du jeudi 27 mai 2021

(1)

T spécialité

Contrôle

du jeudi 27 mai 2021

Durée : 50 minutes - Fiche autorisée - Calculatrice

Numéro : ….. Prénom et nom :……….……….

Note : ….. / 20

I. (4 points)

Soit A, B, C trois points quelconques de l’espace

E

. On note I le milieu de

 

^{BC .}

On suppose que A et I ne sont pas confondus.

Déterminer l’ensembleF des points M de

E

^{tels que} ^MA^{}^



^MB^{ }^^MC



^⁰^.

On rédigera avec soin.

..………..

Dans les exercicesII etIII, l’espace

E

est muni d’un repère orthonormé



^{O, , ,}^{  }^{i j k}



^.

II. (3 points : 1°) 1 point ; 2°) 2 points)

On considère le planP d’équation cartésienne 2x2y  z 4 0.

1°) Déterminer les coordonnées du point d’intersection A deP avec l’axe des abscisses.

..………..

2°) Calculer la distance du point B



^{1 ; 1 ;}^³



^à^P.

..………..

(2)

III. (5 points : 1°) 3 points ; 2 points)

Pour tout réelm, on note S_m l’ensemble des points M de

E

dont les coordonnées



^{x y z}^; ^;



^vérifient

2 2 2 2 2 2 3 0

x y z  mx my mz  .

1°) Déterminer l’ensembleF des réelsm tels que S_m soit une sphère.

Dans ce cas, déterminer les coordonnées de son centre _m et son rayon r_m en fonction dem.

2°) Déterminer l’ensemble des points _m lorsquem décrit F.

..………..

IV. (6 points : 3 points chaque intégrale)

Calculer la valeur exacte des intégrales

ln 3 2 0

I



xe d^x x^et ^J^



¹^e^x³^{ln d}^{x x}^.

On ne détaillera sur les lignes ci-dessous que le calcul de l’une des intégrales au choix.

..………..

V. (2 points)

On considère la fonction F :x

3

e d 1

x t

t  t



(on ne cherchera pas à calculer cette intégrale).

Calculer ^F'

 

^x sans justifier.

 x  ^F'

 

x ...

(3)

Corrigé du contrôle du 27-5-2021

I.

Soit A, B, C trois points quelconques de l’espace

E

. On note I le milieu de

 

^{BC .}

On suppose que A et I ne sont pas confondus.

Déterminer l’ensembleF des points M de

E

tels que ^MA^{}^



^MB^{ }^^MC



^⁰^.

On rédigera avec soin.

Comme I est le milieu de

 

^{BC ,} ^{ }^M

E

MB MC2MI

.

Soit M un point quelconque de

E

^.

MF Û ^MA^{}^



^MB^{ }^^MC



^⁰

MF Û ^MA^{}^

 

^2MI^ ^⁰ (car I est le milieu de

 

BC , voir encadré ci-dessus) MF Û ^{2 MA MI}



^{ }^



^⁰

MF Û MA MI 0

 (on s’arrête là, il n’y a pas besoin d’aller plus loin) On reconnaît un lieu géométrique classique.

Comme A et I ne sont pas confondus par hypothèse,F est la sphère de diamètre

 

^{AI .}

Dans les exercicesII etIII, l’espace

E

est muni d’un repère orthonormé



^{O, , ,}^{  }^{i j k}



^.

II.

On considère le planP d’équation cartésienne 2x2y  z 4 0.

1°) Déterminer les coordonnées du point d’intersection A deP avec l’axe des abscisses.

Le point A a pour coordonnées



^{2 ; 0 ; 0}



^.

2°) Calculer la distance du point B



^{1 ; 1 ;}^³



^à^P.

On applique la formule de distance d’un point à un plan directement en situation.

(4)

 

^{2 2 3 4}

d B,P   4 4 1

  

 

d B, 7

9 P 

 

d B, 7 P  3

III.

Pour tout réelm, on note S_m l’ensemble des points M de

E

dont les coordonnées



^{x y z}^; ^;



^vérifient

2 2 2

2 2 2 3 0

x y z  mx my mz  .

1°) Déterminer l’ensembleF des réelsm tels que S_m soit une sphère.

Dans ce cas, déterminer les coordonnées de son centre _m et son rayon r_m en fonction dem.

Soit M un point quelconque de

E

de coordonnées



^{x y z}^{; ;}



^.

