GÉOMÉTRIE 1

GÉOMÉTRIE

1

année

2.1 Polygones et calculs d'aires 1

2.1.1 Qu’est-ce que la géométrie ? 1

2.1.2 Les angles et leurs mesures 2

2.1.3 Les polygones 4

2.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir 8 2.1.5 Questionnaire à choix multiples 8

2.2 Les premiers théorèmes 9

2.2.1 Introduction 9

2.2.2 Le théorème de Pythagore 12

2.2.3 Le théorème de Thalès 17

2.2.4 Le théorème d’Euclide et de la hauteur 23

2.2.5 Ce qu’il faut absolument savoir 27

2.2.6 Questionnaire à choix multiples 27

2.3 Cercles et éléments de cercle 28

2.3.1 Définitions et rappels 28

2.3.2 Périmètre et aire du disque 29

2.3.3 Longueur d'un arc et aire d'un secteur 32 2.3.4 Angles inscrits et angles au centre 36 2.3.5 Ce qu’il faut absolument savoir 41 2.3.6 Questionnaire à choix multiples 41

2.4 Trigonométrie dans le triangle rectangle 42 2.4.1 Définitions des rapports trigonométriques 42 2.4.2 Relations trigonométriques de base 49 2.4.3 Réciproques des rapports trigonométriques 50 2.4.4 Ce qu’il faut absolument savoir 62 2.4.5 Questionnaire à choix multiples 62

2.5 Solutions des exercices 63

AVANT-PROPOS

• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en première année, en géométrie. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement.

• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations.

• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de

développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2).

• Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix

multiples ».

• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://disciplines.sismondi.ch/MA/espace-perso-profs/serge-picchione

• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

BON TRAVAIL !

________________________________________________________________________________

2.1 Polygones et calculs d'aires

2.1.1 Qu'est-ce que la géométrie ?

Ce mot vient du grec et signifie à peu près « mesure de la terre », à comprendre dans le sens

« mesure des champs ». Au début elle servait à mesurer la taille de champs à cultiver et les

dimensions de certains objets. Par exemple, quelle est la longueur du cerceau métallique qui entoure un tonneau d'un diamètre connu ? Au VIe siècle avant J.-C., Thalès de Milet déduit la hauteur de la grande pyramide de Kheops par un raisonnement géométrique. Plus tard les Grecs ont étudié de façon plus abstraite les propriétés des figures dans un plan. C'est la naissance des mathématiques rigoureuses. On cherche à démontrer certaines formules, on ne se contente plus de simplement les utiliser.

Trois noms célèbres de la Grèce antique vont jalonner cette approche des fondements de la géométrie :

Pythagore de Samos (environ 565-495 av. J.-C)

Thalès de Milet (environ 625-547 av. J.-C.)

Euclide d’Alexandrie (environ 330-275 av. J.-C.) Situation géographique

Mer Méditerranée

Samos Milet

Alexandrie

2.1.2 Les angles et leurs mesures

Voici la nomenclature que nous utiliserons dans ce cours pour décrire les objets courants de la géométrie :

Points : les points sont désignés par des lettres majuscules (ex. A, B, C, etc.).

Segments : Le segment qui relie A à B se note [AB].

La longueur du segment [AB] se note AB .

Droites : La droite passant par A et B se note (AB) ou dAB .

Demi–droites : La demi-droite d'extrémité A et passant par B se note [AB) .

Définition

Un angle est une figure formée par deux demi-droites issues d'un même point appelé sommet de l'angle. Dans ce dessin le point O est le sommet de l’angle. [OA) et [OB) sont les côtés de l’angle.

Remarque L'alphabet grec se trouve dans la table C.R.M.

Les angles sont désignés par les lettres grecques minuscules α, β, γ, δ , etc.

On peut aussi désigner les angles au moyen de 3 points ;

on place dans ce cas le "point-sommet" au milieu et on note AOB . n Définition

Un degré est la mesure d'un angle dont le sommet est sur le centre d'un cercle et dont les côtés interceptent un arc de cercle égal à 1/360 de la circonférence. Notation : 1 degré ≡ 1°.

