𝟐 + 𝑹_𝒊^𝟐 − 𝟐𝒓𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊 ⁻

𝟏 𝟐

𝟏

𝒓_𝒊 = 𝟏

𝒓 𝟏 + 𝑹_𝒊^𝟐

𝒓^𝟐 − 𝟐𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊 𝒓

−𝟏/𝟐

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Puisque on suppose 𝒓 ≫ 𝑹_𝒊, on peut effectuer un développement limité, car en effet on a :

𝛆 = 𝑹_𝒊^𝟐

𝒓^𝟐 − 𝟐𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊

𝒓 ≪ 𝟏

 On utilisera donc:

(𝟏 + 𝜺) ^−𝟏/𝟐= 𝟏 − 𝜺 𝟐 + 𝟑

𝟖𝜺^𝟐 + ⋯

 D’où :

𝟏

𝒓_𝒊 = 𝟏

𝒓 𝟏 − 𝟏 𝟐

𝑹_𝒊^𝟐

𝒓^𝟐 − 𝟐𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊

𝒓 + 𝟑

𝟖

𝑹_𝒊^𝟐

𝒓^𝟐 − 𝟐𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊 𝒓

𝟐

+ ⋯

𝟏

𝒓_𝒊 = 𝟏

𝒓 𝟏 − 𝑹_𝒊^𝟐

𝟐𝒓^𝟐 − 𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊

𝒓 + 𝟑 𝟖

𝑹_𝒊^𝟐

𝟐𝒓^𝟐 − 𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊 𝒓

𝟐

+ ⋯

𝟏

𝒓_𝒊 = 𝟏

𝒓 𝟏 + 𝑹_𝒊

𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊 + 𝑹_𝒊^𝟐 𝒓^𝟐

𝟑𝒄𝒐𝒔^𝟐𝜽_𝒊 − 𝟏

𝟐 + 𝑹_𝒊^𝟑

𝒓^𝟑 … + 𝑹_𝒊^𝟒

𝒓^𝟒 … + ⋯

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Le potentiel crée par la distribution de charge devient : 𝑽 𝒓 = 𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎 𝒒_𝒊

𝒓_𝒊 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝒊

𝒒_𝒊 _𝒊

𝒓 + 𝒒_𝒊 _𝒊𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊

𝒓^𝟐 + 𝒒_𝒊 _𝒊𝑹_𝒊^𝟐 𝟑𝒄𝒐𝒔^𝟐𝜽_𝒊 − 𝟏

𝟐𝒓^𝟑 + ⋯

 Le premier terme, 𝑽_𝟏 = ^𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎 𝒒_𝒊 _𝒊

𝒓 , correspond au potentiel crée au point 𝑴 dans le cas où toute la distribution de charge auraient été placées au point origine 𝑶, on parle de terme mono-polaire.

 Le second terme peut être réécrit comme :

𝑽_𝟐 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝒒_𝒊 _𝒊𝑹_𝒊𝒄𝒐𝒔𝜽_𝒊

𝒓^𝟐 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

( 𝒒_𝒊 _𝒊𝑹_𝒊). 𝒓 𝒓^𝟑

 La quantité, 𝒑 = 𝒒_𝒊 _𝒊𝑹_𝒊, définit le moment dipolaire total de la distribution de charge, et de ce fait 𝑽_𝟐 devient :

𝑽_𝟐 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝒑. 𝒓 𝒓^𝟑

 Ce potentiel est ainsi nommé le terme dipolaire.

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Le troisième terme, 𝑽_𝟑, variant en 𝟏/𝒓^𝟑 est un terme quadripolaire.

 Un quadripôle est défini comme étant un ensemble de charges situés dans un volume petit par rapport aux distance où l’on calcul le potentiel, et de sorte que 𝒒_𝒊 _𝒊 = 𝟎 et 𝒒_𝒊 _𝒊𝑹_𝒊 = 𝟎.

 Considérons un quadripôle constitué de trois charges linéaire +𝒒, −𝟐𝐪, 𝐞𝐭 + 𝐪, situées en 𝒛 = +𝒂, 𝟎 𝒆𝒕 − 𝒂 respectivement.

 On démontre que le potentiel dû à ce quadripôle est :

𝑽_𝟑(𝑴) = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝟐𝒒𝒂^𝟐(𝟑𝒄𝒐𝒔^𝟐𝜽 − 𝟏) 𝟐𝒓^𝟑

 Il s’ensuit que le terme 𝑽_𝟑 produit par la distribution de charges est assimilable au potentiel qu’aurait été crée par un quadripôle placé au point origine 𝑶.

 En définitif, si l’on se limite au deuxième terme du développement, une distribution de charges statiques peut être assimilée à la superposition d’une charge ponctuelle 𝑸 = 𝒒_𝒊 _𝒊 et d’un dipôle électrique tous deux placés au point 𝑶.

