Sur l'approximation diophantienne des formes lin6aires Par NIKOLA

(1)

A R K I V F O R M A T E M A T I K B a n d 3 n r 51

Communiqu$ le 10 Septembre 1958 p a r T. NAGELL

Sur l'approximation diophantienne des formes lin6aires

P a r NIKOLA

OBRECHKOFF

On doit ~ Dirichle$ le t h f o r b m e classique s u i v a n t :

Ddsignons p a r t~> 1 u n n o m b r e r6el et p a r eo~, w2 . . . w~ u h o m b r e s rdels arbitraires. Alors fl existe u n o m b r e s entiers x~,x2 . . . x~, n o n t o u s nuls, tels que l ' o n air

I °Ol Xl W O~2 X2 -}- " " "t- ('O~Xx -- Y l < }u '} (1) IX~,l<~t, # = 1 , 2 . . .

off y est u n n o m b r e entier convenable.

D a n s [1] on a t o u j o u r s le signe d'inggalit6. D a n s ce travail nous d d m o n t r o n s u n e indgalit6 prdeise et g6n6rale.

1. Considdrons la ]orme lindaire

nj n~ n p

a X (1) ~ ~ a _(2) a x (p)

/ = L 1~ , 7- ~ ~ , ~ , + ' " + ~ v , , ,

~u=l .u=l ,u=l

ole al ~, ae ~ . . . a p t sont des hombres rdels a r b i t r a i r ~ et n l , n~, . . . , n~ sont des h o m - bres entiers et positi/s. S o i t encore m l , m~ . . . . ,rap des nombres entiers et positi/s.

A l o r s il existe des n o m b r e s entiers x l , B e , . . . , (,) _(v) x(,) n,, ~ = l , 2 , . . . , p , n o n tous n u l s , les hombres de chaque groupe x(~ "), 1 <~ ff <~ n,, dtant d u m S m e s i g n e (c' est-~-dire n o n ndgati/s ou n o n p o s i t i / s ) et tels que l'on air

1, M = ( n l m l + l ) ( n ~ m 2 + l ) ( n p m v + 1),}

II-yl-< .

^{. . .}

14"l.<,n., 1<if<n,,

L'dgalit6 d a n s (2) est atteinte.

(2)

D a n s la d 6 m o n s t r a t i o n nous appliquons le principe de Dirichlet sous la forme s u i v a n t e : S u p p o s o n s que les n o m b r e s r6els

O, o:1, 0 : 2 , . . . , O~n, 1,

s o n t rang6s p a r ordre de la valeur n o n d6croissante. Alors ils existent au m o i n s d e u x h o m b r e s voisins, d o n t la diff6rence est plus p e t i t e que 1 / ( n + 1), ou t o u s ces n o m b r e s sont les n o m b r e s suivants

(2)

O. OBRECHKOFF,

L'approximation diophantienne des formes lindaires

1 2 n

- - , ° ° ~

O ' n + l ' n + 1' n + l '1"

E n e f f e t l a s o m m e des n o m b r e s ~x, ~2 - ~ , ~s - ~s . . . a~ - - g n - 1 , 1 - ~= e s t dgale 1. D o n e u n a u m o i n s d e ees h o m b r e s s e r a p l u s p e t i t q u e 1//(n + 1), ou t o u s ces h o m b r e s s e r o n t d g a u x ~ 1 / ( n + l ) .

D o n n o n s m a i n t e n a n t a u x v a r i a b l e s x(~ ~), 1 ~</z~<n~, ( v = 1 , 2 . . . p) les s y s t b m e s d e s v a l e u r s c o r r e s p o n d a n t e s , (v = 1, 2 . . . p),

m , m~ ... m~ m, m~

m~ m, --- m , m~ m y _ 1

. . ,

m , m, -.. m~ m~ 0

m, m, .-. m, m y _ 1 0

m, m~ --. m~ m,-2 0

. . ,

m~ m~ ..- m~ 0 0

m, m, . . . m ~ - i 0 0

0 0 -.- 0 0 0

(3)

L e n o m b r e d e ees systAmes s e r a dgal ~ (nl m l + 1) (nz ms + 1 ) - - -

(rip rap-4-

1 ) = M . D d s i g n o n s ees s y s t ~ m e s s i m p l e m e n t p a r ~ (s)..(~) #~

,y2 , . . . , y N oh N = n l + n s + ' " + n ~ ,

, (s) 1 ~< s ~< M . L e s v a l e u r s e o r r e s p o n d a n t e s d e la f o r m e ] s e r o n t

](~) = a l y(1 ~) + asyz" (s) ,m ... + aN y~).