Remarques

a) Afin de ne pas alourdir la notation, on note de la même façon un angle et sa mesure. Autrement dit : on parlera

« d’angle α de 45°» ou « α = 45°» par exemple.

b) L'instrument le plus utilisé pour mesurer un angle

est le rapporteur (demi-cercle subdivisé en 180 parties égales).

C •

B • • A

• A B •

AB

B • • A

A B •

• d_AB

A B

O

α

•

• •

________________________________________________________________________________

α

• Angles particuliers

1) Un angle plat est un angle dont le sommet est situé sur une droite et dont les 2 côtés sont les 2 demi-droites formant la droite. Un angle plat mesure 180°.

2) Un angle droit est la « moitié » d’un angle plat. Il mesure donc 90°.

Notations :

3) Deux angles α et β sont dits supplémentaires quand leur somme donne un angle plat.

α + β = 180°

4) Deux angles α et β sont dits complémentaires quand leur somme donne un angle droit.

α + β = 90°

5) Dans la situation suivante, si les droites d et d’ sont parallèles, et si s est une sécante on dit que : α et γ sont correspondants.

β et δ sont correspondants.

β et γ sont alternes-internes.

α et δ sont alternes-externes.

α et β sont opposés par le sommet.

γ et δ sont opposés par le sommet.

De plus : α = β = γ = δ

β α α

β α

s

d

α β d’

γ δ

•

Triangle Pentagone convexe

Hexagone convexe

Heptagone convexe

Ennéagone

concave Quadrilatère

concave

Pentagone régulier

Hexagone régulier

Octogone régulier

2.1.3 Les polygones

Définition

Un polygone est une ligne brisée fermée qui, pour simplifier les formes à étudier, ne se recoupe pas elle-même.

Un n-gone est une abréviation pour dire un polygone à n côtés.

Remarques

a) Chaque sommet définit un angle du polygone (du grec : poly = plusieurs et gônia = angle).

b) Il y a autant d'angles intérieurs que de côtés et de sommets.

c) Les polygones les plus fréquents portent un nom particulier :

Nombre de côtés Nom du polygone Nombre de côtés Nom du polygone

3 Triangle 9 Ennéagone

4 Quadrilatère 10 Décagone

5 Pentagone 12 Dodécagone

6 Hexagone 15 Pentédécagone

7 Heptagone 20 Icosagone

8 Octogone

d) Si un polygone possède au moins un angle intérieur supérieur à 180° on dit qu’il est concave alors qu’autrement on dit qu’il est convexe. Ce cours se limite à l’étude des polygones convexes.

e) Un polygone est régulier si tous ses côtés et tous ses angles sont égaux. Tous les polygones réguliers et tous les triangles sont convexes.

________________________________________________________________________________

Définition

Un triangle est un polygone à trois côtés.

Pour désigner ses différentes composantes, on utilise les conventions suivantes :

• les lettres majuscules désignent les sommets du triangle (souvent A, B et C), ils sont placés dans l’ordre inverse du sens des aiguilles d’une montre.

• les lettres minuscules désignent les côtés ou leur longueur, le côté a est le côté qui est opposé au sommet A, le côté b est le côté qui est opposé au sommet B, etc.

• les lettres minuscules grecques désignent les angles, l’angle α (alpha) se trouve au sommet A, l’angle β (bêta) au sommet B, l’angle γ (gamma) au sommet C.

Triangles particuliers

Trois types de triangles portent un nom particulier :

• Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.

• Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins 2 angles égaux (⇔ 2 côtés égaux).

• Un triangle équilatéral est un triangle qui possède 3 angles égaux (⇔ 3 côtés égaux).

Définition

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés.

Pour désigner ses différentes composantes, on utilise des conventions similaires à celles utilisées pour le triangle.

Quadrilatères particuliers Carré, rectangle, trapèze, parallélogramme, etc.

C

A B

b a

c α

γ

β

A B

C

a

b c

α

γ

β D

δ d

Activité 1 (classification des quadrilatères)

Compléter le schéma de classification des quadrilatères en fonction de leurs caractéristiques :

Définition

Un polygone est régulier si tous ses angles sont égaux et tous ses côtés sont égaux.

Polygones réguliers particuliers Triangle équilatéral, carré, pentagone régulier, etc.