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Si la distribution de charges est globalement neutre, 𝑸 = 𝒒_𝒊 _𝒊 = 𝟎, alors le terme dominant dans la série sera celui d’un dipôle placé à l’origine dont le moment dipolaire est 𝒑 = 𝒒_𝒊 _𝒊𝑹_𝒊. Dans ce cas de figure, on parle d’approximation dipolaire.

 Le potentiel et champ électrique produits par la distribution de charge dans l’approximation dipolaire sont donc :

𝑽 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝒑. 𝒓 𝒓^𝟑

𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅[𝑽 𝒓 ] = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

(𝟑 𝒑𝒓 𝒓𝒆_𝒓 − 𝒓^𝟐𝒑) 𝒓^𝟓

 Remarque : par analogie au barycentre d’une distribution de masse ponctuelles en mécanique, on définit le barycentre d’une distribution de charges ponctuelles.

 Le barycentre des charges positives et négatives peut être défini séparément comme suite :

𝑶𝑮_𝑷 = _𝒒_𝒊_>𝟎𝒒_𝒊𝑹_𝒊 𝒒_𝒊

𝒒_𝒊>𝟎

= _𝒒_𝒊_>𝟎𝒒_𝒊𝑹_𝒊 𝒒 > 𝟎

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 De la même manière, le barycentre des charges négatives : 𝑶𝑮_𝑵 = _𝒒_𝒊_<𝟎𝒒_𝒊𝑹_𝒊

𝒒_𝒊

𝒒_𝒊<𝟎

= _𝒒_𝒊_<𝟎𝒒_𝒊𝑹_𝒊

−𝒒

 Le moment dipolaire peut réécrit comme :

𝒑 = 𝒒_𝒊𝑹_𝒊 = 𝒒_𝒊𝑹_𝒊

𝒒_𝒊<𝟎

+ 𝒒_𝒊𝑹_𝒊

𝒒_𝒊>𝟎

= −𝒒𝑶𝑮_𝑵 + 𝒒𝑶𝑮_𝑷

𝒊

= 𝒒 𝑶𝑮_𝑷 − 𝑶𝑮_𝑵

 Cela, signifie qu’au sein de la distribution de charges, à chaque fois que le barycentre des charges positives et négatives ne coïncident pas, il y a apparition d’un moment dipolaire.

III. Potentiel et champ crées par un diélectrique polarisé en un point extérieur :

 On a vu précédemment qu’un diélectrique polarisé (sous l’effet d’un champ électrique extérieur par exemple) peut être considéré comme une distribution volumique de dipôles dans le vide.

• Un élément de volume, 𝒅𝝉, du diélectrique est caractérisé par le moment dipolaire élémentaire 𝒅𝒑 (somme des moments dipolaires moyens moléculaires).

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Soit un matériau diélectrique polarisé occupant le volume 𝑽 (et délimité par la surface 𝑺) comme indiqué sur le schéma ci-contre.

 L’élément de volume 𝒅𝝉 dont le centre est le point 𝑸(𝒙^′, 𝒚^′, 𝒛^′) est assimilé à un dipôle de moment 𝒅𝒑 = 𝑷𝒅𝝉; où 𝑷 est le vecteur polarisation au point 𝑸(𝒙^′, 𝒚^′, 𝒛^′).

 Le potentiel élémentaire crée au point 𝑴 par 𝒅𝝉 est donc donné par :

𝒅𝑽 𝑴 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝒅𝒑. 𝒓

𝒓^𝟑 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝑷𝒅𝝉𝒓 𝒓^𝟑

 D’autre part, on a :

𝒓 = 𝒙 − 𝒙^′ 𝒊 + 𝒚 − 𝒚^′ 𝒋 + (𝒛 − 𝒛^′)𝒌

 Soit :

𝒈𝒓𝒂𝒅_𝑸 𝟏

𝒓 = 𝒙 − 𝒙^′ 𝒊

𝒓^𝟑 + 𝒚 − 𝒚^′ 𝒋

𝒓^𝟑 + 𝒛 − 𝒛^′ 𝒌

𝒓^𝟑 = 𝒓 𝒓^𝟑

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Le potentiel élémentaire devient ainsi : 𝒅𝑽 𝑴 = 𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎 𝑷𝒅𝝉. 𝒈𝒓𝒂𝒅_𝑸 𝟏 𝒓

 Le potentiel total crée par tout le matériau diélectrique s’obtient simplement en intégrant sur tout le volume 𝝉, soit :

𝑽 𝑴 = 𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎 𝑷. 𝒈𝒓𝒂𝒅_𝑸 𝟏

𝒓 𝒅𝝉

𝝉

 Par ailleurs, on a la relation suivante :

