1 Dynamique d’un micro-nageur

Mobilité et Problème de Stokes

Laetitia Giraldi

[email protected] 28 novembre 2012

Le sujet comporte deux parties indépendantes. La première section concerne l’intégration nu- mérique de la dynamique d’un micro-nageur. La seconde partie traite de l’intégration numérique de l’équation de Stokes qui gouverne les fluides à bas Reynolds.

1 Dynamique d’un micro-nageur

Le but de cette section est de décrire la dynamique d’un micro-nageur et de mieux comprendre les mécanismes qui permettent son déplacement. Dans la suite, nous étudierons plusieurs modèle de nageur afin de comparer leur déplacement.

Le premier nageur est constitué d’une tige. Soit x₀ les coordonnées de son extrémité, L₁ la longueur de la tige,θl’angle que fait la tige avec la droite des abscisses (voir figure ci-dessous).

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x0 L1 θ

x1

La position du nageur au cour du temps est décrite par le vecteur x0(t) := (x(t), y(t)). Pour décrire sa dynamique nous proposons d’appliquer les lois de Newtons au système en supposant que la forcef(s)au pointsd’une tige s’exprime en fonction de sa vitessev(s)par la formule suivante : f(s) =ξ(v(s).e_θ)e_θ+ν(v(s).f_θ)f_θ. (1)

v

eθ

fθ

On a notéeθle vecteur directeur de la tige etfθest telle que(fθ,eθ)forme une base orthonormée directe (comme sur le dessin).

Question 1 :

Soits∈[x0,x1], exprimers˙ en fonction dex˙0. Question 2 :

En utilisant la formule (1), donner l’expression de la forcef(s)pour s∈[0, L1].

Question 3 : Exprimer F:=

Z L₁ 0

f(s)ds.

Question 4 :

Nous supposerons que le nageur est très petit et que sa masse mest négligeable (m= 0). Ap- pliquer les lois de Newton à ce système. En déduire l’équation du mouvement du nageur.

Question 5 :

Exprimer la dynamique du nageur précédente sous la forme,

A(θ) ˙x0=b(θ)~u(θ) ˙θ . (2) Exprimer A(θ),b(θ),b(θ),~u(θ).

Question 6 :

Montrer queAest une matrice symétrique définie.

Question 7 :

En utilisant scilab et une méthode d’intégration de votre choix à préciser, intégrer la dynamique 2. En déduire, les graphe des courbest7→x(t)andt7→y(t)correspondant aux coordonnées dex0

pour

– ν = 1etξ= 2,

– θ(t) = sin(t)pourt∈[0,10].

Que constatez-vous ? Question 8 :

Nous proposons de généraliser. Nous introduisons le nageur constitué de deux tiges relier entre elle. Les notations sont introduites dans la figure ci-dessous.

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•

•

x0 L1

θ1 x1

L2 x2 θ2

En négligeant, la force que la tige1a sur la tige2et en utilisant la même méthode décrite dans les questions1à 7. Exprimer la dynamique de ce nageur sous la forme,

A(θ) ˙x0=b(θ1, θ2)u1(θ~1, θ2) ˙θ1+c(θ1, θ2)u2(θ~1, θ2) ˙θ2 (3) Question 9 :

En supposant que θ1(t) =rcos(t) et θ2(t) =rsin(t), avecr= 0.5 et pour les même valeur de ν et ξque celle donner dans la question7, intégrer la dynamique 3 par la méthode de votre choix.

Que constater vous ? Question 10 :

La dynamique peut s’écrire sous cette forme,

x˙0=V1(θ1, θ2) ˙θ1+V2(θ1, θ2) ˙θ2

ExprimerV1 etV2 en fonction deA(θ1, θ2),b(θ1, θ2), c(θ1, θ2),u~i(θ1, θ2)(i= 1,2).

Soit,

∆(θ₁, θ₂) :=

∂V¹₁

∂θ2

−∂V¹₂

∂θ1

(θ₁, θ₂)

Calculer∆(0,0)et comparer cette valeur avec le déplacement du nageur pour une brassée, i.e.,

Question 11 : (Facultative)

EM. Purcell dans "life at low Reynolds number", American Journal of Physics, (1977) introduit un model de micro-nageur qui selon ces intuitions fait une brassée lui permettant de se déplacer.

it about 0.6 microsec to slow down. I think this makes it clear what low Reynolds number means. Inertial plays no role whatsoever. If you are at very low Reynolds number, what you are doing at the moment is entirely determined by the forces that are exerted on you at that moment, and by nothing in the past.

It helps to imagine under what conditions a man would be swimming at, say, the same Reynolds number as his own sperm.

