Démonstration par récurrence

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2011-2012 TS 1/ 4 Démonstration par récurrence

Démonstration par Récurrence

Principe de la démonstration par récurrence :

Pour montrer qu’une propriété𝑃𝑛, dépendant d’un paramètre entier, est vraie pour tous les entiersà partir d’un certain rang𝑛0, on peut raisonner par récurrence : on montre que

{La propriété est vraie au rang initial𝑛=𝑛0 :𝑃𝑛0 est vraie ; on parle d’initialisation La propriété est héréditaire : si𝑃𝑛 est vraie alors𝑃𝑛+1 est vraie

=⇒ la propriété est vraie pour tous les entiers à partir de𝑛0: 𝑃𝑛 est vraie pour tout𝑛≥𝑛0.

Exemple : Montrer par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a :1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛= 𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Notons𝑃𝑛 la propriété :1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Pour montrer que𝑃𝑛 est vraie pour tout entier𝑛≥1, on montre que :

∙ 𝑃𝑛 est vraie pour𝑛= 1(étape d’initialisation).

∙ Puis on montre que la propriété𝑃𝑛 est héréditaire.

Rédaction type d’une démonstration par récurrence :

Une démonstration par récurrence se rédige de façon très « formatée », c’est toujours le même « rituel » : Question type :Montrer par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥𝑛0, on a : 𝑃𝑛.

Démonstration : Notons𝑃𝑛 la propriété : ...

∙Initialisation : La propriété𝑃𝑛0 est-elle vraie ? ... ...on vérifie que c’est le cas

Donc𝑃𝑛₀ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛,𝑛≥𝑛0 on a :𝑃𝑛 vraie ; montrons alors que𝑃𝑛+1est vraie. C’est à dire que ...

... ... on vérifie que la propriété est héréditaire ; on se sert du fait que𝑃𝑛est vrai

Donc𝑃𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃𝑛 est vraie pour𝑛=𝑛0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout𝑛≥𝑛0. fin de la démonstration

Méthodologie : pour bien faire une démonstration par récurrence, il faut : identifier𝑃𝑛, et écrire 𝑃𝑛.

trouver le rang d’initialisation

écrire𝑃𝑛 et 𝑃𝑛+1 et trouver ce qui peut les « relier ».

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Exemple type d’une démonstration par récurrence :

Exemple :

Montrer par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a :1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1) 2 Méthode :

identifier𝑃𝑛, et écrire 𝑃𝑛 : trouver le rang d’initialisation :

écrire𝑃𝑛 et 𝑃𝑛+1 et trouver ce qui peut les « relier » :

𝑃𝑛 : 𝑃𝑛+1:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Question type :

Montrer par récurrence sur𝑛entier, que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a : 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a : 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛= 𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Notons𝑃𝑛 la propriété :1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1)

2 .

∙Initialisation :

La propriété𝑃1 est-elle vraie ? A-t-on1 = 1(1 + 1)

2 ?

1(1 + 1)

2 = 1. Donc𝑃1 est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛,𝑛≥1 on a :𝑃𝑛 vraie ; montrons alors que𝑃𝑛+1 est vraie.

Supposons que pour un entier𝑛,𝑛≥1 on a :1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛= 𝑛(𝑛+ 1)

2 ;

montrons alors que1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1) = (𝑛+ 1)(𝑛+ 2)

2 .

On a :

1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1) =[1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛]+ (𝑛+ 1) (★) Or d’après l’hypothèse de récurrence :1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛= 𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Donc(★)devient :

1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1) = 𝑛(𝑛+ 1)

2 + (𝑛+ 1) De plus, on a :

𝑛(𝑛+ 1)

2 + (𝑛+ 1) = 𝑛(𝑛+ 1) + 2(𝑛+ 1)

2 =(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) 2 Donc on a1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1) = (𝑛+ 1)(𝑛+ 2)

2 ; c’est à dire que 𝑃𝑛+1est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃𝑛 est vraie pour𝑛= 1et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛≥1.