𝒅𝒊𝒗 𝒇𝑨 = 𝒇𝒅𝒊𝒗𝑨 + 𝑨. 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒇

 L’application de cette relation au potentiel donne :

𝑽 𝑴 = 𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎 𝑷. 𝒈𝒓𝒂𝒅_𝑸 𝟏

𝒓 𝒅𝝉

𝝉

= 𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒅𝒊𝒗 𝑷

𝝉 𝒓

𝒅𝝉 + 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

−𝒅𝒊𝒗𝑷 𝒓 𝒅𝝉

𝝉

 On peut appliquer le théorème de Green-Ostrogradski à la première intégrale;

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Rappelons que ce théorème dit que :

𝒅𝒊𝒗𝑨 = 𝑨𝒅𝑺

𝑺 𝝉

 𝑺 est la surface limitant le volume 𝝉 et 𝒅𝑺 = 𝒅𝑺𝒏, où 𝒏 est le vecteur unitaire normale à la surface, 𝐝𝑺, et dirigé vers l’extérieur.

 L’application du théorème conduit à :

𝑽 𝑴 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝑷𝒅𝑺

𝑺 𝒓

+ 𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎

−𝒅𝒊𝒗𝑷 𝒓 𝒅𝝉

𝝉

 C’est le potentiel crée par le diélectrique polarisé en un point extérieur 𝑴.

 Remarque : le calcul du potentiel est largement simplifié dans le cas d’un diélectrique uniformément polarisé, puisque dans ce cas le vecteur polarisation ne dépend pas du point 𝑸(𝒙^′, 𝒚^′, 𝒛^′); on a dans ce cas :

𝑽 𝑴 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝑷𝒅𝝉𝒓 𝒓^𝟑

𝝉

= 𝑷 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝒓 𝒓^𝟑𝒅𝝉

𝝉

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 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Densités de charges liées (ou charges de polarisation) :

 On note que le potentiel crée par un diélectrique polarisé (en un point 𝑴 extérieur) correspond à la somme de deux potentiels crées par des distributions de charges fictives de volume et de surface, placées dans le vide.

 On a en effet, si on pose :

𝝆_𝒑𝒐𝒍 = −𝒅𝒊𝒗𝑷 = − 𝝏𝑷_𝒙

𝝏𝒙′ + 𝝏𝑷_𝒚

𝝏𝒚′ + 𝝏𝑷_𝒛

 Et : 𝝏𝒛′

𝝇_𝒑𝒐𝒍 = 𝑷 . 𝒏

 L’expression du potentiel devient :

𝑽 𝑴 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝝇_𝒑𝒐𝒍𝒅𝑺

𝑺 𝒓

+ 𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝝆_𝒑𝒐𝒍 𝒓 𝒅𝝉

𝝉

 Ainsi, un diélectrique polarisé peut effectivement être représenté par une distribution volumique et surfacique de charges fictives, situées dans le vide, comme suite :

(30)

 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Diélectrique polarisé  Distribution de charges fictives dans le vide

 Remarques :

• Puisque le diélectrique est par définition globalement neutre, il faut que la charge totale obtenue par les distributions de charges fictives soit nulle; or celle-ci est égale à :

𝑸_𝒕𝒐𝒕 = 𝝆_𝒑𝒐𝒍𝒅𝝉

𝝉

+ 𝝇_𝒑𝒐𝒍𝒅𝑺

𝑺

= −𝒅𝒊𝒗𝑷𝒅𝝉 + 𝑷𝒅𝑺

𝑺

= 𝟎

𝝉

(𝒕𝒉é𝒐𝒓è𝒎𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒆)

• Si par un procédé quelconque, des charges étrangères sont apportées au matériau (elles seront dites libres), alors le potentiel devient simplement :

(31)

 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

𝑽 𝑴 = 𝟏 𝟒𝝅𝜺_𝟎

(𝝇_𝒑𝒐𝒍+𝝇_𝒍)

𝒓 𝒅𝑺

𝑺

+ 𝟏

𝟒𝝅𝜺_𝟎

(𝝆_𝒑𝒐𝒍+𝝆_𝒍) 𝒓 𝒅𝝉

𝝉

où, 𝝇_𝒍 et 𝝆_𝒍 sont respectivement les densités de charges surfaciques et de volume libres (apportées de l’extérieur).

• Dans le cas où le vecteur polarisation est uniforme, on a :

𝝆_𝒑𝒐𝒍 = −𝒅𝒊𝒗𝑷 = 𝟎 𝒆𝒕 𝝇_𝒑𝒐𝒍 = 𝑷 . 𝒏 ≠ 𝟎

• C’est-à-dire que seules les charges de polarisation surfacique subsistent; il ne peut y avoir donc dans ce cas de distribution volumique de charge liées (ou de polarisation).

