Université de Picardie Jules Verne Faculté de Mathématiques et d'Informatique Licence d'Informatique Première année

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Examen de Langages Formels première session 2007-2008 - Durée de l'épreuve : 2h. - Aucun document n'est autorisé.

- De même, les calculettes, portables et autres machines sont interdits.

- Le barème entre parenthèses est indicatif.

- Toutes les réponses doivent être justiées.

- Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction.

Exercice 1 (2 points)

1. Énoncez le théorème de Kleene.

2. Qu'est-ce qu'un langage algébrique ? 3. Qu'est-ce qu'un état co-accessible ? 4. Qu'est-ce qu'un automate émondé ?

Exercice 2 (6 points) Donnez une expression rationnelle du langage reconnu par l'automate suivant,

2.1) en utilisant la méthode par élimination d'états,

2.2) en utilisant la méthode se servant du lemme d'Arden (lemme que vous rappelerez).

b

1 2

b

b a

3

a

Exercice 3 (3 points) Calculez par la méthode des sous-ensembles un automate détermin- iste équivalent à l'automate de l'exercice 2. Dessinez cet automate.

Exercice 4 (3,5 points) En utilisant la méthode des résiduels, dessinez l'automate minimal déterministe complet reconnaissant le langage L = b

a + (ab + a)

.

1/2

Exercice 5 (3,5 points) En utilisant l'algorithme de Moore, construire l'automate minimal équivalent à l'automate < {a, b}, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, {1}, {1, 5}, δ > où la table de transition δ est donnée par :

1 2 3 4 5 6 7 a 5 3 1 3 5 7 1 b 3 7 4 3 2 3 6

Exercice 6 (2 points) Soient a et b deux lettres distinctes et les ensembles

• L

= (ab)

∪ {a

b

| n ≥ 0}

• L

= a

b

∪ {a

b

| n ≥ 0}

Dites si ces langages sont reconnaissables ou non. Prouvez votre réponse par la méthode de votre choix.

Point bonus : donnez une grammaire générant chacun des langages (il n'est exceptionnelle- ment pas demandé de prouver cette réponse).

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