G = 6, 673.10 − 11 m3 kg− 1 s− 2 onstante de gravitation, ρ c = 2700 kg/m3 et ρ m = 3200 kg/m3 les densitésde laroûte etdumanteau supposéshomogènes.

Examen de janvier 2006

Master desienes de laTerre,M1,ENS Lyon.

Douments:ours autorisé. Duréeonseillée :1h.

o

Données :

g 0 = 9, 82

^ms

^{− 2}

^{gravité de la Terre sphérique,}

R T = 6371

^{km son rayon,}

G = 6, 673.10 ^{− 11}

^m

³

^kg

^{− 1}

^s

^{− 2}

^{onstante de} gravitation,

ρ c = 2700

^kg/m

³

^et

ρ m = 3200

^kg/m

³

^{les densitésde laroûte etdumanteau supposéshomogènes.}

I. Isostasie

1. Rappelerlarelationentrelatopographie

h

^et l'épaisseur

H

^{delaraine rustale}

danslaasde l'équilibreisostatique.

2. Ilya250Malahaîneherynienneétaitomparableàl'Himalaya(

h = 8000

^m).

En supposant que laroûte est en équilibre isotatique, à l'atuel omme à l'herynien,

quepouvez-vousdire surles rohes quel'on trouve atuellement dansleMassifCentral

àune altitude de1000 m?

3.

Soitunbassinde1000mdeprofondeur,aveuntauxdesédimentation onstant

de 0,5 mm/an, ombien de temps faut-il, en supposant l'équilibre isostatique réalisé,

pour omblere bassin?

II. Anomalies de pesanteur

1.

Pour la pesanteur à la surfae de l'ellipsoïde de référene on donne la formule

approhée :

γ E (θ) = 978, 03267(1 + 0, 0052789 sin ² θ).

⁽¹⁾

Que signie

θ

^{? En quelle unité est donné ii}

γ

^{? Que vaut la pesanteur aux ples et à}

l'équateurde l'ellipsoïde?

2.

On mesure sur la plateau des Andes (altitude 5 km, latitude -20

◦

) une pesan-

teur

γ _mes = 977, 18336

^{Gal (l'eet de la marée est retiré). Que valent les anomalies}

de pesanteur à l'air libre et de Bouguer? A votre avis la roûte est-elle en équilibre

III. Énergie gravitationnelle de la Terre

Onvaalulerl'énergiegravitationnelledelaTerresupposéehomogène,dedensité

ρ

^,

par arétion de masses

dm

^{de même densité. Cette arétion fait passer la Terre des}

rayonsetmasses

R = 0

^,

M = 0

^{auxrayonsetmasses atuels}

R = R _T

^,

M = M _T

^.

1.

Rappeler, sans les démontrer, l'expression de la gravité

~g = −−→

grad

U

^{et de son}

potentiel

U

^à l'extérieur(

r ≥ R

^{) d'uneTerre sphériqueenformation, de rayon}

R ≤ R T

^,

enfontion de samasse

M ≤ M _T

^.

2.

Onappelle énergiegravitationnelle

dE

^{apportée par un élément de masse}

dm

^,

letravail aompli par la gravitépour amener ette massede l'inni à la surfae de la

Terre.Exprimer ette énergieen fontion desdonnéesdu problème.

3.

Uninrément demasse

dm

^{augmente lerayon moyen delaTerre de}

dR

^.Expri-

mer

dm

^{en fontion de}

dR

^.

4. Exprimer la masse

M

^{de laTerre en fontion de}

ρ

^{. En déduire}

dE

^{en fontion}

de

ρ

^,

R

^et

dR

^.

5. Endéduirel'énergiegravitationnelletotaledelaTerreenfontiondesamasse

M T

etdesonrayon atuel

R T

^{.Donner savaleurnumérique.}

6. Si on faitl'hypothèse que ette énergie est entièrement onvertie en augmenta-

tion de température

∆T

^alors

E = M T c p ∆T

^{où la apaité alorique massique vaut}

approximativement

c p = 1000

^{J/K/Kg. Quelle serait} l'augmentation de température pour laTerre?L'hypothèseest-elle plausible?

7.

En déduire, pour les orps en général (planètes, astéroïdes...), omment varie

∆T

^{en fontion de leur rayon atuel. Donner le rayon en dessousduquel l'énegie gravi-}

tationnelleestinsusante pour fondreleorps.

o

Examen de janvier 2006

Master desienes de laTerre,M1,ENS Lyon.

Douments:ours autorisé. Durée:45 min.