C’est à dire : pour tout𝑛entier, 𝑛≥1, 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛= 𝑛(𝑛+ 1)

2 .

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Exemple type d’une démonstration par récurrence :

Exemple :

Montrer que la suite (𝑢𝑛)^𝑛∈ℕdéfinie par𝑢0= 3et 𝑢𝑛+1=5𝑢𝑛+ 3

𝑢𝑛+ 3 est constante.

Méthode :

identifier𝑃𝑛, et écrire 𝑃𝑛 : trouver le rang d’initialisation :

écrire𝑃𝑛 et 𝑃𝑛+1 et trouver ce qui peut les « relier » :

𝑃𝑛 : 𝑃𝑛+1:

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Question type :

Montrer que la suite(𝑢𝑛)𝑛∈ℕdéfinie par𝑢0= 3et𝑢𝑛+1= 5𝑢𝑛+ 3

Démonstration :

Montrons par récurrence sur𝑛que𝑢𝑛= 3pour tout𝑛∈ℕ. Notons𝑃𝑛 la propriété :𝑢𝑛= 3.

∙Initialisation :

La propriété𝑃0 est-elle vraie ? A-t-on𝑢0= 3? Ceci est vrai d’après l’énoncé. Donc𝑃0 est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛,𝑛∈ℕon a : 𝑃𝑛 vraie ; montrons alors que 𝑃𝑛+1 est vraie.

Supposons que pour un entier𝑛∈ℕon a : 𝑢𝑛= 3; montrons alors que𝑢𝑛+1= 3.

On a par définition,𝑢𝑛+1 =⁵_𝑢^𝑢_𝑛^𝑛₊₃⁺³, et par hypothèse de récurrence,𝑢𝑛= 3, donc : 𝑢𝑛+1=5𝑢𝑛+ 3

𝑢𝑛+ 3 = 5×3+ 3 3+ 3 De plus, on a :

5×3 + 3 3 + 3 = 18

6 = 3 Donc on a𝑢𝑛+1= 3; et𝑃𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃𝑛 est vraie pour𝑛= 0et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛∈ℕ. C’est à dire : pour tout𝑛∈ℕ, 𝑢𝑛= 3 .

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Exemples de démonstrations par récurrence :

Exercice 1 :Montrer que pour tout entier𝑛,𝑛≥1, on a : 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Exercice 2 :Montrer que pour tout entier𝑛,𝑛≥1, on a : 1²+ 2²+⋅ ⋅ ⋅+𝑛²= 𝑛(𝑛+ 1)(2𝑛+ 1)

6 .

Exercice 3 :Montrer que pour tout entier𝑛,𝑛≥1, on a : 1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³= 𝑛²(𝑛+ 1)²

4 .

Exercice 4 :Montrer que pour tout entier𝑛,𝑛≥1, on a : 2^𝑛> 𝑛.

Exercice 5 :Montrer que pour tout entier𝑛,𝑛≥1, on a : 2^𝑛−1≤𝑛!.

Exercice 6 :

Résoudre l’inéquation 2𝑛²≥(𝑛+ 1)².

Montrer par récurrence que pour tout entier𝑛≥4, on a :2^𝑛≥𝑛².

Exercice 7 :Montrer que la suite(𝑢𝑛)définie par𝑢0= 3et 𝑢𝑛+1=5𝑢𝑛+ 3

Exercice 8 :Soit𝑓(𝑥) = ¹_𝑥.

Montrer que la suite des dérivées 𝑛^ièmede 𝑓 est donnée par la formule𝑓⁽^𝑛⁾(𝑥) = (−1)^𝑛𝑛!

𝑥^𝑛+1 pour tout entier 𝑛, 𝑛≥1

Exercice 9 : Soit la suite (𝑎𝑛)définie par 𝑎0 = 1 et 𝑎𝑛+1 = 1

𝑛+ 1𝑎𝑛. Déterminer𝑎𝑛 en fonction de𝑛. (On pourra démontrer la formule par récurrence).