Triangle Carré Pentagone Hexagone équilatéral régulier régulier (3 côtés) (4 côtés) (5 côtés) (6 côtés)

Définitions

Remarques

a) Il existe une infinité de polygones réguliers.

b) Tout polygone régulier admet un cercle circonscrit, inscrit et un centre.

c) apothème a < rayon r

• Le cercle circonscrit au polygone régulier est le cercle qui passe par les sommets du polygone régulier.

(rayon du cercle circonscrit : r sur le dessin)

• Le cercle inscrit au polygone régulier est le cercle qui est tangent à tous les côtés du polygone régulier.

(rayon du cercle inscrit : apothème a sur le dessin)

• On appelle centre (O sur le dessin) d'un polygone régulier le centre des cercles inscrit et circonscrit au polygone.

Les deux cercles sont concentriques.

Les côtés de même longueur

Une paire de côtés parallèles

L'autre paire de côtés parallèles

Les angles de même grandeur

Les angles de même grandeur Les côtés de même longueur

O r a

cercle circonscrit

cercle inscrit

polygone régulier

________________________________________________________________________________

O c

a

Activité 2 (Calculs d'aires de polygones)

a) Soit un rectangle dont les côtés mesurent respectivement a et b.

Nous admettrons que l'aire d'un rectangle est égale à a·b.

Aire du rectangle ABCD = a⋅b

b) Déduire l’aire d'un parallélogramme à partir de l’aire d'un rectangle.

(Justification et dessin explicatif)

Aire du parallélogramme ABCD =

c) Déduire l’aire d'un triangle à partir de l’aire d'un parallélogramme.

(Justification et dessin explicatif)

Ici, la hauteur h est la distance d'un sommet à la droite supportant le côté opposé (appelé base).

Aire du triangle ABC =

d) Déduire l’aire d'un trapèze à partir de l’aire d'un triangle.

(Justification et dessin explicatif)

Les deux côtés parallèles [AB] et [DC] sont appelés les bases et la distance entre les bases est la hauteur h du trapèze.

Aire du trapèze ABCD =

e) Déduire l’aire d'un losange à partir de l’aire d'un rectangle.

(Justification et dessin explicatif)

Les segments [AC] et [BD] sont appelés les diagonales du losange.

Aire du losange ABCD =

f) Déduire l’aire d'un polygone régulier à n côtés à partir de l’aire d'un triangle.

(Justification et dessin explicatif)

Aire du polygone régulier à n côtés =

A B

C D

a b

A B

C D

b h

A B

C

b

h

A B

D C

b h

b'

C A

B D

d d'

2.1.4

Ce qu’il faut absolument savoir

1♥ Connaître la nomenclature qui permet de décrire les objets courants de la géométrie ok

2♥ Connaître la définition d'un angle ok

3♥ Connaître la définition d'un degré ok

4♥ Connaître le début de l’alphabet grec en minuscule ok

5♥ Savoir reconnaître des angles particuliers (plat, droit, correspondants, etc.) ok 6♥ Connaître la définition d'un polygone et le nom des polygones les plus fréquents ok 7♥ Savoir reconnaître des triangles particuliers (isocèle, etc.) ok 8♥ Savoir reconnaître des quadrilatères particuliers (trapèze, losange, etc.) ok

9♥ Connaître la définition d'un polygone régulier ok

10♥ Déduire et connaître les formules donnant l’aire de polygones simples

(rectangle, parallélogramme, triangle, etc.) ok

2.1.5

Questionnaire à choix multiples

2♣ Deux angles α et β sont supplémentaires si α + β = 180 ° . V F 3♣ Un polygone est régulier si tous ses angles sont égaux. V F

4♣ Un polygone est régulier si tous ses côtés sont égaux. V F 5♣ Un triangle équilatéral est un polygone régulier. V F 6♣ Un carré est un rectangle dont les côtés sont de même longueur. V F

7♣ Un triangle est un polygone concave. V F

8♣ ll existe exactement vingt polygones réguliers. V F

Les réponses du Q.C.M. se trouvent au chapitre 2.5 avec les solutions des exercices.

________________________________________________________________________________

T 1

T2

α β

γ λ δ

φ

2.2 Les premiers théorèmes

2.2.1 Introduction

Théorème de la somme des angles dans un triangle

hypothèse conclusion

Dans un triangle la somme des angles vaut 180°. α + β + γ =180^D

Démonstration

i) On trace deux droites parallèles d et d’.

ii) On a : δ + γ + ε = 180° Angle plat.

iii) On a : α = δ et β = ε Angles alternes-internes.

