1 Rappels sur les anneaux.

Rappels sur les anneaux et les corps.

Pr´ eparation ` a l’Agr´ egation, ENS de Cachan. Claire Renard . Septembre 2012

1 Rappels sur les anneaux.

1.1 D´ efinitions : caract´ erisations d’anneaux.

A est un anneau commutatif, unitaire, d’unit´e not´ee 1.

D´efinition 1 (Anneau int`egre). L’anneauA estint`egre si pour tous aet b∈A tels que ab= 0, alors a= 0oub= 0.

D´efinition 2(Anneau noeth´erien). Un anneauA estnoeth´erien si, de facon ´equivalente, – (i)Tout id´eal I deAest de type fini.

– (ii) Toute suite croissante d’id´eaux de Aest stationnaire.

– (iii)Tout ensemble non vide d’id´eaux admet un ´el´ement maximal pour l’inclusion.

D´efinition 3 (Anneau principal). Un anneau A est principal s’il est int`egre et tout id´eal est principal (i.e. de la forme(a), o`u a∈A).

D´efinition 4(Anneau factoriel). Un anneauA estfactorielsi : – (0) Aest int`egre.

– (E)Pour touta∈A\ {0}, il existeu∈A^× etp₁, . . . , p_rirr´eductibles tels que a=up₁. . . p_r. – (U)La d´ecomposition pr´ec´edente est unique `a permutations pr`es et aux inversibles pr`es.

D´efinition 5(Anneau euclidien). Un anneau Aest euclidiensi 1. A est int`egre.

2. A est muni d’une division euclidienne, i.e. il existe une fonction (appel´eestathme) v : A\ {0} →Ntelle que si aetb∈A avec b6= 0, il existeq etr dansA tels quea=bq+r et (r= 0ouv(r)< v(b)).

Th´eor`eme 6 (Hilbert). Si Aest noeth´erien, alors A[X]est noeth´erien.

Th´eor`eme 7 (Gauss). SiA est factoriel, alorsA[X]est factoriel.

Proposition 8. L’anneau A[X]est principal si, et seulement si,A est un corps.

FACTORIEL

ATTENTION!!!

+3INTEGRE

EUCLIDIEN +3PRINCIPAL

%-R

RR RR RR RR RR RR

RR RR RR RR RR RR R

19l

ll ll ll ll ll ll

ll ll ll ll ll ll l

NOETHERIEN

ATTENTION :si Aest factoriel, il n’est pas n´ecessairement noeth´erien. De mˆeme, si Aest noeth´erien, il v´erifie la propri´et´e (E), mais pas n´ecessairement (U) et n’est donc pas n´ecessairement factoriel.

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1.2 Exemples.

– Z,k[X] o`ukest un corps,Z[i] sont euclidiens.

– Z[¹⁺ⁱ

√19

2 ] est principal mais pas euclidien.

– k[Xn, n∈N] est factoriel mais pas noeth´erien.

– Z[i√

5] est int`egre, noeth´erien, mais pas factoriel.

– SiAest un anneau principal qui n’est pas un corps, alorsA[X] est factoriel et noeth´erien, mais n’est pas principal. L’anneauR[X, Y] est lui aussi factoriel, noeth´erien, mais pas principal.

1.3 Id´ eaux et arithm´ etique.

SiI est un id´eal deA, il y a bijection entre les id´eauxJ ⊇Iet les id´eaux de l’anneau quotient A/I.

D´efinition 9(Id´eal propre). Un id´eal I deA est ditpropres’il est distinct deA.

D´efinition 10 (Id´eal premier). Un id´eal I deA estpremier s’il est propre et que l’anneauA/I est int`egre.

Autrement dit, I est premier si c’est un id´eal propre et pour tous a etb ∈A, si ab∈I, alors a∈I oub∈I.

D´efinition 11 (Id´eal maximal). Un id´eal I est ditmaximal si c’est un id´eal propre et maximal pour l’inclusion : siJ est un id´eal de Acontenant I, alorsJ =I ouJ =A.

Autrement dit, l’id´ealI est maximal si, et seulement si l’anneau quotient A/I est un corps.

IDEAL MAXIMAL +3IDEAL PREMIER Pour touta∈A, on note (a) l’id´eal engendr´e para.