Observation de

J 2

^{par les satellites}

Nous allons montrer omment on peut déterminer l'aplatissement dynamique

J 2

^de

laTerreàpartirde l'observation desatellites.Onalulerapourela lelent mouvement

de l'orbite supposée irulaire d'un satellite sous l'eet de et aplatissement. Rappel :

J 2 = (C − A)/M R ²

^ave

C

^,

A

^,

M

^{, et}

R

^{les moments d'inertie équatorial etpolaire, la}

masseetlerayon moyen de laTerre.

On note

Oab

^{(f. gure) le plan de l'équateur terrestre,}

Oc

^{l'axe des ples,}

Oxy

^le

plande l'orbite du satellite,

Oz

^saperpendiulaire,

ω = (ω ¹ , ω ² , ω ³ )

^{le veteur rotation}

de

Oxyz

^{par rapportà}

Oabc

^.Leréférentiel

Oabc

^{est ii supposégaliléen.}

Ononsidère une moyenne deseetssurune révolution dusatellite :onremplae le

satellite situé sur leerle

xP y

^{par un anneau inniment n irulaire situé à lamême}

distane

r = OP

^{, de même masse}

m

^{que le satellite, et tournant autour de}

Oz

^{à la}

vitesseangulaire

Ω

^{(égale à lavitesse de révolution du} satellite). On note

A ^′ , B ^′ , C ^′

^les

momentsd'inertie de l'anneau par rapportà

O

^.

1.

La variationdansle repère

Oabc

^{dumoment inétique del'anneau s'érit :}

d~σ dt =









C ^′ Ω sin ε ψ ˙

−C ^′ Ω ˙ ε C ^′ ω ˙ ³









.

⁽²⁾

Quelles hypothèsesa-t-on faitespour obtenir e résultat?

2.

Soit

~g _T (P)

l'attration de la Terre et

d ~ Γ

^{le ouple de ette attration sur un}

élément de masse de l'anneau

dm

^{situé au point}

P

^entre

θ

^et

θ + dθ

^.Exprimer

d ~ Γ

^en

fontion de

~g _T (P )

^{.Envousaidant du ours,}'est-à-diresans alul,en déduire que:

d ~ Γ = 3Gdm(C − A)

r ³ sin θ sin(−ε)









sin θ cos(−ε)

− cos θ 0









.

⁽³⁾

3. Soit

µ

^{lamasseparunitédelongueurdel'anneau.Exprimer}

dm

^et

m

^enfontion

de

µ

^{.En déduire queleouplesur toutl'anneau s'érit :}

~ Γ = − 3Gm(C − A)

2r ³ sin ε cos ε







 1 0 0









(4)

(onrappelle que

R 2 π

0 sin ² θ dθ = π

^,

R 2 π

0 sin θ cos θ dθ = 0

^).

4.

En déduirele mouvement de l'orbite.

5.

Caluler

C ^′

^{enfontion de}

m

^et

r

^.

6. Montrernalement que

ψ ˙ Ω = − 3

2 J 2

R r

²

cos ε.

⁽⁵⁾

7.

L'orbitedusatelliteLageos-2aunealtitudemoyennede5780km,estinlinéede

52,64

◦

surl'équateurterrestreetpréessed'untourpendant3683révolutionsdusatellite.

Endéduire une valeur numérique de

J 2

^{.Est-il plusou moinsfailede déterminer}

J 2

^en

observant le mouvement de l'orbite lunaire? Pour information lapériode de révolution

deLageos-2 est223 min.

1

.

8.

Quelle observation permet d'obtenir la onstante

H = ^{C −} _C ^A = 0.003274

^{? Soit}

l'inertiemoyenne

I = (2A + C)/3

^,exprimer

I/M R ²

^{enfontion de}

J 2

^et

H

^.Déterminer

ainsilavaleurnumérique de

I/M R ²

^.Qu'indique-t-elle?

ε

b c

x z

a

ψ ε

y

ψ θ O

b’

P

Fig.1 Orbite

xP y

^{du satellite autour dela planète}

O

^.

Textedisponibleà http://frederi.hambat.free.fr/ens

1

Les valeurs numériques de l'énoné sont les valeurs réelles sauf 3683 que j'ai hoisie de façon à

trouverunevaleurorretede

I/M R ²

^{.Lavaleurobtenuepour}

J ₂

^{neorrespondpasexatementàelle}

delalittérature où

J ₂

^{estdéniparlerayonéquatorialetnonlerayonmoyen.}