⇒ α + γ + β=180° (fin de la démonstration)

Remarque

La démonstration de ce théorème est attribuée à Pythagore lui-même.

Corollaire

hypothèse conclusion

Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360°.

Démonstration

i) Un quadrilatère est toujours la réunion de deux triangles.

ii) On utilise le théorème :

« Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ».

180 180

( ) ( ) 360

+ + = ° + + = °

⇒ + + + + + = ° ,

α β γ et δ λ φ α φ β γ δ λ

Définitions

Un axiome est un énoncé admis comme vrai sans justification, ou règle arbitraire ne menant à aucune contradiction, une sorte de « règle du jeu ».

Exemples

a) « Par deux points distincts, il ne passe qu’une seule droite ».

b) « Deux droites parallèles n'ont aucune intersection ou conservent une même distance ».

d

d’

ε

α β

δ γ

Remarques

a) Un énoncé est vrai si il est toujours vrai.

b) Un énoncé est faux si il n’est pas toujours vrai.

« Si n est un nombre entier relatif alors n² est un nombre entier naturel non nul » est un énoncé faux.

On n’admet pas d’exception : un énoncé qui est parfois vrai et parfois faux est mathématiquement faux.

Une conjecture est un énoncé dont on a l’intuition qu’il est vrai mais qui ne connaît pas encore de démonstration.

Exemples

a) Conjecture de Goldbach

« Tout nombre entier pair strictement supérieur à trois peut être écrit comme la somme de deux nombres premiers (le même nombre premier pouvant être utilisé deux fois) ».

b) Conjecture de Legendre

« Pour tout entier n, il existe un nombre premier entre n² et

(

)

Remarque

Il existe des milliers de conjectures mathématiques. Certaines font l’objet de recherche de la part de chercheurs (en mathématiques, physique, etc.) qui travaillent dans des universités ou des écoles d’ingénieurs.

Un théorème est un énoncé que l’on peut démontrer être vrai.

Exemples

a) « Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ».

b) « Si un nombre entier est divisible par 6 alors il est pair ».

Remarques

a) Un théorème est toujours composé d’une hypothèse et d’une conclusion.

L'hypothèse est constituée des données et de leurs propriétés connues. Elle doit permettre de démontrer la conclusion du théorème. La conclusion d’un théorème est la propriété

découlant logiquement des hypothèses.

Exemple a) : Hypothèse : « Dans un triangle » .

Conclusion : « La somme des angles vaut 180° » b) La formulation habituelle d'un théorème est de la forme :

« Si hypothèse alors conclusion » ou « hypothèse ⇒ conclusion ».

c) Une démonstration est une suite de raisonnements logiques justifiés par les hypothèses, des axiomes et définitions.

________________________________________________________________________________

Un corollaire est un théorème qui est la conséquence immédiate ou un cas particulier d'un autre théorème.

Exemple

« Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360° » est un corollaire du théorème suivant : « Dans un triangle la somme des angles vaut 180° ».

Remarque

La démonstration d’un corollaire fait donc appel à d’autres théorèmes.

La réciproque d’un théorème est un énoncé obtenu en inversant hypothèse et conclusion.

Exemple

La réciproque de « Si un nombre entier est divisible par 6 alors il est pair » est « Si un nombre entier est pair alors il est divisible par 6 ».

Remarques

a) La réciproque d’un théorème n’est pas toujours vraie ce qui est le cas dans l’exemple ci-dessus.

b) La réciproque du théorème de Pythagore et de Thalès est vraie.

2.2.2 Le théorème de Pythagore

Pythagore de Samos (environ 565-495 av. J.-C) est considéré comme le père des mathématiques grecques. Son éducation de base porta surtout sur les disciplines littéraires et artistiques. Il apprit la poésie, en particulier l'oeuvre d'Homère, et la pratique de la lyre. Comme professeurs, il eut trois

philosophes qui l'influencèrent beaucoup. Le plus marquant fut Pherekydes, mais il aurait aussi été l'élève de Thalès et d'Anaximandre qui l'initièrent aux mathématiques. L’école pythagoricienne (secte) était une académie où l’on étudiait la philosophie, les mathématiques, les sciences naturelles en plus de pratiquer des rites secrets.