 Signification physique de 𝝇_𝒑𝒐𝒍 et de 𝝆_𝒑𝒐𝒍 :

 On démontre qu’en réalité les densités de charges fictives, 𝝇_𝒑𝒐𝒍 et de 𝝆_𝒑𝒐𝒍, introduites par un procédé d’équivalence mathématique recouvrent une vraie réalité physique.

 En effet, 𝝇_𝒑𝒐𝒍 et 𝝆_𝒑𝒐𝒍 correspondent à de vraie densités de charges dites liées (ou de polarisation) qui peuvent prendre naissance dans un diélectrique (polarisé).

(32)

 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Pour calculer le champ électrique crée en un point M par le diélectrique polarisé, on peut dans le cas où le potentiel électrique est connu, utiliser :

𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽

 Autrement, si tel n’est pas le cas, on utilisera l’équivalence évoqué précédemment, soit :

 L’élément de volume 𝒅𝝉 (du schéma ci-dessus) contient la quantité de charge 𝒅𝑸 = 𝝆_𝒑𝒅𝝉, et de ce fait il crée au point 𝑴, le champ électrostatique élémentaire :

𝒅𝑬_𝟏 = 𝝆_𝒑𝒅𝝉 𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐

𝒓

𝒓 = 𝝆_𝒑𝒅𝝉 𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐 𝒆_𝒓

𝒅𝝉

𝑸(𝒙^′, 𝒚^′, 𝒛^′)

𝒓 𝑴

𝒅𝑺 𝒓′

 L’élément de surface 𝒅𝐒 contient la quantité de charge 𝒅𝑸 = 𝝇_𝒑𝒅𝑺, et crée donc au point 𝑴, le champ :

𝒅𝑬_𝟐 = 𝝇_𝒑𝒅𝑺

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′𝟐𝒆_𝒓′

(33)

 Champ et potentiel crées par un diélectrique polarisé :

 Ainsi, le champ total est :

𝑬 = 𝝆_𝒑𝒅𝝉

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐𝒆_𝒓 +

𝝉

𝝇_𝒑𝒅𝑺

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′𝟐 𝒆_𝒓′

𝑺

 Si des charges libres sont introduites dans le diélectrique, ils doivent être prises en compte dans le calcul de 𝑬, soit :

𝑬 = 𝝆_𝒑 + 𝝆_𝒍 𝒅𝝉

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐 𝒆_𝒓 +

𝝉

𝝇_𝒑 + 𝝇_𝒍 𝒅𝑺 𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′𝟐 𝒆_𝒓′

𝑺

 Champ électrique à l’intérieur d’un diélectrique :

 Les atomes ou molécules dans un matériau diélectrique (constituées de charges électriques liées) produisent à cette échelle un champ électrique grandement fluctuant dans l’espace et dans le temps (en termes d’intensité et de direction) à cause de l’agitation thermique.

 Dans le cas d’un diélectrique polarisé, les champs crées par les dipôles à l’échelle atomique (ou moléculaire) sont eux même (également) très variable d’un point à l’autre et d’un instant à l’autre !

(34)

 Champ électrique à l’intérieur d’un diélectrique :

 Ceci, rend extrêmement délicat la possibilité de connaître ce champ électrique microscopique.

 Néanmoins, la connaissance de celui-ci n’est aucunement d’une grande utilité à notre échelle.

 En effet, le champ qui nous intéresse que cela soit à l’intérieur ou à l’extérieur du diélectrique, est le champ moyenné dans l’espace et dans le temps (intervenant dans les équations de Maxwell) à partir du champ microscopique, 𝑬_{𝒎𝒂𝒄𝒓𝒐} = 𝑬_{𝒎𝒊𝒄𝒓𝒐 𝒓,𝒕}.

 Calcul du champ électrique (macroscopique) :

 Pour calculer le champ 𝑬 à l’intérieur d’un diélectrique, on va suivre la procédure suivante :

 Soit la figure ci-contre dans laquelle un diélectrique est représenté par un volume 𝝉′ de surface extérieur 𝑺′; à l’intérieur de ce volume on considère une sphère imaginaire de volume 𝝉′′ et de surface extérieur 𝑺′′.

 Clairement, le champ électrique macroscopique (moyenné) crée au point 𝑴, est la somme de deux termes, comme suite:

𝑬 𝑴 = 𝑬^′ + 𝑬′′

(35)

 Champ électrique à l’intérieur d’un diélectrique :

 Où, 𝑬′ est le champ électrique créé par les dipôles (moléculaires) éloignés, c’est-à-dire, situés à l’extérieur de 𝑺′′, et 𝑬′′ est le champ créé par les dipôles (moléculaires) situés à l’intérieur de 𝑺′′ (proche de 𝑴).

