^ Brevet blanc de mathématiques

18/03/21

Brevet blanc de mathématiques

La calculatrice est autorisée.

Vous pouvez annoter ce sujet de toutes les manières utiles pour vos recherches.

Vous devez rendre une copie rédigée avec soin.

Toute démarche qui apparaît sur votre copie sera valorisée.

Exercice n°1 : 16 points

Jojo, élève de troisième, examine ce plan de Manhattan, dans la ville de New York, aux États-Unis.

Dans cette ville, les rues et les avenues n'ont pas toujours des noms, mais des numéros. Il y a par exemple la 14ème et la 42ème rue ou la 62ème avenue comme dans cet exercice.

Toutes les réponses doivent être justifiées.

1) Montrer que les droites (BT) et (CU) sont parallèles.

2) Montrer que la 42ème rue et la 6ème avenue forment un angle droit.

3) Calculer l’angle ^{^}BET. Arrondir au degré.

4) Calculer la distance CU.

Exercice n°2 : 14points Voici un programme de calcul

1) Vérifier que si on choisit le nombre -1, ce programme donne 8 comme résultat final.

2) Le programme donne 30 comme résultat final, quel est le nombre choisi au départ ? - Choisir un nombre

- Multiplier ce nombre par 4 - Ajouter 8

Multiplier le résultat par 2

3) L’expression A=2(4x+8) donne le résultat du programme de calcul précédent pour un nombre x donné. On pose B=(4+x)²−x²

Prouver que les expressions A et B sont égales pour toutes les valeurs de x.

4) Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On rappelle que les réponses doivent être justifiées.

• Affirmation 1 : ce programme donne un résultat positif pour toutes les valeurs de x

• Affirmation 2 : si le nombre x choisi est un nombre entier, le résultat obtenu est un multiple de 8.

Exercice n°3 : 10 points

Les questions 1 à 5 sont à choix multiples. Pour chacune, une ou plusieurs réponses sont justes. Sur ta copie, indique le numéro de la question et le ou les numéro(s) des bonnes réponses.

N° Question

^{Réponse 1 Réponse 2 Réponse 3 Réponse 4}

1

L’unité est le centimètre. Quelle est la longueur du segment [DB] ?

7,8 ³⁹₅ 10 ³⁷₆

2

On a besoin de 400 g de farine pour faire des crêpes pour 8 personnes. Combien en faut-il pour 10 personnes ?

750 g 625 g 500 g 350 g

3

Un pantalon coûte 58 €. Quel est son prix

en € après une réduction de 20 % ? 38 46,40 57,80 11,60

4

La factorisation de l’expression

9x²−16 est : ^(3x−4)

2 (3x+4)(3x−4) (4,5x+8)(4,5x−8) (4,5x+8)²

5

Quelle est la moyenne de la série suivante ?

11,72 3,68 11,5 ²⁹³

25

Exercice n°4 : 14points

On étudie les performances de deux nageurs (nageur n°1 et nageur n°2).

La distance parcourue par le nageur n°1 en fonction du temps est donnée par le graphique ci- dessous :

1) Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Aucune justification n’est demandée.

a) Quelle est la distance totale parcourue lors de cette course par le nageur n°1 ? b) En combien de temps le nageur n°1 a-t-il parcouru les 200 premiers mètres ?

2) Y a-t-il proportionnalité entre la distance parcourue et le temps sur l’ensemble de la course ? Justifier.

3) Montrer que la vitesse moyenne du nageur n°1 sur l’ensemble de la course est d’environ 44 m/min ?

4) On suppose maintenant que le nageur n°2 nage régulièrement, c'est à dire progresse à vitesse constante. La fonction f définie par f (x) = 50x représente la distance qu’il parcourt en fonction du temps x.

a) Calculer l’image de 10 par f.

b) Calculer f (30).

5) Les nageurs n°1 et n°2 sont partis en même temps.

a) Lequel est en tête au bout de 10 min ? Justifier.

b) Lequel est en tête au bout de 30 min ? Justifier

Madame Martin souhaite réaliser une terrasse en béton en face de sa baie vitrée.

Elle réalise le dessin ci-contre.

Pour faciliter l’écoulement des eaux de pluie, le sol de la terrasse doit être incliné.

La terrasse a la forme d’un prisme droit dont la base est le quadrilatère ABCD et

la hauteur est le segment [CG].

P est le point du segment [AD] tel que BCDP est un rectangle.

1) L’angle doit mesurer entre 1° et 1,5°.

Le projet de Madame Martin vérifie-t-il cette condition ?

2) Madame Martin souhaite se faire livrer le béton nécessaire à la réalisation de sa terrasse. Elle fait appel à une entreprise spécialisée.

A l’aide des informations contenues dans le tableau ci-dessous, déterminer le montant de la facture établie par l’entreprise.

On rappelle que toute trace de recherche, même incomplète, pourra être prise en compte dans l’évaluation.

Information 1

Distance entre l'entreprise et la maison de Madame Martin : 23km Information 2

Formule du volume d'un prisme droit

Information 3

Condition tarifaires de l'entreprise spécialisée - Prix du m³ de béton 95€

- Capacité maximale du camion-toupie : 6m³

- Frais de livraison : 5€ par km parcouru par le camion-toupie - L'entreprise facture les distances aller et retour (entreprise / lieu de livraison) parcourues par le camion-toupie.

Exercice n°6 : 15 points

« S’orienter à 90 » signifie que l’on se tourne vers la droite.

Mathieu, Pierre et Elise souhaitent tracer le motif ci-dessous à l’aide de leur ordinateur. Ils commencent tous par le script commun ci-dessous mais écrivent un script Motif différent.

Script commun aux trois élèves

1) Tracer le motif de Mathieu en prenant comme échelle : 1 cm pour 10 pixels.

2) Quel élève a un script permettant d’obtenir le motif souhaité ? On ne demande pas de justifier.

3) a) On utilise ce motif pour obtenir la figure ci-contre.

Quelle transformation du plan permet de passer à la fois du motif 1 au motif 2, du motif 2 au motif 3 et du motif 3 au motif 4 ?

b) Modifier le script commun à partir de la ligne 7 incluse pour obtenir la figure voulue. On écrira sur la copie uniquement la partie modifiée. Vous pourrez utiliser certaines ou toutes les instructions suivantes :

1.

2.

7.

3.

4.

5.

6.

On obtient la pente d'une route en calculant le quotient du dénivelé (c'est à dire du déplacement vertical) par le déplacement horizontal correspondant. Une pente s'exprime sous forme de pourcentage.

Sur l'exemple ci-contre, la pente de la route est : dénivelé

déplacement horizontal= 15

120=0,125=12,5 %

Classer les pentes suivantes dans l'ordre croissant. Vous justifierez votre résultat en expliquant votre démarche.

Route descendant du château des Adhémar, à Montélimar.

Tronçon d'une route descendant du col du Grand Colombier (Ain)

Tronçon d'une route descendant de l'Alto de l'Angliru (région des Asturies, Espagne)