D d s i g n o n s c o m m e & h a b i t u d e p a r [x] le p l u s g r a n d n o m b r e e n t i e r q u i n e s u r p a s s e p a s le n o m b r e rgel x e t p a r {x} la diffgrence x - [ x ] . C o n s i d d r o n s les n o m b r e s 1, {/(s)}, s = 1, 2 . . . # . I1 y a u r a a u m o i n s u n e diffdrenee

{/(~,}

- { / , ~ } = t , ~ ) _ 1(~, _ y ,

(y u n n o m b r e e n t i e r ) d o n t la v a l e u r a b s o l u e n e s u r p a s s e p a s 1//M, o u le n o m b r e 1 - {/(°)}, {](")} = m a x ({/(1)}, {](2)} . . . {](~)}), s e r a a u p l u s dgal ~

1 / i .

D d s i g n o n s p a r x~ ('), l ~ < # ~ < n , (l~<v~<p), les v a l e u r s des v a r i a b l e s d a n s /(~) e t p a r x', '(~), 1 ~< # ~ n, (1 ~< v ~< p) les v a l e u r s e o r r e s p o n d a n t e s d a n s

](~),

e ' e s t - ~ - d i r e

p n ~ p n y

n v

O n a u r a alors 1 (~) - 1 (~ = ~: ~: a . , .Ix'('), - x"(~)~,

v = l p - 1

e t les n o m b r e s

x~(')-x'~ '('),

l ~ < / ~ < n , d e c h a q u e g r o u p e s o n t d u m 6 m e signe. L e eas oh 1 - {](")} ~<

1/M

se t r a i t e d e la m ~ m e m a n i b r e .

(3)

ARKIV FSR MATEMATIK. B d 3 n r 51 N o u s d 6 m o n t r e r o n s m a i n t e n a n t q u e d a n s (2) le signe d ' 6 g a l i t 4 e s t a t t e i n t . P o u r e e l a consid5rons l a I o r m e s u i v a n t e

f = ~ + Y ~ + Y~' (4)

n y

off y,.= ~ x ~ ), 1,,<v,,<p e t t , = n ~ m ~ + l , l<~v<~p. M o n t r o n s que l a f o r m e

r e - 1

S = M [ = 22 As • • • 2~ Yl + 13 ~4. • • 2~ Y2 + "'" + ~t~ y ~ - I + Yp

p r e n d les v a l e u r s 0, 1,2, . . ., M - 1 , l o r s q u e les v a r i a b l e s x,-(~) p r e n n e n t les v a l e u r s (3). E n effet l a p l u s g r a n d e v a l e u r d e ~0 est ~gale £

1 2 1 s . . . t~ (11 - 1) + t314 • • • t , (t2 - 1) + . . . + 1~ (tp-1 - 1 ) + ~ = M - 1 e t la p l u s p e t i t e e s t 4gale £ zdro. D ' a u t r e p a r t les v a l e u r s d e l a f o r m e s o n t diff~rentes. S u p p o s o n s a u c o n t r a i r e que

t t ! i i

22 23. • • , Yl + 23 24. • • t p Y2 + "'" + 1~ Y~-I + y~

I t *,t

= t 2 ~ a . . . l ~ y ' ~ ' ÷ l a t 4 . . . l ~ y ~ ' + . . . + ~ , y ~ - l + y , . (5)

t H

O n a u r a y ~ - - y ~ ( m o d I p ) .

p t t ! t t

.d'ofi il dgeoule que y , = y ~ , p u i s q u e ] y ~ - y p l < 2 p . L ' 6 g a l i t 6 (5) p r e n d la f o r m e t2 t~ • • • 1~_ 1 yl + t~ t ~ . . . 1~_ 1 y2 + "'" + y~- 1

s t

= t 2 1 3 , • • t p v l y ~ ' + 13 t ~ . . . t ~ - 1 y~' + "'" + Y~-I,

.d'oh il s u i t que y ~ _ l ~ y ~ ' _ ~ ( m o d ~ _ l ) .

D e c e t t e c o n g r u e n c e on o b t i e n t y , - l = y ~ - ~ etc. D o n e la f o r m e ( 4 ) p r e n d les v a l e u r s

1 2 M - 2 2 M - 1 1

O ' M ' M . . . M - 1 M , ~ - - - 1 - ~ .