 Concernant 𝑬′, puisque les charges qui le crée sont éloignés, on peut donc utiliser les distributions de charges 𝝆_𝒑 et 𝝇_𝒑 comme si le point 𝑴 était situé à l’extérieur; ainsi les charges contenues dans 𝝉′, 𝑺′ et 𝑺′′ créent le champ :

𝑬^′ = 𝝆_𝒑𝒅𝝉′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐𝒆_𝒓 +

𝝉′

𝝇_𝒑𝒅𝑺′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′𝟐𝒆_𝒓′

𝑺′

+ 𝝇_𝒑𝒅𝑺′′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′′𝟐𝒆_𝒓′′

𝑺′′

 Or, on montre que le dernier terme est donné par :

𝝇_𝒑𝒅𝑺′′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′′𝟐𝒆_𝒓′′ = 𝑷 𝟑𝜺_𝟎

𝑺′′

 D’autre part, on démontre qu’étant donné que la polarisation est pratiquement uniforme sur la sphère 𝑺′′, il vient que :

(36)

 Champ électrique à l’intérieur d’un diélectrique :

 Ce qui donne :

𝑬^′′ = − 𝑷 𝟑𝜺_𝟎

𝑬 𝑴 = 𝑬^′ + 𝑬^′′ = 𝝆_𝒑𝒅𝝉′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐𝒆_𝒓 +

𝝉′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′𝟐𝒆_𝒓′

𝑺′

 Si, 𝝉 = 𝝉′ ∪ 𝝉′′, alors on peut écrire que :

𝝆_𝒑𝒅𝝉

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐𝒆_𝒓 = 𝝆_𝒑𝒅𝝉′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐𝒆_𝒓 + 𝝆_𝒑𝒅𝝉′′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐𝒆_𝒓

𝝉′′

𝝉′

𝝉

= 𝝆_𝒑𝒅𝝉′

𝝉′

 Car en effet, à cause de la symétrie sphérique, le champ électrique crée par la distribution de charge à l’intérieur de la sphère 𝑺′′, au centre de celle-ci (point 𝑴) est nul ( ^𝝆^𝒑^{𝒅𝝉′′}

𝝉′ = 𝟎). D’où :

𝑬 𝑴 = 𝑬^′ + 𝑬^′′ = 𝝆_𝒑𝒅𝝉

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐𝒆_𝒓 +

𝝉

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′𝟐𝒆_𝒓′

𝑺′

(37)

 Champ électrique à l’intérieur d’un diélectrique :

 On obtient, donc la même formule pour calculer le champ électrique en un point extérieur par un diélectrique polarisé !

 En somme, pour calculer le champ électrique (et ou le potentiel électrique) crée par un diélectrique polarisé en un point intérieur ou extérieur (à celui-ci), on procède comme suite :

 Remarque :

• Si des charges étrangères (libres) sont apportées au diélectrique (de densité, 𝝆_𝒍 et 𝝇_𝒍), alors le champ électrique en un point 𝑴 (intérieur ou extérieur) devient :

𝑬 𝑴 = (𝝆_𝒑+𝝆_𝒍)𝒅𝝉

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^𝟐 𝒆_𝒓 +

𝝉

(𝝇_𝒑+𝝇_𝒍)𝒅𝑺′

𝟒𝝅𝜺_𝟎𝒓^′𝟐 𝒆_𝒓′

𝑺′

 On remplace le diélectrique par une distribution volumique et surfacique de charge fictives, telles que :

 𝝆_𝒑 = −𝒅𝒊𝒗𝑷 est la densité de charges volumique.

 𝝇_𝒑 = 𝑷. 𝒏 est la densité surfacique de charge.

 On place les deux distributions de charge dans le vide, 𝜺_𝟎.

(38)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

 Dans le cas où un diélectrique polarisé possède (en plus des charges de polarisation) des charges libres de densité 𝝆_𝒍, le théorème de Gauss en forme local s’écrit :

𝒅𝒊𝒗𝑬 = 𝝆_𝒕𝒐𝒕

𝜺_𝟎 = 𝝆_𝒍 + 𝝆_𝒑𝒐𝒍 𝜺_𝟎

 Soit, en utilisant 𝝆_𝒑𝒐𝒍 = −𝒅𝒊𝒗𝑷 :

𝒅𝒊𝒗𝑬 = −𝒅𝒊𝒗𝑷

𝜺_𝟎 + 𝝆_𝒍

𝜺_𝟎 ⟹ 𝑫𝒊𝒗 𝜺_𝟎𝑬 + 𝑷 = 𝝆_𝒍

 On définit le vecteur déplacement électrique comme :

𝑫 = 𝜺_𝟎𝑬 + 𝑷 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒅𝒊𝒗𝑫 = 𝝆_𝒍

 Le module 𝑫 , s’exprime en Coulomb (comme pour 𝑷 ) par mettre au carré (𝑪/𝒎^𝟐).

