TS : corrigé du TD (probabilités conditionnelles) I

TS : corrigé du TD (probabilités conditionnelles)

I

Une grave maladie affecte le cheptel bovin d’un certain pays. On estime 7 % des bovins atteints.

On vient de mettre au point un test pour diagnostiquer la maladie.

On a constaté que :

• lorsque un animal est malade, le test est positif dans 87 % des cas

• lorsque un animal n’est pas malade, le test est négatif dans 98 % des cas.

Pour un animal désigné au hasard, on noteM « l’événement l’animal est malade » etT l’événement « le test est positif ».

On peut visualiser la situation par un arbre :

b b

M 0, 07

b T

0, 87

b T

0, 13

b

M 0, 93

b T

0, 02

b T

0, 98 1. Calculer les probabilités des événements :

(a) p(M∩T)=p_M(T)×p(T)=0, 87×0, 07

= 0,060 9 (b) M∩T=p_M³

T´

×p³ T´

=0, 13×0, 07= 0,009 1 (c) M∩T=p_M(T)×p(T)=0, 02×0, 93= 0,911 4 (d) M∩T=p_M(T)×p(T)=0, 98×0, 93= 0,911 4 2. T =(M∩T)∪

³

M∩M´

(réunion d’événements incompatibles ) p(T)=p_M(T)×p(T)+p_M(T)×p

³ M

´

(formule des propriétés totales )

=0, 87×0, 07+0, 02×0, 93= 0,079 5 3. p_T(M)=p(M∩T)

p³

T´ =0, 13×0, 07

1−0, 0795 =0, 0091

0, 9205≈ 0,009 9≈1 %

II Inverser un arbre de probabilités

Un sondage effectué récemment dans une région montagneuse à propos de la construction d’un barrage donne les résultas suivants :

• 65 % des personnes interrogées sont contre la construction de ce barrage ;

• parmi les personnes qui sont contre ce barrage, 70 % sont des écologistes ;

• parmi les personnes qui sont pour la construction de ce barrage, 20 % sont ds écologistes.

On noteCl’événement « La personne interrogée au hasard est contre ce barrage ».

On noteEl’événement : « La personne interrogée est écologiste ».

1. Compléter l’arbre de probabilités suivant :

b b

C 0, 65

b E

0, 7

b E

0, 3

b

0, 35 C

b E

0, 2

b E

0, 8 2. p(E)=p_C(E)×p(C)+p_C(R)×p³

C´

=0, 7×0, 65+0, 2×0, 35=0, 455+0, 07= 0, 525 3. On inverse l’arbre de probabilités ; compléter l’arbre ci-dessous :

On a :

• p(E)=0, 525 doncp³ E´

=1−0, 525= 0, 475 .

• p_E(C)=p(E∩C)

p(E) =0, 455 0, 475 =91

95

• p_E³ C´

=1−91 95= 4

95

• p_E(C)= p

³ C∩E

´

p³

E´ =0, 3×0, 65

1−0, 525 =0, 195 0, 475=39

95 d’oùp_E³ C´

=56 95

b b

E 0, 525

b C

91 95

b C

4 95

b

0, 475 E

b C

39 95

b C

56 III Le jeu est-il favorable ? 95

On dispose de deux urnesU1etU2contenant des boules indiscernables au toucher.

L’urneU₁contientnboules blanches et 3 boules noires (nentier,nÊ1).

L’urneU₂contient 2 boules blanches et 1 boule noire.

On tire au hasard une boule deU₁et on la met dansU₂puis on tire au hasard une boule deU₂et on la met dansU₁; l’ensemble de ces deux opérations constitue une épreuve.

Représentation par un arbre :

• On noteB₁l’événement « la boule choisie dans l’urneU₁est blanche »

• On noteN₁l’événement « la boule choisie dans l’urneU₁est noire »

• On noteB₂l’événement « la boule choisie dans l’urneU₂est blanche »

• On noteN₂l’événement « la boule choisie dans l’urneU₂est noire »

b b

B₁ n n+3

b B₂

3 4

b N₂

1 4

b

N1

3 n+3

b B₂

1 2

b N₂

1 2

1. On considère l’événement A: « Après l’épreuve, les urnes se retrouvent chacune dans leur configuration de dé- part ».

(a) Pour retrouver la configuration initiale, il faut avoir tirer successivement deux boules de même couleur.

A=(B1∩B₂)∪(N1∩N₂) doncp(A)=3 4× n

n+3+1 2× 3

n+3= 3n+6 4(n+3)= 3

4 µn+2

n+3

¶ . (b) On a une forme indéterminée.

n+2 n+3=

n¡ 1+²

n

¢

n¡ 1+³

n

¢= 1+²

n

1+³

n

qui te,d vers 1 quandntend vers+∞. Donc : lim

n→+∞p(A)=3 4

2. On considère l’événementB: « Après l’épreuve, l’urneU₂contient une seule boule blanche ».

B est réalisé si, et seulement si, on a tiré une boule noire dans l’urneU₁puis une boule blanche dans l’urneB₂. p(B)= 3

n+3×1

2= 3

2(n+3)= 6 4(n+3)

3. Un joueur mise 20eet effectue une épreuve. L’issue de cette épreuve, on compte le nombre de boules blanches contenues dans l’urneU₂.

• SiU₂contient 1 boule blanche, le joueur reçoit 2ne_.

• SiU₂contient 2 boules blanches, le joueur reçoitne_.

• SiU₂contient 3 boules blanches, le joueur ne reçoit rien.

(a) On noteX le gain algébrique du joueur. Les valeurs prises parG sont 2n−20,n−20 ou−20. Sin É10, 2n−20É0 donc le gain maximum est négatif, donc le joueur est sûr de perdre de l’argent à chaque partie, donc le joueur n’a aucun intérêt à joueur sinÉ10 !

Dans la suite, on considèren>10 et on introduit la variable aléatoire Xqui prend pour valeur le gain algé- brique du joueur.

Par exemple, si après l’épreuve, l’urneU₂contient une seule boule blanche,X=2n−20.

(b) Déterminer la loi de probabilité deX. On constate quep(X=2n−20)=p(A)=3

4 µn+2

n+3

¶

etp(X=n−20)=p(B)= 6 4(n+3). On en déduitp(X= −20)=1−

·3 4

µn+2 n+3

¶ + 6

4(n+3)

¸

=4(n+3)−3(n+2)−6

4(n+3) =4n+12−3n−6−6

4(n+3) = n

4(n+3) On donne la loi de probabilité deXsous la forme d’un tableau :

x_i 2n−20 n−20 -20

p(X=x_i) 6 4(n+3)

3 4

µn+2 n+3

¶ n

4(n+3) (c) E(X)= 6

4(n+3)×(2n−20)+3 4

µn+2 n+3

¶

(n−20)+ n

4(n+3)×(−20)= 3n²−62n−240 4(n+3) . (d) E(X) est du signe de 3n²−62n−240 qui a pour racines10

3 et 24.

Il est positif sinest extérieur à l’intervalle formé par les racines ; commen>0 on e déduit quen>24 donc nÊ25