I1 est e v i d e n t alors que p o u r c e t t e f o r m e darts (2) o n a u r a le signe d ' 6 g a l i t d . D a n s d e s cas p a r t i c u l i e r s d u t h d o r g m e 1 o n o b t i e n t :

2. Soient n l , n2 . . . n~ des nombres positi/s et entiers et ddsignons par col, 042 . . . o)~

des hombres rdels arbitraires. Alors il existe des nombres entiers xl, xs . . . x~ non tous dyaux h zdro et u n nombre entier y tels que l'on ait

1

] o)1xl + o)2 x2 + .-. + o)~ x ~ - y] ~< (nl-+ 1 ) ( n 2 + 1 ) . . . ( n ~ + 1), (6)

Ixll < ,, Ix21 <n2 .. . . . Ix l< n ,

Dana (6) l'dgalitd est atteinte.

3. Soient X1,22, . . . . 1~ des nombres entiers et positi/s et soient wl, w~, . . . , w~ des nombres rdels arbitraires. A l o r s ils existent ~ hombres entiers xv non n4qati/s et u n hombre entier y pour lesquels on a

(4)

O. OBRECHKOFF, L'approximation diophantienne des formes lin~aires

I o~ x , + o~,o~ + ... + ~ o , ~ , , - y I < ~ 1 + ~.~ + ... + ;t,, + 1' O~<xv~<2r, l~<p~<~, ~ x p > 0 .

p ~ l

L'd?alitd dans (7) est atteinte.

(7)

On d o i t £ A. T h u e le th6or~me r e m a r q u n b l e :

Soient a et b de8 hombres entiers et m u n nombre entier positi]. Alors ta con- gruence

a x + b y --- 0 (mod m) (8)

a toujours des solutions en hombres entiers x et y, qui ne sont pas en m$me t e m p s dgaux ~ zdros et p o u r lesquels on a

I~1<~, lyl<~-

U n e d d m o n s t r a t i o n p a r le prineipe de Dirichlet de ce thdorbme a 6t6 donnge p a r M. /qagell [1], qui en m 6 m e t e m p s a dtudi6 le n o m b r e des solutions de (8) lors- que m est un n o m b r e premier. Le m 6 m e th6or~me a ~t6 g~neralisg p o u r p l u - sieurs variables :

Soient al, a2 . . . as des nombres entiers et m u n hombre entier et positi/. A l o r s la congruence

al xl + az x~ + ... + a,~ x,,----O ( m o d m)

a toujour des solutions en hombres entiers Xl, X ~ , . . . , x~, non tous dqaux h zdro, q u i satis/ont a u x conditions

g

I ~ 1 ~ , p--1,2

. . . ~.

N o u s d d m o n t r e r o n s que ees th~,or~mes d4coulent du thgor~me 2 et en m 6 m e temps, n o u s allons les gdn6raliser.

4. Soient a l , a ~ , . . . , a ~ des nombres entiers arbitraire et m u n nombre entier et positi/. Soient encore nl, ^{h i ,} ^{. . . ,} nx de8 nombres entiers et positi/s, pour lesquels on a

A l o r s la congruence

( n l + 1) ( n 2 + 1) . . . (n,,+ 1) > m .

a l Xl + a s x2 + "" + a ~ x ~ - - O

(mod m)

(9}

(10), a tou]ours des solutions en nombres entiers xl, x~ . . . x~ non tous dgaux ~ zero, qui;

satis/ont a u x conditions

I~l<n~, I~l<n~,-.., I~l<n~-

L a condition (9) ne peut pas dtre remplacde par la conditio~

(5)

ARKIV FOR MATEMATIK. B d 3 nr 51

(nl + 1) (n~+ 1 ) . . . (n~+ 1) ~<m. (11)

E n effet d'apr~s le thdor~me 2 il existe des n o m b r e s entiers xl, x2 . . . xs, n o n t o u s dgaux ~ z4ro p o u r lesquels on a

~, as _{a s} 1

xl + -- x2 + "" + (12)

m m x ~ - y <<" { n l + 1) (n2+ 1 ) . . . ( n s + 1)"

Ici y est u n n o m b r e entier convenable. D e (9) et de (12) il dgeoule l a l x l + a2x2 + ... + a s x ~ - m y l < 1,

d ' o h il suit que a l x l + a = x 2 + . . . + a s x s = m y ,

puisque le n o m b r e dans la p a t t i e gauche de (13) est entier.