 L’application du théorème de la divergence au vecteur 𝑫, donne :

𝑫𝒅𝑺

𝑺

= 𝒅𝒊𝒗𝑫𝒅𝑽

𝑽

= 𝝆_𝒍𝒅𝑽 = 𝑸_𝒍

𝑽

Où, 𝑸_𝒍 est la charge totale libre contenue dans le volume V (délimité par la surface S).

(39)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

 Cette équation dit que le flux du vecteur déplacement électrique à travers une surface fermée, 𝑺, est égale à la charge totale « libre » contenue dans cette surface.

 En d’autres termes, cette équation traduit le théorème de Gauss en forme intégrale relatif au vecteur 𝑫. En particulier, l’équation permet le calcul du vecteur 𝑫 dans un diélectrique en faisant intervenir les charges libres seulement, 𝝆_𝒍.

 Remarques:

 Pour le calcul de 𝑫 ou 𝑬 dans un diélectrique on choisit parmi les méthodes suivantes :

 Méthode de densité de charges: on utilise les densité de charges 𝝆_𝒑𝒐𝒍 et 𝝇_𝒑𝒐𝒍 pour calculer le champ 𝑬 et on en déduit 𝑫.

 On applique le théorème de Gauss pour calculer 𝑫.

 Le champ électrique crée par un diélectrique polarisé dérive d’un potentiel, 𝑬 =

− 𝒈𝒓𝒂𝒅𝑽, ce qui signifie qu’en tout point on a : 𝒓𝒐𝒕𝑬 = 𝟎

 Dans un diélectrique polarisé et non chargé, on a :

𝝆_𝒍 = 𝟎, 𝝇_𝒍 = 𝟎 ⟹ 𝒅𝒊𝒗𝑫 = 𝟎 ⟹ 𝑫𝒅𝑺

𝑺

= 𝟎

 Dans ce cas, on dit que 𝑫 est à flux conservatif.

(40)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

 Conditions de continuité à la surface de séparation de deux milieux diélectriques :

 On souhaite à présent déterminer les relations liant les valeurs des champs 𝑬 et 𝑫 à la surface de séparation (𝑺) de deux milieux diélectriques donnés.

 Soit deux milieux (1) et (2) (figure ci-contre) portants les densités volumiques de charges 𝝆_𝒍𝟏 et 𝝆_𝒍𝟐 ; la surface de séparation est supposée également chargée avec une densité surfacique de charge 𝝇_𝒍.

 On se place au voisinage de la surface de séparation et on écrit le vecteur 𝑫 dans chaque milieu de part et d’autre de 𝑺 comme :

𝑫_𝟏 = 𝑫_𝟏𝒏𝒏_𝟏𝟐 + 𝑫_𝟏𝒕𝒕 𝑫_𝟐 = 𝑫_𝟐𝒏𝒏_𝟏𝟐 + 𝑫_𝟐𝒕𝒕

 Appliquons le théorème de Gauss sur un cylindre de hauteur 𝟐𝒉 infiniment petite et dont les bases ont des surfaces 𝑺_𝟏𝒃 et 𝑺_𝟐𝒃 sont orientées (vers l’extérieur) vers chacun des milieux où elles se trouvent (figure ci-contre).

 Les surfaces 𝑺_𝟏𝒃 et 𝑺_𝟐𝒃 sont considérées suffisamment petites pour que les composantes normales de 𝑫 y soient constantes.

(41)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

 La charge libre contenue dans le cylindre est donnée par 𝑸_𝒍 = 𝝇_𝒍𝑺_𝒃 (avec 𝑺_𝟏𝒃 = 𝑺_𝟐𝒃 = 𝑺_𝒃). Le flux sortant du cylindre est :

𝝓_{𝒔𝒐𝒓𝒕} = 𝑫𝒅𝑺 = 𝑫𝒅𝑺

𝑺_𝟏𝒃

+

𝑺

𝑫𝒅𝑺 + 𝝓_𝑳𝒂𝒕

𝑺_𝟐𝒃

𝝓_{𝒔𝒕𝒐𝒕} = 𝑫_𝟏𝒏𝒏_𝟏𝟐𝑺_𝟏𝒃 + 𝑫_𝟐𝒏𝒏_𝟏𝟐𝑺_𝟐𝒃 + 𝝓_𝑳𝒂𝒕

𝝓_{𝒔𝒕𝒐𝒕} = −𝑫_𝟏𝒏𝑺_𝟏𝒃 + 𝑫_𝟐𝒏𝑺_𝟐𝒃 + 𝝓_𝑳𝒂𝒕

 Par ailleurs, le théorème de Gauss stipule que :

