DeliaKesner(UniversitéParisDiderot) Typage 20181/16 Polymorphisme

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Polymorphisme

Delia Kesner (Université Paris Diderot) Typage 2018 1 / 16

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Motivations

Décrire le comportement d'une opération de façon générale, i.e. de façon indépendante de la nature (ou type) de ses paramètres.

Employer une même opération avec plusieurs types diérents. Ceci rend le programme plus claire et plus succint.

Faciliter la réutilisation.

Faire porter le même nom à des opérations qui se "ressemblent" d'un point de vue sémantique.

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Les diérentes formes du polymorphisme

Polymorphisme ad-hoc ou surcharge Polymorphisme d'inclusion ou sous-typage Polymorphisme paramétrique ou générique

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Le polymorphisme ad-hoc

Dans les langages orientés objet ⇒ dénir des méthodes de même nom dans deux classes indépendantes.

Dans les langages procéduraux ⇒ dénir deux fonctions de même nom mais ayant des paramètres diérents (type ou nombre).

Exemple : Opérateur +pour réaliser l'addition entre deux nombres complexes,entiersou réels.

Diculté : Pour chaque utilisation de l'opérateur le compilateur doit décider quel code exécuter.

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Le polymorphisme d'inclusion

Denition

Un type A⁰ est un sous-type(ou est inclusdans) un type A si n'importe quelle opération dénie sur A est aussi dénie sur A⁰.

Intuition : Un objet de type A⁰ peut remplacer sans danger un objet de type A.

Sous-typage entre objets :

Soient A=<m₁ :A₁;...;m_n:A_n>et

A⁰ =<m₁:A⁰₁;...;m_n:A⁰_n;m_n+1:C_n+1;...;m_k :C_k >. On dit que A⁰ est un sous-type de A, noté A⁰≤A, ssi A⁰_i <Ai pour i ∈ {1, ...,n}.

Exemple : Le type colorpointest un sous-type du typepoint.

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Sous-typage dans les appels de fonctions : Si Γ`f :A→B,Γ`M :A⁰ et A⁰ ≤A alors fM:B.

Exemple : Le polymorphisme d'inclusion permet de construire des listes hétérogènes où chaque élément est sous-type du type des éléments de la liste. Ainsi, on peut construire une liste de points (de couleur ou pas) et appliquer une fonction sur cette liste.

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Le polymorphisme paramétrique

Motivation :

Plusieurs fonctions identité :

Id_int :int →int,Id_bool :bool →bool, Idint→int : (int→int)→(int→int), . . .

Plusieurs fonctions pour rajouter un élément à une liste : Aj_int :int×list(int)→list(int),

Aj_bool :bool ×list(bool)→list(bool), . . .

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Idée:

Id :∀α.α→α et donc Idint =Id[int] Id_bool =Id[bool]

Id_int→int =Id[int→int]

Remarque : Ce qui caractérise le polymorphisme paramétrique est la relation d'instantiation qui existe entre le type général de la fonction polymorphe α, et le type particulier de chaque spécialisation

int,bool,int →int.

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Le polymorphisme à la Girard-Reynolds

Types :A::=T |α|A×A|A→A|∀α.A Notation : ∀α∀β.A=∀(α, β).A.

Expressions :

M ::= x |cte | hM,Mi |M M |

λx :A.M |let x :A=M in M | M[A]|Λα.M

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Règles de réduction

(λx :A.M)N ⇒ M{x/N} let x :A=N in M ⇒ M{x/N}

x M ⇒ M (x M)

fsthM,Ni ⇒ M

sndhM,Ni ⇒ N

if true then M else N ⇒ M if false then M else N ⇒ N (Λα.M)[A] ⇒ M{α/A}

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Exemple

Id = Λα.λx :α.x

(Id[int]) ⇒ λx :int.x

(Id[int])3 ⇒ (λx :int.x)3⇒3

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Denition

Les variables libres d'un typesont dénies par : VarLib(T) = ∅

VarLib(α) = {α}

VarLib(∀α.A) = VarLib(A)\ {α}

VarLib(A×B) = VarLib(A)∪VarLib(B) VarLib(A→B) = VarLib(A)∪VarLib(B) Un type A estclos ssi VarLib(A) =∅.

Exemple : VarLib(β →(∀α.α×γ)) ={β, γ} et ∀α∀β.(α→β) est clos.

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Règles du typage polymorphe à la Church

L'ensemble devariables libres d'un environnement est donné par VarLib(Γ) =S

x∈ΓVarLib(Γ(x)).

Pour obtenir les règles du typage polymorphe à la Church on rajoute aux règles monomorphes :

Γ`M :A α /∈VarLib(Γ) Γ`Λα.M :∀α.A

Γ`M :∀α.A Γ`M[B] :A{α/B}

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Exemple :

x :α`x :α

`λx :α.x :α→α

`Λα.λx :α.x :∀α.(α →α)

`(Λα.λx :α.x)[int] :int →int 3:int

`((Λα.λx :α.x)[int])3:int

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Algorithme de typage

Étant donné un terme M, leproblème de l'inférence de types consiste à savoir si ∃Γ et∃A t.q. Γ`M :A.

Théorème : (Schubert) Le problème de l'inférence de types dans le système de Girard estindécidable.

Idée :Réduire la grammaire de types→ polymorphisme à la ML.

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Le polymorphisme à la ML

Type matrice : M ::=T |α|M×M |M →M Type : S ::=∀α₁. . .∀α_n.M

Un type matrice est un cas particulier de type.

