Sur les fonctions symétriques

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

W ORONTZOFF

Sur les fonctions symétriques

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 10 (1891), p. 325-329

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(2)

SUR LES FONCTIONS SYMETRIQUES;

PAR M. WORONTZOFF.

Soit

U = ¥(xux2, . ,.,xn)= <ï>(a0, au . . . , an)

une fonction symétrique rationnelle et entière des racines de l'équation

ƒ( r ) = aorn-+- ax r"-1 -r- r/2.r»-24-. . .-h an-xx -h an= o.

On sait que

h = n i=n

><ous nous proposons ici de généraliser ce théorème.

Comme

dxL _ rî r

du, ƒ'( r \'k

(3)

OU

"'1 -h (n — i)aL.rk~'2 -+-. ..-\-an-ta;/;-h a„_t

) + • • • + ( ^ — 0 an-i xk-f-

on a

du. K du 4 <i^/ 4 <:/^

da0 da1 dar datl

Posons, pour abréger

— ( n — r — m •+-1 ) a,.^,,,-! -H N a,.^,,, _c Sc._i

2^ar c m-hc-1 ^xk dxk m >

( ' ) Soit, p a r e x e m p l e , t' = S , a l o r s de la f o r m u l e (i) on déduit

A" =• n

f'(xk) jLi i * H q da\ '" q-t-r

{Nouvelles Annales, p . 382; 188S), où la s o m m e ' V ^ ' î1 ••• #7" S1>

r a p p o r t e à t o u t e s les s o l u t i o n s entières positives de l'équation

(4)

( 3 * 7 d'où

«o

Maintenant, en prenant successivement dans l'éga- lité ( i ) ,

Ao= « o j A! = a, . . . , A,.= a,., . . . , Xn=an, A0= o , A, = — M0. . . . ,

A⁰= o , k^l=a^l, A^r= ra^r, . . . , kⁿ= naⁿ,

ou

Ao = — / i a0, A i = — ( / i — i ) «l 5 . . . ,

A,. = — (n — r)ar. . . . , A « = o , a2

A0 = o, A! = ^ör2 ^? . . - , A , . = ( r — i)ar+i , • • . ,

O U

A0= « i , A ! = 2 a2; • - . , A , . = ( / * - H ! ) « ! . + ! , . . . ,

A r, A ll(m) A H (w)

Ao— O, A j — xii , . . . , A , — n,, , . . . , OU

Ao = — a0L,n-u At= \l[m)— ajSw-i, . .., Ar= H(, . "n- a , . S , „ _ i ,

et en remarquant que

on trouve respectivement les formules suivantes du du du du

da⁰ da^ dan-\

(5)

( 3*8 ) et

(n — i)flfi -j •-. . ., du du F du

dxk L dai

u "1 du du

du du du

[

^du^N^du

0 da0

* ' 5 0 , • ' • • • •

du duu ~\

_ J ,

7 o du [ a\\ d mk dj'/, \ a0 ] d

1

a\\ du f <72^i\ du 3öf3

/ «;i-i«r\nan

\ «0 / d

\ d u / a„ax\ du

h ( )

a0

du du

da0 dcii

, du du aan-\

k = n k = n

du ^

dx/t Jmdu k \dax dxic "^ da2 dxjc ~r~'"~r~ c[an dx/J

A =zn

2

^{m <ï}^u 'V^ /» / du dci\ du da* du dan\

k=\

du vM r w l - / ï R___ , ^ i

/• = 0

Exemples. — i° Si Ton pose U = S/, / ^> o, OÏI a

dsi da0

ds/ ds,-

(6)

2° Soit ( i = J, o n obtient, pour m > i

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