𝝓_{𝒔𝒕𝒐𝒕} = 𝑫𝒅𝑺 = 𝑸_𝒍 = 𝝇_𝒍𝑺_𝒃

𝑺

 D’autre part quand 𝒉 → 𝟎 (cylindre infiniment petit), le flux latéral est négligeable, 𝝓_𝑳𝒂𝒕 → 𝟎. On obtient alors :

𝑫_𝟐𝒏 − 𝑫_𝟏𝒏 = 𝝇_𝒍 𝒐𝒖 𝑫_𝟐 − 𝑫_𝟏 . 𝒏_𝟏𝟐 = 𝝇_𝒍

 Cela signifie que la composante normale de 𝑫 est discontinue en présence de charges libres à la surface (𝝇_𝒍).

(42)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

 Remarque:

 Si l’on combine l’équation reliant le vecteur déplacement électrique au champ électrique, 𝑫 = 𝜺_𝟎𝑬 + 𝑷, avec l’équation qu’on vient d’établir, on obtient :

𝑫_𝟐 − 𝑫_𝟏 . 𝒏_𝟏𝟐 = 𝝇_𝒍 ⟹ 𝜺_𝟎 𝑬_𝟐 − 𝑬_𝟏 . 𝒏_𝟏𝟐 + 𝑷_𝟐. 𝒏_𝟏𝟐 − 𝑷_𝟏. 𝒏_𝟏𝟐 = 𝝇_𝒍

 Par ailleurs, on a vu précédemment qu'une densité de charge surfacique de polarisation (à la surface d’un diélectrique polarisé) est donné par 𝑷. 𝒏 = 𝝇_𝒑𝒐𝒍, de sorte qu’on ait :

𝑷_𝟐. 𝒏_𝟏𝟐 = −𝝇_{𝒑𝒐𝒍𝟐}

𝑷_𝟏. 𝒏_𝟏𝟐 = 𝝇_{𝒑𝒐𝒍𝟏}

 L’équation devient donc :

𝜺_𝟎 𝑬_𝟐 − 𝑬_𝟏 . 𝒏_𝟏𝟐 − 𝝇_{𝒑𝒐𝒍𝟐} − 𝝇_{𝒑𝒐𝒍𝟏} = 𝝇_𝒍

 Soit :

𝜺_𝟎 𝑬_𝟐 − 𝑬_𝟏 . 𝒏_𝟏𝟐 = 𝝇_𝒍 + 𝝇_{𝒑𝒐𝒍𝟐} + 𝝇_{𝒑𝒐𝒍𝟏}

 Ou encore :

𝑬_𝟐 − 𝑬_𝟏 . 𝒏_𝟏𝟐 = 𝝇_𝒍 + 𝝇_𝒑𝒐𝒍 𝜺_𝟎

(43)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

 Composante tangentielle du champ électrique:

 En partant de la relation (vue auparavant), 𝒓𝒐𝒕 𝑬 = 𝟎, et en appliquons le théorème de Stokes, on a :

𝒓𝒐𝒕𝑬𝒅𝑺 = 𝟎 = 𝑬𝒅𝒍

∁ 𝑺′

où ∁= 𝑨𝑩𝑪𝑫 est un contour fermé (rectangulaire) délimitant la surface 𝑺′.

• La longueur AB du rectangle est considérée comme suffisamment petite de sorte que le champ électrique 𝑬 y soit pratiquement constant (en tous points de AB).

• De plus la largeur du rectangle est infiniment petite dans le but de rester au voisinage de la surface de séparation des deux milieux, 𝑺 (𝒉 = 𝑨𝑫 → 𝟎 );

 On peut donc écrire :

𝒓𝒐𝒕𝑬𝒅𝑺 = 𝟎 = 𝑬𝒅𝒍

∁

= 𝑬𝒅𝒍

𝑨𝑩

+ 𝑬𝒅𝒍

𝑩𝑪

+ 𝑬𝒅𝒍

𝑪𝑫

+ 𝑬𝒅𝒍

𝑫𝑨 𝑺′

 Et comme 𝒉 → 𝟎, on a :

𝑬𝒅𝒍

𝑪𝑫

→ 𝟎 𝒆𝒕 𝑬𝒅𝒍 → 𝟎

𝑫𝑨

(44)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

 Composante tangentielle du champ électrique:

