Enfin, observons que f(x, x

Facult´e des Sciences Universit´e Mohammed V

SMA-S4 -Alg`ebre V

Solutions- S´erie 2-S´eance: 20 Mars-2020 Ann´ee Universitaire 2019-2020

Lisez bien l’´enonc´e de chaque exercice, et les notations fix´ees au d´ebut de la s´erie. Nous utiliserons dans ce corrig´e la notations suivante: Si h₁, h₂ ∈E^∗, h₁∗h₂ est la forme bilin´eaire d´efinie sur E par

(h₁∗h₂)(x, y) =h₁(x)h₂(y).

Exercice 1. (1) PosonsE =C². Soit f d´efinie par f :E×E →C, (x, y)7→x₁y₂−x₂y₁ Pour tous α, β ∈C, pour tous x, x⁰ et y dans E, on a

f(α(x₁, x₂) +β(x⁰₁, x⁰₂),(y₁, y₂)) = f(αx₁+βx⁰₁, αx₂+βx⁰₂),(y₁, y₂))

= (αx₁+βx⁰₁)y₂−(αx₂+βx⁰₂)y₁ On d´eveloppe et on d´eduit l’´egalit´e

f(α(x1, x2) +β(x⁰₁, x⁰₂),(y1, y2)) =α(x1y2−x2y1) +β(x⁰₁y2−x⁰₂y1)

=αf(x, y) +βf(x⁰, y)

De mani`ere analogue, on v´erifie que pour tous x, y, y⁰ ∈ E et α ∈ C, on a

f((x₁, x₂), α(y₁, y₂)+(y⁰₁, y₂⁰)) =αf((x₁, x₂),(y₁, y₂))+f((x₁, x₂),(y₁⁰, y₂⁰)) Donc f ∈ L₂(E).

Id´ee pour une m´ethode plus intelligente: f est la somme de deux applications bilin´eaires de la formeh₁∗h₂, o`u h<sub>j</sub> ∈ E<sup>∗</sup>. Donc f est lin´eaire (d’apr`es l’un des exemples du cours).

Enfin, observons que f(x, x) = x₁x₂−x₂x₁ = 0. Donc f ∈ A₂(E).

(2) Soit l’application

f :R³×R³ →R, (x, y)7→x₁y₃+ 2y₁y₂

Observons que f n’est pas lin´eaire en x, en effet, pour y fix´e dans R³, on a f(0, y) = 2y1y2. Donc si par exemple y = (1,1,0), f(0, y) = 2.

Ainsi, f 6∈ L₂(R³).

Id´ee pour la m´ethode directe: On calcule f(αx + βx⁰, y), o`u x, x⁰, y ∈R³ et α, β ∈R. On trouve

f(αx+βx⁰, y)6=αf(x, y) +βf(x⁰, y)

1

Ce n’est pas suffisant pour conclure. Pour une conclusion rigoureuse, donner des valeurs `a α, β, x, x⁰ ety.

(3) Consid´erons l’applicationf d´efinie par

f :R²×R² →R, (x, y)7→x1y1−2x2y2+x1y2

On peut faire comme avant, mais utilisons nos connaissances sur la dualit´e maintenant et les applications coordonn´ees. Observons que

f =e^∗₁∗e^∗₁−2e^∗₂∗e^∗₂+e^∗₁∗e^∗₂ Donc f ∈ L₂(R²).

D’autre part, pour tous x, y ∈R², f(y, x)−f(x, y) =y₁x₂−x₁y₂, qui est non nul en g´en´eral. Prenons par exemple x = (1,0), y = (0,1).

Donc f 6∈S2(R²).

De plus, f(x, x) = x²₁ −2x²₂ +x1x2. Donc si on prend par exemple x= (0,1), on trouve f((0,1),(0,1)) =−26= 0. Donc f 6∈ A₂(R²).

Consid´erons g d´efinie sur R²×R² par g(x, y) = f(y, x). Alors f = 1

2(f +g) + 1

2(f −g), 1

2(f +g)∈ S2(R²), 1

2(f +g)∈ A2(R²) (4) Posons E =M₂(K). Pour une notation plus pratique, on note ici par {E_ij} la base canonique de M₂(K) form´ee des matrices unit´es. Sa base duale sera donc not´ee{E_ij^∗}. Soit f l’application d´efinie par

f :E×E →K, (A, B)7→a₁₁tr(B), o`uA= (a_ij)_1≤i,j≤2 Alors f = E₁₁^∗ ∗(P2

j=1E_jj^∗). Donc f ∈ L₂(E). On trouve si on ´ecrit A = (a_ij)_ij etB = (b_ij)_ij,f(B, A)−f(A, B) = b₁₁a₂₂−a₁₁b₂₂. Comme exemple, observons que f(E₁₁, E₂₂)6=f(E₂₂, E₁₁), doncf 6∈ S₂(E).

D’autre part, on peut observer directement que f(E₁₁, E₁₁) = 1 6=

0, donc f n’est pas altern´ee. Pour la d´ecomposition de f en somme d’´el´ements deA₂(E) et S₂(E), on proc´ede comme dans le cas (3).