Soientaet b∈A.

– adiviseb, not´ea|bs’il existec∈Atel queb=ac. De mani`ere ´equivalente,a|b ⇐⇒ (b)⊆(a).

– aetb sontpremiers entre euxsi pour toutd∈Atel que d|aetd|b, alorsd∈A^×. – aetbsontassoci´essia|betb|a, ce qui ´equivaut `a (a) = (b). Si de plus l’anneauAest int`egre,

cela revient `a dire qu’il existeu∈A^× tel quea=ub.

Soitp∈A.pest ditirr´eductiblesi 1. p6= 0 etp /∈A^×

2. sip=ab, alorsa∈A^× oub∈A^×.

Autrement dit, les seuls diviseurs depsont les ´el´ements inversibles et les associ´es dep.

p∈A\ {0} est ditpremiersi (p) l’est.

Lorsque Aest int`egre, on a :

ELEMENT PREMIER +3ELEMENT IRREDUCTIBLE

Proposition 12. SoitA un anneau int`egre v´erifiant la propri´et´e (E)(par exemple noeth´erien et int`egre). Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes :

1. A v´erifie la propri´et´e(U)(et doncAest factoriel).

2. Lemme d’Euclide :pour toutpirr´eductible, sip|ab, alors p|aoup|b.

3. pest irr´eductible si, et seulement sipest premier.

4. Th´eor`eme de Gauss :sia|bcet aest premier avecb, alorsa|c.

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2 Rappels sur les corps.

D´efinition 13 (Extension de corps.). Soitkun corps. Une extension de kest(K, i)o`uK est un corps eti : k→K est un morphisme d’anneaux unitaires.

Remarque 14. Commekest un corps, le morphisme iest injectif.

Le morphismei est donc souvent sous-entendu, et on consid`ere que kest inclus dans K, not´e (K:k) ou

K

| k

.

Le corpsK est naturellement muni d’une structure de k-espace vectoriel (puisque si λ∈k et x∈K, λ.x=λx∈K).

D´efinition 15(Degr´e d’une extension.). Lorsque dimk(K)est finie, l’extension est dite finie. La dimension dimk(K) est not´ee[K:k] et appel´eedegr´e de l’extension.

Th´eor`eme 16 (De la base t´elescopique.). Le degr´e d’une extension est multiplicatif. Autrement dit, si (L : K), (K : k) et (L : k) sont trois extensions avec (L : k) finie, alors les deux autres extensions sont aussi finies et[L:k] = [L:K][K:k].

Si (K:k) est une extension etα∈K, on notek[α] :={P(α), P ∈k[X]}. C’est le sous-anneau deKengendr´e parket α.

ATTENTION : En g´en´eral,k[α] etk[X] ne sont pas isomorphes, voir la suite ! Si E⊂K, on notek(E) le plus petit sous-corps deK contenantketE.

D´efinition 17. L’extension(K:k)est ditemonog`enes’il existeα∈K tel queK=k(α).

Si α∈K, on a k[α]⊆k(α) ={P(α)/Q(α), P, Q∈k[X], Q(α)6= 0}.

Soitφ : k[X]→k[α] le morphisme d’anneaux d´efini parφ(1) = 1 etφ(X) =α. Par d´efinition, φest surjectif.

Proposition 18. Soit (K : k) une extension de corps et α ∈ K. Les propri´et´es suivantes sont

´equivalentes.

– (i)Le morphismeφn’est pas injectif. Autrement dit, il existe un polynˆomeP ∈k[X]non nul et tel que P(α) = 0.

– (ii) L’anneauk[α] est unk-espace vectoriel de dimension finie.

– (iii)L’anneauk[α] est un corps.

– (iv)k[α] =k(α).

D´efinition 19. Si α∈K v´erifie une des assertions de la proposition pr´ec´edente, αest ditalg´e- briquesur k. Sinon, il esttranscendant.

Lorsque αest transcendant,φest un isomorphisme entrek[α] etk[X].

D´efinition 20(Polynˆome minimal.). Siαest alg´ebrique, il existe un unique polynˆome unitaireµα

dek[X] tel que le noyau deφ soit engendr´e parµα :ker(φ) = (µα). C’est le polynˆome minimal deα.