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse ; c'est le côté le plus long. Les deux autres côtés s'appellent les cathètes.

Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse.

2 2 2

a +b =c Remarque

Hypotèse : « Un triangle est rectangle »

Conclusion : « La somme des carrés des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse ».

Démonstration

1) On construit deux carrés. On obtient aussi quatre triangles rectangles (voir la figure). Les côtés de ces carrés mesurent respectivement a+b et c.

2) Calculons l'aire du "grand carré" de deux manières différentes :

N N

2 2

aire du

aire du aire d un carré de

carré de triangle côté "c"

côté "a + b"

rectangle

( a b ) 4 a b c 2

′

+ = ⋅ ⋅ +

3) Développons et simplifions cette relation :

a²+ 2ab +b² = 2ab +c² ⇔ a²+b² =c² Remarque

La réciproque du théorème de Pythagore est également vraie :

Si a²+b² =c² alors le triangle dont les côtés mesurent a, b et c est rectangle.

Illustration

a

b c

a

c b

a b c

a b

c

c² a²

b²

a b c

________________________________________________________________________________

Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Faire un dessin avec des légendes ; indiquer les données du problème.

2) Identifier et noter dans le dessin les triangles rectangles. (hypothèse du théorème de Pythagore) 3) Écrire les égalités entre les longueurs des côtés des triangles rectangles. (conclusion du théorème de Pythagore)

4) Utiliser ces égalités pour calculer les longueurs désirées. (résolution d’une équation) De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 1

Sachant que : OA AB BC CD DE= = = = =EF 1 cm= , calculer en valeur exacte les longueurs suivantes :

OB, OC, OD, OE et OF.

Exercice 2

Calculer l'aire et le périmètre du trapèze ABCD.

AB 35 cm= BC 47 cm= AD 82cm= h 25 cm=

Exercice 3

Calculer l’aire de la figure hachurée.

Exercice 4

Les deux cercles ont 5 cm de diamètre.

Calculer la hauteur h.

Indication : utiliser le centre des cercles.

A D

B C h A

B

C D

E

F

O

17 cm a

a

b

b

8 cm

• h

•

Exercice 5

Calculer x en fonction de a.

Exercice 6

a) Un triangle qui a des côtés de longueur 3 m, 4 m et 5 m est-il rectangle ? b) Un triangle qui a des côtés de longueur 12 m, 13 m et 14 m est-il rectangle ?

c) Si Le Cap se trouve à 1275 miles de Johannesburg, si Durban est à 765 miles de Johannesburg et si Le Cap est à 1020 miles de Durban, quel est alors l'angle formé à Durban entre les routes directes toutes droites vers Le Cap d'une part et vers Johannesburg d'autre part ?

Exercice 7 Calculer x.

Exercice 8

Voici des corps On sait que Calculer

ceci est un cône droit.

AB BC 26 m= = ^CD

ceci est un cube.

AD 125 m= AB

Exercice 9

Peut-on rentrer une règle de 75 cm de long dans une boite à outils dont la base et chacun des côtés sont rectangulaires et qui mesure 60 cm de long, 30 cm de large et 20 cm de haut ? Justifier votre réponse avec des calculs et un dessin est exigé.

B C D

A

x y

2a a 4a

x 3

5

A D B

C

________________________________________________________________________________

Exercice 10

Les pyramides égyptiennes de Gizeh sont des pyramides droites à base carrée.

a) Calculer la hauteur et le volume de la pyramide de Kheops.

b) Quelles seraient les dimensions d'un cube (longueur d'une arête) ayant le même volume que la pyramide de Kheops ?

c) Si le cube représentait un immeuble d'habitation, combien aurait-il d'étages ?

Les pyramides égyptiennes de Gizeh ont été les dernières demeures des pharaons Kheops, Khephren et Mykérinos. Elles ont été construites vers

2600 avant J-C. La plus grande de ces pyramides fut construite pour recevoir le corps du souverain Kheops .L'un de ses successeurs, Mykérinos, décida de construire une pyramide dont le volume n’est pas le dixième de celle de Kheops.

Les pyramides font partie des sept merveilles du monde.

Exercice 11

1) Calculer la longueur d de la diagonale d'un carré de côté a.