MS_m Û



^{x m}^

 

²^ ^y^^m

 

²^{ }^z ^m



²^³^m²^{ }³ ⁰

MS_m Û



^{x m}^

 

²^ ^y^^m

 

²^{ }^z ^m



²^³



^m²^¹



Pour que S_m soit une sphère, il faut et il suffit que m² 1 0 soit m 1 ou m1. On a donc



^{; 1}

 

^{1 ;}



F        .

Pour mF, S_m est la sphère de centre _m



^{m m m}^; ^;



et de rayon r_m  3m²3.

La question aurait pu être posée ainsi : Quelle est la nature de S_m ? Dans ce cas, il faut faire une discussion.

Pour déterminer la nature de S_m, on doit s’intéresser au signe de m²1 (essentiel).

Le signe de m²1 dépend de la position dem par rapport à 1 et – 1 (on peut éventuellement faire un tableau de signes).

 Si ^m^{   }



^{; 1}

 

^ ^{1 ;}^{ }



^{, alors} Sm est la sphère de centre _m



^{m m m}^; ^;



et de rayon r_m 3m²3.

 Si m1 ou m 1, alors S_m est un singleton (ensemble constitué d’un seul élément).

 Si ^m^{ }



^{1 ; 1}



^{, alors} Sm est l’ensemble vide (on peut écrire S_m  ).

(5)

2°) Déterminer l’ensemble des points _m lorsquem décrit F.

On doit déterminer l’ensemble des points _m lorsquem décritF.

On a

m

m m

x m

y m

z m



 

 

 



avec mF.

On reconnaît un système d’équations paramétriques de droite.

Or ^F ^{   }



^{; 1}

 

^ ^{1 ;}^{ }



^.

On note A le point de coordonnées



^{1 ; 1 ;1}



et B le point de coordonnées



^{  }^{1 ; 1; 1}



^.

L’ensemble des points _m lorsquem décritF est la droite

 

^AB privée du segment

 

^AB (cet ensemble se note

 

^{AB \ AB}

 

^).

Il s’agit donc de la réunion de deux demi-droites ouvertes d’origines A et B.

IV.

Calculer la valeur exacte des intégrales

ln 3 2 0

I



xe d^x x^et ^J^



¹^e^x³^{ln d}^{x x}^.

On ne détaillera sur les lignes ci-dessous que le calcul de l’une des intégrales au choix.

Dans les deux cas, on utilise la formule d’intégration par parties.

Calcul de I :

On pose ^{u x}

 

^^x^et ^{v x}^'

 

^^e²^x^.

On a alors ^{u x}^'

 

^¹^et

 

^e²

2

x

v x  .

(6)

ln 3 ln 3

2 2

0 0

e e

I d

2 2

x x

 

   

 



2ln 3 ln 3

2 0

ln 3 e 1 2 e

I d

2

x x

  



2 ln3

0

9 ln 3 1 e

2 2 2

I

 x 

   

 

2 ln 3 0

9 ln 3 1 2 4 e

I   ^x 

2ln 3 0

9 ln 3 e

I e

2 4

  

9 ln 3 9 1

2 4

I   9 ln 2

I 3

 2 

Calcul de J :

On pose ^{u x}

 

^^ln^x^et ^{v x}^'

 

^^x³^.

On a alors ^{u x}^'

 

¹

 x et

 

⁴

4 v x  x .

e e

4 4

1 1

J ln 1 d

4 4

x x

x

 

    

 



4 4 e

3 1

e 1 1

ln e ln1 d

4 4

J    4



x x

4 e

3 1

e 1

0 d

4 4

J  



x x

4 4 e

1

e 1 4 4 4

J  x

   

 

4 e 4

e 1

4 16 J

 x

  

4 4

e e

4 6

J 1

1

   3e4

J 6 1

1

 

On vérifie les résultats à l’aide de la calculatrice (valeurs approchées).

(7)

V.

On considère la fonction F :x

3

e d 1

x t

t  t



(on ne cherchera pas à calculer cette intégrale).

Calculer ^F'

 

^x sans justifier.

 x  ^F'

 

^e

1

x

x  x

 Considérons la fonctionu:t e

1

t

t  .

La fonctionu est continue sur (quotient de deux fonctions continues sur, celle du dénominateur ne s’annulant pas).

De plus,  x 

   

3

F d

x

x 



u t t^.

D’après le théorème du cours, F est dérivable sur et  x  ^F'

   

^x ^^{u x} ^soit ^{ }^x ^ ^F'

 

^e

1

x

x  x

 . On peut dire que F est la primitive deu qui s’annule en 3.