Well you put him in a swimming pool that is full of molasses, and the you forbid him to move any pare of his body faster than 1 cm/min. Now imagine yourself in that condition; you're under the swimming pool in molasses, and now you can only move like the hands of a clock. If under those ground rules you are able to move a few meters in a couple of weeks, you may qualify as a low

Reynolds number swimmer.

I want to talk about swimming at low Reynolds number in a very general way. What does it mean to swim? Well, it means simply that you are in some liquid and are allowed to deform your body in some manner. That's all you can do. Move it around and move it back. Of course, you choose some kind of cyclic deformation because you want to keep swimming, and it doesn't do any good to use a motion that goes to zero asymptotically. You have to keep moving. So, in general, we are interested n cyclic deformations of a body on which there are no external torques or forces except those exerted by the surrounding fluid. In Fig. 5, there is an object which has a shape shown by the solid line; it changes its shape to the dashed contour and then it changes back. When it finally gets back to its original shape, the dotted contour, it has moved over and rotated a little. It has been swimming. When it executed the cycle, a displacement resulted. If it repeats the cycle, it will, of course, effect the same displacement, and in tow dimensions we'd see it progressing around a circle. In three dimensions its most general trajectory is a helix consisting of little kinks, each of which is the result of one cycle of shape change.

Figure1 – Nageur de Purcell

Il laisse le soin à un étudiant de déterminer dans quel sens le nageur avance si celui-ci fait la brassée décrite dans la figure. En ce servant de l’analyse précédente et d’un logiciel de calcul formel (Maxima ou Maple), calculer l’équation du mouvement de ce nageur puis l’intégrer avec la méthode de son choix en supposant queθ1et θ2suivent la brassée décrite dans la figure ci-dessous. Exposer votre méthode et vos résultats (les courbes solutions obtenues).

Les élèves qui auront développé cette question avec le plus grand soin, ne sont pas obligés de faire la suite du problème.

2 Equation de Stokes

SoitΩun ouvert borné connexe deR^d. Typiquement,d= 2oud= 3.

NotonsB(0, r)la boule de centre 0et de rayon r.

On cherche une fonction vectorielleu= (u₁, . . . , u_d)et une fonction scalaireptelles que :







µ∆u− 5p =f dans Ω,

div u = 0 dans Ω,

u = 0 dans∂Ω.

(4)

Question 1 :

Donner une formulation variationnelle du problème (4) : Trouver(u, p)∈H₀¹(Ω)×L²₀(Ω) tel que :

a(u, v) +b(p, v) =l(v) ∀v∈H₀¹(Ω),

b(w, u) = 0 ∀w∈L²₀(Ω). (5)

oùaetb sont des formes bilinéaires,l est une forme linéaire que l’on prendra soin d’expliciter.

Question 2 :

On introduitV ={v∈H₀¹(Ω);div(v) = 0}.

Réecrire la formulation variationnelle (5) sous la forme : Trouveru∈V tel que :

a(u, v) =l(v) ∀v∈V .

Montrer que cette formulation variationnelle admet une unique solution.

Question 3 :

Rappelons queV^⊥est un sous espace deH₀¹défini par :V^⊥={v∈H₀¹;< v, w >_H1

0= 0∀w∈V}.

Nous admettrons que l’opérateur divergence définit un isomorphisme deV^⊥ surL²₀. Soit T son inverse. (Cette affirmation est une conséquence du théorème de Rham.)

Soitu∈V, notons F(v) =a(u, v)−l(v).

Monter qu’il existe un uniquep∈L²₀ tel queF s’écrive sous la formev7→R

Ωp div v.

Question 4 : Conclure.

Question 5 :Dans les questions suivantes, on pose que l’erreur entre les fonctionsu= (u1,· · ·, un) etv= (v1,· · · , vn)est le réel suivant :

e(u, v) =

n

X

i=1

kui−vik_L2

Soient : – Ω =B(0,1)

– u(x, y) = (2xe + 2y+ 3y²,−2y+ 2x−3x²) – p(x, y) = 3xe ²y−6x

Calculerf pour que(eu,p)e soit solution du problème de Stokes suivant :







∆u− 5p =f dans Ω,

div u = 0 dans Ω,

u = ˜u_|∂Ω sur∂Ω.

(6)

Question 6 :

En utilisant FREEFEM++, calculer l’erreur de l’approximation en faisant varier la discrétisation de l’espace, dans les cas suivant :

1. lorsqueXh=P²et Mh=P¹ 2. lorsqueX_h=P¹et M_h=P² 3. lorsqueX_h=P¹b etM_h=P¹

1 0

Que peut-on en conclure ?

Question 7 :Pour chaque cas, tracer en Scilab la courbe d’erreur de l’approximation en faisant varier la discrétisation de l’espace ?