Exercice 10 :Soit(𝑢𝑛)la suite définie par 𝑢0= 1et 𝑢𝑛+1= 5𝑢𝑛

3𝑢𝑛+ 5. Montrer que𝑢𝑛≥0pour tout entier naturel𝑛.

En déduire que(𝑢𝑛)est bien définie.

Montrer que la formule donnant𝑢𝑛 en fonction de𝑛est : pour tout entier𝑛,𝑢𝑛= _3𝑛+5⁵ . Exercice 11 :On considère(𝑢𝑛)la suite définie par 𝑢0=−1 et𝑢𝑛+1=√

4𝑢𝑛+ 5.

Montrer que la suite(𝑢𝑛)est bien définie.

Exercice 12 :On considère(𝑢𝑛)la suite définie par 𝑢0= 2et 𝑢𝑛+1= ln(1 +𝑢𝑛).

Montrer que la suite(𝑢𝑛)est bien définie.

Exercice 13 :Soit(𝑢^𝑛)la suite définie par 𝑢0= 1et 𝑢𝑛+1=𝑢𝑛𝑒^−𝑢^𝑛. Montrer que𝑢𝑛≥0pour tout entier naturel𝑛.

Exercice 14 :Soit(𝑢𝑛)la suite définie par 𝑢0= 2et 𝑢𝑛+1=𝑢𝑛

2 + 5 2𝑢𝑛

.

Étudier les variations de la fonction𝑓 définie sur l’intervalle[2; 3]par𝑓(𝑥) =^𝑥₂+₂⁵𝑥 , et montrer que si𝑥∈[2; 3]

alors𝑓(𝑥)∈[2; 3].

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel𝑛,2≤𝑢𝑛≤3.

Exercice 15 :Soit𝑥≥0. Montrer que pour tout entier naturel𝑛,(1 +𝑥)^𝑛≥1 +𝑛𝑥.

Exercice 16 :Pour tout entier naturel𝑛, ₍_𝑛_+1)!¹ ≤₂¹^𝑛.

Exercice 17 :Soit𝑓(𝑥) =𝑥𝑒^𝑥. Calculer la suite des dérivées𝑛^ième de𝑓 :𝑓⁽^𝑛⁾(𝑥)en fonction de 𝑛(pour tout entier naturel𝑛, 𝑛≥1).

Exercice 18 :Montrer que la suite (𝑢𝑛)définie par𝑢0= ⁻¹₂ et𝑢𝑛+1= 3𝑢𝑛+ 1est constante.

Exercice 19 :Soit(𝑢𝑛)la suite définie par 𝑢0= 2et 𝑢𝑛+1=√ 6 +𝑢𝑛. Montrer que pour tout entier naturel𝑛, on a : 2≤𝑢𝑛≤3.

Exercice 20 :Soit(𝑢^𝑛)la suite définie par 𝑢0= 0et 𝑢𝑛+1= 2(𝑢^𝑛+ 2^𝑛).

Montrer que pour tout entier naturel𝑛, on a : 𝑢𝑛=𝑛2^𝑛

Exercice 21 :Soit(𝑢𝑛)la suite définie par 𝑢0= 0et 𝑢𝑛+1=√ 2 +𝑢𝑛. Montrer que pour tout entier naturel𝑛, on a : 0≤𝑢𝑛≤2.

Montrer que si𝑥∈[0; 2]alors𝑥≤√ 2 +𝑥.

En déduire le sens de variation de la suite(𝑢𝑛).

Exercice 22 :Soit𝑓(𝑥) = (1−2𝑥)𝑒²^𝑥. Montrer que la suite des dérivées𝑛^ièmede𝑓 est donnée par la formule 𝑓⁽^𝑛⁾(𝑥) = 2^𝑛(1−𝑛−2𝑥)𝑒²^𝑥pour tout entier𝑛,𝑛≥1

Exercice 23 :Soit (𝑢𝑛)une suite telle que pour tout 𝑛∈ℕ, 𝑢𝑛+1 =𝑢𝑛

2. Montrer par récurrence que pour tout𝑛∈ℕon a la formule :𝑢𝑛= (𝑢0)²^𝑛.

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