Expressions : Comme les expressions à la Curry

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Typage de constantes

TC(+) : int×int →int TC(fst) : ∀(α, β).(α×β)→α TC(snd) : ∀(α, β).(α×β)→β TC(ifthenelse) : ∀α.(bool ×α×α)→α TC(x) : ∀α.(α→α)→α

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Instances d'un type

Denition

Le type Aest une instance du type ∀(α₁, . . . , α_n).B, noté A≤ ∀(α₁, . . . , α_n).B ssi ils existent C₁, . . . ,C_n t.q.

A=B{α₁, . . . , α_n/C1, . . . ,Cn}.

En particulier, pour n=0, on a A≤B ssi A≡B.

Exemple :

int →int ≤ ∀α.α→α bool →int≤ ∀(α, β).α→β bool →int6≤ ∀α.α→α

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Généralisations d'un type

Denition

L'opérateur Gen est donné par Gen(A,Γ) =∀(α₁, . . . , α_n).A, où {α₁, . . . , α_n}=VarLib(A)\VarLib(Γ).

Exemple : SoitA=α→β et Γ=x :β,y :∀α.α. Alors Gen(A,Γ) =∀α.α→β.

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Règles du typage polyomorphe à la Curry

A≤Γ(x) Γ`x :A

A≤TC(cte) Γ`cte :A Γ`M :A→B Γ`N :A

Γ`M N :B

Γ,x :A`M :B Γ`λx.M :A→B

Γ`M :A Γ`N :B Γ` hM,Ni:A×B

Γ`M :A Γ,x :Gen(A,Γ)`N :B Γ`let x =M in N :B

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Exemple de dérivation

Soit A=∀α.α→α

y :α`y :α

`λy.y :α→α

int →int≤A

f :A`f :int →int f :A`1:int f :∀α.α→α`f 1:int

`let f =λy.y in f 1:int

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Propriétés

(Stabilité) : SiΓ,x :∀(α₁, . . . , α_n).B `M :A et Γ`N :B, alors Γ`M{x/N}:A.

(Préservation): SiΓ`M :A et M ⇒M⁰, alorsΓ`M⁰ :A.

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Inférence de types polymorphes

Soit M ≡let x =λy.y in x.

On considère l'ensemble d'équations : {α_M .

=α_x, α_x .

=Gen(α_B,∅), α_B .

=α_y →α_y} où α_B est le type de B ≡λy.y.

Si l'on traite la deuxième équation on obtientα_x ≡ ∀α_B.α_B,incorrect car α_x doit être un type fonctionnel.

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Vers un algorithme de typage : notations

Soit Γ =x₁:A₁, . . . ,x_n:A_n un environnement et soitσ une substitution de types. Alors σ(Γ)=x₁:σ(A₁), . . . ,x_n:σ(A_n).

On note inst(∀(α₁, . . . , α_n).A) le type A{α₁, . . . , α_n/β₁, . . . , β_n}, où β₁, . . . , β_n sont de variablesfraiches.

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Sécication de l'algorithme

Entrée : Un environnementΓet un terme M t.q. FV(M)⊆Γ.

Sortie: Un type A et une substitutionσ t.q.σ(Γ)`M :A.

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Algorithme de Damas-Milner-Tofte

W((∆,x :A),x) = (inst(A),id)

W(∆,cte) = (inst(A),id)où A est le type de la constante cte

W(∆,λx.N) = (ρ(α)→B, ρ), où W((∆,x :α),N) = (B, ρ)et α est une variable fraiche

W(∆,N L) = (µ(α), µ◦ρ_C ◦ρ_B), où W(∆,N) = (B, ρ_B), W(ρ_B(∆),L) = (C, ρ_C),α est une variable fraiche et µ=MGU(ρ_C(B) .

=C →α)

W(∆,hN,Li) = (ρ_C(B)×C, ρ_C ◦ρ_B), W(∆,N) = (B, ρ_B), W(ρ_B(∆),L) = (C, ρ_C)

W(∆,let x =N in L) = (C, ρ_C◦ρ_B), où W(∆,N) = (B, ρ_B), W((ρ_B(∆),x :Gen(B, ρ_B(∆))),L) = (C, ρ_C).

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Premier exemple

W(∅, λx.x +x)= (int →int,{α/int, β/int}) W(x :α,x +x)= (int,{α/int, β/int}) W(x :α,+) = (int×int →int,id) W(id(x :α),hx,xi)= (α×α,id) W(x :α,x) = (α,id)

MGU(int×int →int .

=α×α→β) ={α/int, β/int}

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Deuxième exemple

W(∅,let f =λx.x in f 2)= (int,{β/int, γ/int}) W(∅, λx.x)= (α→α,id)

W(x :α,x) = (α,id)

W(f :∀α.α→α,f 2)= (int,{β/int, γ/int}) W(f :∀α.α→α,f) = (β →β,id)

W(f :∀α.α→α,2) = (int,id) MGU(β →β .

=int→γ) ={β/int, γ/int}

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Propriétés de l'algorithme

Théorème : (Correction) Si W(∆,M) = (A, σ), alorsσ(∆)`M :A.

Théorème : (Complétude) Siτ(∆)`M :B, alors W(∆,M) = (A, σ), où B est une instance de A et τ est une instance de σ

Corollaire : ∅ `M :A ssi W(∅,M) = (B, σ) et A est une instance de B.