D´esormais, pour les exercices qui suivent, on appliquera le cours. Le Lemme 2.3 permet de reconnaˆıtre dans les cas qui suivent une forme bilin´eaire et d’´ecrire directement sa matrice dans la baseB. Pour tous x, y ∈E, On a

f(x, y) = X^tM(f, B)Y = X

1≤i,j≤n

x_iy_jf(e_i, e_j)

Pour les formes quadratiques, appliquez directement (apr`es avoir bien compris la formule) la proposition 3.7.

Exercice 2. I) (1) n = 2 :f(x, y) = x₁y₁−3x₂y₁. M(f, B) =

1 0

−3 0

M(f, B) n’est pas sym´etrique, donc f n’est pas sym´etrique.

(2) n= 3 :f(x, y) = 3x₁y₁+x₃y₃−x₂(y₁+ 7y₂), M(f, B) =





3 0 0

−1 −7 0

0 0 1





M(f, B) n’est pas sym´etrique, donc f n’est pas sym´etrique.

(3) n= 3 :f(x, y) =x₁y₂−x₂y₁, M(f, B) =





0 1 0

−1 0 0

0 0 0





M(f, B) n’est pas sym´etrique, doncf n’est pas sym´etrique. Par contre, remarquons que f est antisym´etrique (donc altern´ee).

(4) n= 4 :f(x, y) =x₁y₄+ 2x₂y₃−x₄y₄

M(f, B) =









0 0 0 1

0 0 2 0

0 0 0 0

0 0 0 −1









M(f, B) n’est pas sym´etrique, donc f n’est pas sym´etrique.

A vous maintenent: Construisezrapidementun exemple def(x, y)∈ L₂(R³) qui ne soit pas sym´etrique et telle que la troisi`eme ligne de la matrice associ´ee dans la base canonique est nulle.

II) f est une forme bilin´eaire sym´etrique sur R³ donc A=





2 0 3

0 1 −1

3 −1 0





Alors

f(x, y) = 2x₁y₁ +x₂y₂+ 3(x₁y₃+x₃y₁)−(x₂y₃ +y₂x₃)

Soit q la forme quadratique associ´ee. Alors, sans calcul, on d´eduit que q(x) =f(x, x) = 2x²₁+x²₂+ 6x₁x₃−2x₂x₃

Soit x∈R³. Alors x∈ C(q)⇔q(x) = 0. Donc

C(q) ={x∈R³ : 2x²₁+x²₂ + 2x₃(3x₁−x₂) = 0}.

A vous maintenant: Observez bien l’ensemble ci-dessus d’´el´ements isotropes de q. Donnez des exemples d’´el´ements. Est il un sous espace vectoriel de R³?

Soit x∈R³.

x∈ {(1,2,−1)}^⊥⇔f(x,(1,2,−1)) = 0 Apr`es calcul, on trouve

x∈ {(1,2,−1)}^⊥⇔ −x1+ 3x2+x3 = 0.

D’o`u

(1,2,−1)^⊥ ={(x1, x2, x1−3x2) : x1, x2 ∈R}= Vec{(1,0,1),(0,1,−3)}

2) Soit B⁰ ={e₁−e₂+e₃,2e₁, e₃}. Posons P =P_BB⁰. Alors P =





1 2 0

−1 0 0

1 0 1





detP 6= 0, donc B⁰ est une base de R³.

Remarque. On peut aussi conclure rapidement que B⁰ est une base de R³ sans ´ecrireP et calculer son d´eterminant. Observons B⁰: B⁰ est obtenue `a partir deB en ajoutant au premier vecteure₁ une combinai- son lin´eaire des autres vecteurs, en multipliant e₂ par un scalaire non nul, et en laissant e3 invariant. Donc B⁰ est une base de R³.

On a, d’apr`es la formule du cours M(f, B⁰) = P^tM(f, B)P = P^tAP. On trouve donc

M(f, B⁰) =





11 10 4 10 8 6

4 6 0





III) On a, juste en observant la formule qui d´efinit la forme quadratique

M(q1, B) =





1 i/2 −3/2

i/2 0 0

−3/2 0 1





M(q₂, B) =





0 5/2 0

5/2 −1 −3

0 −3 0





Si on calcule ∆_B(q₂), on trouve ∆_B(q₂) = 0. Donc rg q₂ ≤ 2. Re- marquons que la premi`ere colonne et la seconde colonne de M(q₂, B) forment une famille libre de C³, donc rg q₂ = 2. On peut aussi d´eduire le rang de q2 sans calculer ∆B(q2). Juste remarquer que la colonne 3 et la colonne 1 de M(q2, B) forment une famille li´ee, donc rg q2 ≤ 2.

On conclut comme avant.

(iii): Trouvons une forme quadratique q₃ de rang minimal sur C³ de sorte que rg(q₂ + q₃) = 3. Pour trouver q₃, nous allons directement travailler sur la matrice M(q₂, B), changer un minimum de cases pour avoir ∆_B(q₂+q₃)6= 0. Remarquons que

∆B(q2) = −5/2

5/2 −3

0 0

Donc on peut remplir la derni`ere case pour avoir ∆_B(q₂) 6= 0. Par exemple, on prend

M(q₂+q₃, B) =





0 5/2 0

5/2 −1 −3

0 −3 1





Donc on d´eduit que q₃(x) = x²₃. Il est clair que rg q₃ = 1, et donc q₃ est de rang minimal et v´erifie rg (q₂+ q₃) = 3.