• D’un autre côté, le champ électrique s’écrit, 𝑬_𝒊 = 𝑬_𝒊𝒕𝒕 + 𝑬_𝒊𝒏𝒏_𝟏𝟐 (𝐢 = 𝟏, 𝟐), et étant donné le sens positif indiqué sur le contour, la circulation du champ devient :

𝑬𝒅𝒍

∁

= 𝑬_𝟏𝒕𝒕 + 𝑬_𝟏𝒏𝒏_𝟏𝟐 . 𝒅𝒍_𝟏𝒕

𝑨𝑩

+ 𝑬_𝟐𝒕𝒕 + 𝑬_𝟐𝒏𝒏_𝟏𝟐 . 𝒅𝒍_𝟐(−𝒕

𝑪𝑫

)

𝑬𝒅𝒍 = 𝑬_𝟏𝒕. 𝑳 − 𝑬_𝟐𝒕. 𝑳 = 𝟎

∁

𝑬_𝟏𝒕 = 𝑬_𝟐𝒕

 La composante tangentielle du champ électrique lors du passage entre deux diélectrique est continue.

 Milieux diélectriques parfaits :

Un milieu diélectrique est dit parfait s’il rempli les trois propriétés physiques suivantes :

(45)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

• Linéarité: en chacun des points du milieu, le vecteur polarisation (ses composantes) est linéairement lié au vecteur champ électrique; ceci revient à écrire la relation tensorielle suivante :

 Milieux diélectriques parfaits :

𝑷_𝒙𝒙 𝑷_𝒚𝒚 𝑷_𝒛𝒛

=

𝜶_𝒙𝒙 𝜶_𝒙𝒚 𝜶_𝒙𝒛 𝜶_𝒚𝒙 𝜶_𝒚𝒚 𝜶_𝒚𝒛 𝜶_𝒛𝒙 𝜶_𝒛𝒚 𝜶_𝒛𝒛

𝑬_𝒙𝒙 𝑬_𝒚𝒚 𝑬_𝒛𝒛

• Homogénéité: Le milieu possède les même constituants chimiques en tout point.

Cela a pour conséquence que les coefficients 𝜶_𝒊𝒋 (de polarisabilité) ne dépendent pas du point considéré (pour un repère cartésien donné).

• Isotropie: dans ce cas les propriétés physiques sont les mêmes dans toutes les directions, ce qui signifie que : 𝜶_𝒙𝒙 = 𝜶_𝒚𝒚 = 𝜶_𝒛𝒛 = 𝜶 et 𝜶_𝒊𝒋 = 𝟎 ∀ 𝒊, 𝒋 𝒊 ≠ 𝒋 quelque soit le repère considéré.

 Dans ces conditions, la relation liant le champ électrique et le vecteur polarisation se présente comme suite : 𝑷 = 𝜶𝑬; les deux vecteurs sont donc colinéaires et le coefficient de proportionnalité entre eux, 𝜶 (> 𝟎) est une constante positive.

 Remarque:

 Les matériaux diélectriques solides réels ne correspondent généralement pas à ces définitions (ce sont donc des matériaux diélectriques non parfaits). A l’inverse, les gaz ont un comportement sensiblement similaire à des matériaux diélectriques parfaits.

(46)

 Equations générales de l’électrostatique dans un diélectriques :

 Milieux diélectriques parfaits :

 Dans un diélectrique parfait, on pose 𝜶 = 𝜺_𝟎𝝌_𝒆. On obtient donc :

𝑷 = 𝜺_𝟎𝝌_𝒆𝑬, 𝝌_𝒆 est appelée susceptibilité diélectrique (elle est sans dimension).

 D’autre part, en utilisant la relation liant 𝑷 et 𝑬, on aboutit à :

𝑫 = 𝜺_𝟎𝑬 + 𝑷 = 𝜺_𝟎𝑬 + 𝜺_𝟎𝝌_𝒆𝑬 = 𝜺_𝟎(𝟏 + 𝝌_𝒆)𝑬

 On pose 𝜺_𝒓 = 𝟏 + 𝝌_𝒆. Ce coefficient sans dimension est dit permittivité relative du diélectrique.

 On a donc :

𝑫 = 𝜺_𝟎𝜺_𝒓𝑬 = 𝜺𝑬

 Le paramètre 𝜺 est dit permittivité du diélectrique, il s’exprime en faraday par mettre (comme pour 𝜺_𝟎).

 Les résultats expérimentaux indiquent que pour tous les diélectriques réels, l’inéquation suivante est vérifiée :

𝜺 > 𝜺_𝟎 ⟹ 𝜺_𝒓 > 𝟏 ⟺ 𝝌_𝒆 > 𝟎

 Cela, signifie que 𝑷 et 𝑬 ont toujours un même sens dans un diélectrique parfait !