MAP431. Analyse num´erique et optimisation 1 Sujet de Travaux Pratiques : propagation d’une onde ´electromagn´etique Patrick Ciarlet (email : Patrick.Ciarlet@ensta.fr)
Dans le vide, le champ ´electromagn´etique (E, ~~ B) est solution des ´equations de Max- well :
∂ ~E
∂t −c2rot~ B~ =−1 ε0
J,~ ∂ ~B
∂t +rot~ E~ = 0. (1) Physiquement, E~ est le champ ´electrique, et B~ l’induction magn´etique. La donn´ee J~ est la densit´e de courant. Enfin, c= 3 108m.s−1, et ε0 = 1/(36π109)F.m−1.
Math´ematiquement, `a tout instant, E,~ ∂tE~,B,~ ∂tB~ etJ~sont `a supports born´es et toutes leurs composantes appartiennent `a L2(R3).
Pour fermer le syst`eme, on lui adjoint des conditions initiales, que l’on supposera nulles dans la suite :
E(0) =~ B(0) = 0.~ (2)
Lorsqu’on s’int´eresse `a la propagation d’une onde ´electromagn´etique dans un domaine Ω entour´e d’un conducteur parfait, la trace tangentielle de E, ainsi que la trace normale de~ B, s’annulent sur la fronti`ere~ ∂Ω. Si on appelle~n la normale unitaire sortante `a ∂Ω, ceci correspond `a :
E~ ×~n|∂Ω = 0, ~B·~n|∂Ω= 0. (3) Pour des raisons ”pratiques”, on se limite dans la suite `a un probl`eme pour lequel le domaine de calcul Ω, le champ ´electromagn´etique et la densit´e de courant sontinvariants par rapport `a z. En d’autres termes :
Ω =ω×R, o`uω ⊂R2, ∂·
∂z = 0.
Ici,ω est de forme polygonale (en L) : ses sommets ont respectivement pour coordonn´ees (0,0), (1,0), (1,12), (12,12), (12,1) et pour finir (0,1). On notera ~ν la normale unitaire sortante `a∂ω, et ~τ le vecteur tel que (~τ, ~ν) est une base orthonormale.
1 Mod´ elisation
1. Montrer que (1)-(2)-(3) peut ˆetre r´e´ecrit sous la forme de deux syst`emes d´ecoupl´es:
→ le premier en (Ex, Ey, Bz), appel´e mode TE (Transverse Electric) ;
→ le second en (Bx, By, Ez), appel´e mode TM (Transverse Magnetic) ; Dans la suite, on se concentre sur le mode TM.
2. V´erifier que l’on peut reformuler les ´equations satisfaites par (Bx, By, Ez) en :
∂Ez
∂t −c2rotB~⊥ =−1 ε0
Jz, ∂ ~B⊥
∂t +rot~ Ez = 0 dansω, t > 0. (4)
Ez(0) = 0, ~B⊥(0) = 0 dansω. (5)
Ez|∂ω = 0, ~B⊥·~ν|∂ω = 0, t >0. (6)
MAP431. Analyse num´erique et optimisation 2
Ci-dessus, nous avons adopt´e la convention B~⊥ =Bx~ex+By~ey, et nous avons intro- duit deux op´erateurs rotationnels surω :
rot~u= ∂uy
∂x − ∂ux
∂y , ~rotu= ∂u
∂y~ex− ∂u
∂x~ey.
3. Expliquer pourquoi Ez est solution de l’´equation des ondes ci-dessous :
∂2Ez
∂t2 −c2∆Ez =−1 ε0
∂Jz
∂t . Etablir qu’`a tout instant, Ez appartient `a H01(ω).
Quelle condition initiale doit-on ajouter ?
4. On veut proc´eder de la mˆeme fa¸con pour B~⊥... V´erifier que l’on aboutit `a
∂2B~⊥
∂t2 +c2rot rot~ B~⊥= 1 ε0
rot~ Jz. (7)
Quelle condition initiale doit-on ajouter ?
5. L’induction magn´etique B~ est `a divergence nulle dans le vide. Il existe donc un potentiel vecteur A~ tel que
B~ =rot~ A, A~ x, Ay, Az ∈L2(Ω).
Lorsqu’on applique l’invariance par rapport `a z, en d´eduire que :
B~⊥ =rot~ Az, Az ∈L2(ω). (8) En termes de r´egularit´e du potentiel scalaireAz, que peut-on affirmer ? Le potentiel Az est-il unique ? Quelle condition aux limites est satisfaite par Az? Conclusion ? D´eduire de (7)-(8) que Az v´erifie :
rot~
∂2Az
∂t2 −c2∆Az− 1 ε0
Jz
= 0.
On admet pour finir que les termes entre parenth`eses satisfont globalement une condition aux limites homog`ene, ce qui permet d’affirmer que Az est telle que
∂2Az
∂t2 −c2∆Az = 1 ε0
Jz. Quelles sont les conditions initiales v´erifi´ees parAz?
6. Ecrire les formulations variationnelles dont Ez et Az sont respectivement solution.
Dans la suite, on va r´esoudre num´eriquement les deux ´equations des ondes que v´erifient Ez etAz, puis on en d´eduira une approximation num´erique du mode TM (Bx, By, Ez)...
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2 Discr´ etisation
On semi-discr´etise en espaceles ´equations des ondes en Ez etAz `a l’aide de l’´el´ement fini de Lagrange P1, conforme dans H1(ω), sur des maillages triangulaires. On discr´etise en temps `a l’aide dusch´ema saute-mouton, avec un pas de temps ∆t uniforme.
1. Ecrire les sch´emas r´esultants.
2. Comment proc´eder pour obtenir un sch´ema num´erique compl`etement explicite? 3. Le pas de temps ∆t est choisi de sorte que :
c∆t ≤ 1
2hmin, (9)
avec hmin = minT∈ThhT,hT diam`etre du triangleT, etTh la triangulation courante.
Pourquoi doit-on respecter une contrainte du type (9) ?
4. Pour reconstruire une approximation num´erique de B~⊥ `a partir de celle calcul´ee pourAz, on part de l’identit´eB~⊥ =rot~ Az dans L2(ω)2, ´equivalente `a
Z
ω
B~⊥·~λ dω= Z
ω
rot~ Az·~λ dω, ∀~λ∈L2(ω)2. (10) Comment utiliser (10) en pratique ?
3 Mise en œuvre
1. R´ealisez la mise en œuvre des sch´emas num´eriques pr´ec´edemment construits `a l’aide de FreeFem...
2. On consid`ere la donn´ee
Jz =f(x) sin(ζ t)e−ζ t2 .
La fonction f est ´egale `a la fonction chapeau centr´ee en x = 1/4, de support [1/8,3/8]. La pulsationζest associ´ee `a la fr´equenceν = 4GHz (ζ = 2πν.) On r´esout les ´equations de Maxwell en mode TM entre les instants t = 0s et t= 3 10−9s.
R´ealisez les simulations num´eriques avec ces donn´ees, sur quelques maillages (res- pectivement form´es de 500, 2.000 ou 8.000 triangles environ.) Analysez les r´esultats.
3. L’utilisation du sch´ema compl`etement explicite est-elle int´eressante en pratique ? 4. Comment am´eliorer la qualit´e de la solution calcul´ee, au voisinage du coin rentrant ?
R´ealisez une exp´erience num´erique et comparez-la aux exp´eriences pr´ec´edentes.
5. Un examen attentif des ´equations permet de constater que Ez et Az sont li´es...
Quel est l’int´erˆet num´erique d’une telle remarque ? Et en pratique ?
