Université de Picardie Jules Verne – U.F.R. des Sciences Licence d’Informatique – Première année Examen de "Langages Formels" - 2ième session 2009-2010 - Durée de l’épreuve : 2h.

(1)

Université de Picardie Jules Verne – U.F.R. des Sciences Licence d’Informatique – Première année

Examen de "Langages Formels" - 2ième session 2009-2010 - Durée de l’épreuve : 2h. Le barème entre parenthèses est indicatif.

- Aucun document n’est autorisé. Calculatrices, portables et autres machines sont aussi interdits.

- Toutes les réponses doivent être justifiées. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction.

Exercice 1 (4 points)

1. Qu’est-ce qu’un langage rationnel ? 2. Qu’est-ce qu’un automate déterministe ? 3. Énoncer le théorème de Kleene.

4. Quand deux états d’un automate sont-ils dits séparés ?

Exercice 2 (4 points) Soit A

₂

l’automate suivant (l’alphabet est A = {a}).

5 1

a

a 2

4 6

7

3

8

10

11 a a

a a

a

a a a a a

a a

9 1. En utilisant l’algorithme du cours, calculez les états accessibles à partir de l’état 1.

2. Quels sont les états accessibles de l’automate (expliquez brièvement votre réponse en utilisant la question précédente) ?

3. Donner sans justification les états co-accessibles de A

₂

. 4. Dessiner l’automate émondé de A

₂

.

Exercice 3 (3 points) Calculer les résiduels du langage a(a + b)

^∗

ab. Donner l’automate minimal du langage.

Exercice 4 (1 point) Le langage L

₁

= {a

ⁿ

| n ≥ 0}.{b

ⁿ

| n ≥ 0} est-il reconnaissable ? Justifier.

1

(2)

Exercice 5 (3 points)

Soit A

5

l’automate asynchrone suivant (l’alphabet est A = {a, b}).

a

1 2

a

a 4

5 6 7

¡

¡ ¡

¡

b

3 ¡

¡

1. Sans détailler les calculs, donner l’ε-clôture de chacun des états.

2. Notons A

_res

=< A, Q

_res

, D

_res

, F

_res

, δ

_res

> l’automate sans ε-transition équivalent à A

₅

qu’il est possible d’obtenir par la méthode du cours. Sans dessiner l’automate A

_res

, donnez les valeurs de Q

_res

, D

_res

, F

_res

et δ

_res

.

Exercice 6 (5 points) Soit A

₆

Université de Picardie Jules Verne – U.F.R. des Sciences Licence d’Informatique – Première année Examen de "Langages Formels" - 2ième session 2009-2010 - Durée de l’épreuve : 2h.

Université de Picardie Jules Verne – U.F.R. des Sciences Licence d’Informatique – Première année

Examen de "Langages Formels" - 2ième session 2009-2010 - Durée de l’épreuve : 2h. Le barème entre parenthèses est indicatif.

- Aucun document n’est autorisé. Calculatrices, portables et autres machines sont aussi interdits.

- Toutes les réponses doivent être justifiées. Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction.

Exercice 1 (4 points)

1. Qu’est-ce qu’un langage rationnel ? 2. Qu’est-ce qu’un automate déterministe ? 3. Énoncer le théorème de Kleene.

4. Quand deux états d’un automate sont-ils dits séparés ?

Exercice 2 (4 points) Soit A

l’automate suivant (l’alphabet est A = {a}).

5 1

a

a 2

4 6

7

3

8

10

11

a a

a a

a

a a a a a

a a

9

1. En utilisant l’algorithme du cours, calculez les états accessibles à partir de l’état 1.

2. Quels sont les états accessibles de l’automate (expliquez brièvement votre réponse en utilisant la question précédente) ?

3. Donner sans justification les états co-accessibles de A

. 4. Dessiner l’automate émondé de A

.

Exercice 3 (3 points) Calculer les résiduels du langage a(a + b)

ab. Donner l’automate minimal du langage.

Exercice 4 (1 point) Le langage L

= {a

| n ≥ 0}.{b

| n ≥ 0} est-il reconnaissable ? Justifier.

1

Exercice 5 (3 points)

Soit A

l’automate asynchrone suivant (l’alphabet est A = {a, b}).

a

1 2

a

a 4

5 6 7

¡

¡ ¡

¡

¡

b

3 ¡

¡

¡

1. Sans détailler les calculs, donner l’ε-clôture de chacun des états.

2. Notons A

=< A, Q

, D

, F

, δ

> l’automate sans ε-transition équivalent à A

qu’il est possible d’obtenir par la méthode du cours. Sans dessiner l’automate A

, donnez les valeurs de Q

, D

, F

et δ

.

Exercice 6 (5 points) Soit A

l’automate suivant (l’alphabet est A = {a, b}).

1 a

2

3 a

a

b

b

Appelons L le langage reconnu par cet automate.

1. A l’aide de la méthode d’élimination d’états, donnez une expression rationnelle de L. Montrez clairement les différentes étapes du calcul.

2. En utilisant le lemme d’Arden, donnez une expression rationnelle de L.

2