Par d´efinition,k[α]'k[X]/(µα), et [k[α] :k] = deg (µα).

Remarque 21. Si k[α] est un corps, alors l’id´eal engendr´e par µ_α est maximal, et donc µ_α est irr´eductiblesur k[X].

D´efinition 22 (Corps de rupture.). SoitP ∈k[X] irr´eductible. Une extension(K:k)dek est un corps de rupturepourP siK=k(α)avec P(α) = 0.

Existence du corps de rupture et unicit´e `a isomorphisme pr`es :K'k[X]/(P).

D´efinition 23 (Corps de d´ecomposition.). Soit P ∈ k[X] non n´ecessairement irr´eductible. Une extension(K:k)dek est uncorps de d´ecompositionpour P si :

1. Dans K[X], le polynˆome P est un produit de facteurs de d´egr´e 1 (”P a toutes ses racines dansK”).

2. L’extension de corps (K:k) est minimale pour cette propri´et´e.

Existence du corps de d´ecomposition et unicit´e `a isomorphisme pr`es. On le note Dec_k(P).

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3 Quelques crit` eres d’irr´ eductibilit´ e de polynˆ omes.

SoitAun anneau factoriel etK son corps des fractions.

D´efinition 24. Si P ∈ A[X] est un polynˆome, le contenu de P, not´e c(P), est un pgcd des coefficients deP. Autrement dit, si P =anXⁿ+. . .+a1X+a0,c(P) = pgcd (an, . . . , a0) (d´efini aux inversibles pr`es).

Si le contenu deP est inversible,P est dit primitif.

Proposition 25. Les polynˆomes deA[X]irr´eductibles sont : 1. Les constantes p∈A irr´eductibles dansA.

2. Les polynˆomes de degr´e au moins un primitifs et irr´eductibles dansK[X].

D’o`u : il suffit d’´etudier l’irr´eductibilit´e des polynˆomes deK[X], o`uK est un corps.

Question :SoitP ∈K[X]. Est-il irr´eductible ?

3.1 Identification.

On ´ecrit P = QR o`u Q est R sont deux polynˆomes de K[X]. Montrer que Q ou R est un polynˆome constant.

Par exemple, si le degr´e deP est 2 ou 3, et queP n’a pas de racine dansK,P est irr´eductible.

La condition reste n´ecessaire mais n’est plus suffisante lorsque deg (P)≥4.

3.2 Crit` ere d’Eisenstein.

Proposition 26 (Cri`etre d’Eisenstein.). Soit P = anXⁿ +. . . +a1X +a0 ∈ A[X] primitif.

Supposons qu’il existe un ´el´ement irr´eductible p∈A tel que 1. pne divise pas an.

2. Pour touti= 0, . . . , n−1,pdiviseai. 3. p² ne divise pasa₀.

AlorsP est irr´eductible dansK[X], et donc aussi dansA[X] puisqu’il est primitif.

3.3 R´ eduction.

Th´eor`eme 27. SoitP =anXⁿ+. . .+a1X+a0∈A[X] primitif.

Supposons qu’il existe un id´eal premierI deAtel que :

1. L’image dean par la projection canoniqueA→A/I est non nulle.

2. L’image deP dans A/I[X]est irr´eductible dans(A/I)[X] ouF rac(A/I)[X].

AlorsP est irr´eductible dansK[X] et donc dansA[X].

3.4 Utilisation d’extension(s) de corps.

Proposition 28. Soitdle degr´e deP. Le polynˆomeP est irr´eductible dansK[X]si, et seulement si pour toute extensionLdeK avec [L:K]≤d/2,P n’a aucun racine dansL.

Y penser notamment lorsque l’on est dans un corps fini !

Proposition 29. SoitP ∈k[X] un polynˆome irr´eductible de degr´enet K une extension dek de degr´empremier avecn. Alors P est encore irr´eductible dansK[X].

C’est ´evidemment faux si l’on ne suppose plusnetm premiers entre eux ! ! !

Un dernier crit`ere(auquel on ne pense pas forc´ement) : montrer queP est le polynˆome minimal d’un certain ´el´ement αdans une extension du corpsK.

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