S u p p o s o n s m a i n t e n a n t que la congruence (10) a t o u j o u r s des solutions en n o m - bres entiers xl, x2 . . . . , xs, satisfaisants a u x conditions [xp [ -<< n~, 1 ~ p ~ z, ~ [ x~ I > 0,

~ - 1

quels clue soient les n o m b r e s entiers al,ag. . . . as, en s u p p o s a n t encore que p o u r les n o m b r e s n l , n u . . . . , n s on a l'indgalit6 (11). Alors la c o n g r u e n c e

xl + (nl + 1) x~ + (nl + 1) (n2 + 1) x~ + ... +

+ ( n l + l ) ( n 2 + l ) . . . ( n s _ l + l ) x s = - - O ( m o d m ) (14) a u r a des solutions eli n o m b r e s entiers xl, x2 . . . x~, p o u r lesquels on a

p = l

Alors la valeur absolue de la p a r t i e g a u c h e dans (14) ne surpasse p a s le n o m b r e n l q- (nl + 1) n2 + (nl + 1) (n2 + 1) n3 + - " + (nl + 1) (n~ + 1) . . . (ns-1 + 1) n s =

= ( n l + 1) (n2+ 1 ) . . . ( n s + 1)-- 1 ~ < m - 1, c'est-~-dire sera plus petite que m. D o n e on aura

x ~ + ( n l + 1)x~+ (nl + 1) (n~+ 1 ) x a + - - - + ( n l + 1 ) ( n u + 1 ) . . . (ns-1 + 1 ) x s = 0. (15) D e cette dgalit4 il suit que le n o m b r e nl + 1 divise xl, c'est-£-dire xl = 0. D e (15) on o b t i e n t

xsq-(n2q- 1) x3-t- -.. q- (n2q~ 1 ) ( n 3 + 1) . . . (n~-x + 1) xs = 0, d'ofl l ' o n v o l t que x 2 = 0 etc.

5. S o i e n t al, a2 . . . a s des hombres entiers arbitraires et m u n hombre entier positi[. S o i e n t encore 21, 2e . . . 2. des nombres entiers p o s i t i / s p o u r lesquels on a

A l o r s la congruence

21 + 2 2 + "-" + 2 s > m - - 1.

al xl + as xu + ... + a s x s --- 0 (mod m)

(16)

(6)

O. OBRECHKOFF, L'approximation diophantienne des formes Iingaires

a toujours des solutions en nombres entiers non ndgati/s qui satis/ont a u x conditions O<~x~<~2~, l < ~ p ~ , x l + x 2 + ' " + x ~ > O .

On ne peut p a s remplacer la condition (16) par la condition 4 1 + 4 2 + "'" + 2~ ~ < m - 1.

D ' a p r 6 s le t h 6 o r ~ m e 3 ]'in6galit6

au ~ x ~ - - y <~ 1

Xl + ^-^- x~ + ... +

m m I 41 -~ 22 -}- "'" -}- 2~

a des s o l u t i o n s e n n o m b r e s e n t i e r s n o n n6gatifs Xl, x2 . . . x~, s a t i s f a i s a n t a u x c o n d i t i o n s

O <~ x~ <~ 2~, l <~ p <<. ~¢, x~ + x~ + .. . + x~ > O.

P o u r d d m o n t r e r l a d e u x i ~ m e p a r t i e d u t h 6 o r ~ m e consid6rons l a c o n g r u e n c e

Xl + x2 + ... + x~ -=-- 0 ( m o d m). (17)

Si xl,xu, . . . , x ~ e s t u n e s o l u t i o n d e (17) a v e c les c o n d i t i o n s

l a p a r t i e g a u c h e d e (17) n e s u r p a s s e p a s le n o m b r e 2 1 + 2 9 . + . . . + 2 ~ < m et p a r s u i t e on a u r a l ' ~ g a l i t 6

X l + X 2 + "" + x ~ = 0, d ' o h e t d e (18) il d 6 c o u l e que x ~ = x 2 . . . x ~ = 0 .

L I T T E R A T U R E

1. T. NAGELL, S u r u n th6or&me d ' A x e l T h u e . A r k i v fSr ]Y[atematik, 1, 1951, 4 8 1 - 4 9 6 .

2. L ~ s FJELLSTEDT, E i n i g e Si~tze fiber lineare K o n g r u e n z e n . A r k i v f6r M a t e m a t i k , 3, 1956, 2 7 1 - 2 7 5 .

3. N. OB~.CHKOFF, S u r l ' a p p r o x i m a t i o n d e s n o m b r e s i r r a t i o n n e l s . A n n u a i r e de l'UrLiversit6 d e Sofia, 45, 1948-1949, 179-199.

T r y c k t den 14 november 1958

Uppsala 1958. Almqvist & %¥iksells Boktryckeri AB