2) Calculer la longueur d de la diagonale d'un cube de côté c.

3) Calculer la longueur c du côté d'un cube de diagonale d.

4) Calculer la hauteur h d'un triangle équilatéral de côté a.

5) Calculer l'aire A d'un triangle équilatéral de côté a.

220 m

231 m

A B

C D

H

x

2R

•

• •

Exercice 12 *

On sait que dans un triangle la somme des angles intérieurs est égale à 180°

(voir théorème des angles dans un triangle).

A l’aide de ce résultat, démontrer que :

a) dans un quadrilatère, la somme des angles intérieurs est égale à 360°.

b) dans un pentagone la somme des angles intérieurs est égale à 540°.

c) dans un polygone à n côtés la somme des angles est égale à

(

)

Exercice 13 *

Démontrer le théorème de Pythagore à l'aide du dessin ci-contre qui comporte deux carrés.

Exercice 14 *

Les cercles sont tangents entre eux.

Démontrer que R x= 3 .

Exercice 15 *

ABC est un triangle rectangle en A.

On a construit un demi-cercle sur chacun de ses côtés pris comme diamètre.

On a ombré les croissants compris entre le grand demi-cercle et les deux autres.

Démontrer : Aire C

( )

( )

( )

Exercice 16 *

Deux randonneurs munis d'émetteurs-récepteurs quittent le même point à 9 h, l'un marchant plein sud à 4 km/h et l'autre allant plein ouest à 3 km/h. Combien de temps pourront-ils communiquer l'un avec l'autre si chaque radio a une portée maximale de 2 km ?

Réponse en : heure / minute / seconde

b a c

a b c

a b c a

b c

A

C O B

C1

C2

T

•

• •

________________________________________________________________________________

2.2.3 Le théorème de Thalès

Thalès de Milet (environ 625-547 av. J.-C.), l’un des sept sages de l’Antiquité était un savant grec, astronome, philosophe et mathématicien.

Le théorème de Thalès est connu et utilisé depuis l’Antiquité : il permet de calculer des longueurs inaccessibles, par exemple la hauteur d’une pyramide ou la profondeur d’un puit.

Définitions

• Deux triangles sont semblables s’ils possèdent les mêmes angles.

• Deux côtés appartenant respectivement à deux triangles semblables sont dits correspondants s’ils sont opposés au même angle.

Exemple (BC)// (DE)

• Les triangles ABC et ADE sont semblables car : - les angles ⁿAED et nACB sont correspondants.

- les angles ⁿADE et nABC sont correspondants.

On note alors : Δ ABC ≈ Δ ADE

• Les cotés [AC] et [AE] sont correspondants, car ils sont opposés à l’angle β (bêta).

Définitions

• Le rapport de deux nombres a et b est le quotient de ces deux nombres.

• On dit que a

b est proportionnel à c

d si : a c ^* ad bc a,b,c,d

b =d ⇔ = ∈\

Exemple

Le rapport de 3 et 4 est 3 4 et 3

4 est proportionnel à 6

8 car 3 6

3 8 4 6 4 =8 ⇔ ⋅ = ⋅ . Activité

Prendre les mesures nécessaires sur les triangles ci-dessus pour compléter ce tableau : (Unité : le cm)

Côtés du triangle ADE AD≅ AE≅ DE≅

Côtés du triangle ABC AB≅ AC≅ BC≅

Rapport des côtés correspondants AD

AB ≅ AE

AC ≅ DE

BC ≅ Que constate-t-on ?

A

B

C D E

α β

β

γ

γ

Théorème de Thalès (le théorème de la proportionnalité des longueurs)

Si deux triangles sont semblables alors les rapports des côtés correspondants sont proportionnels.

ADE AD AE DE

ABC AB AC BC

Δ Δ

γ β α

→ = =

→

↑ ↑ ↑

Illustration

Démonstration

Si le triangle ADE est semblable au triangle ABC alors la droite passant par DE est parallèle à la droite passant par BC.

Le triangle BDE a la même aire que le triangle CDE parce qu'ils ont la même base DE et qu'ils sont compris entre les mêmes parallèles (DE) et (BC).

En leur ajoutant à tous deux le triangle ADE, nous obtenons deux nouveaux triangles de mêmes aires, à savoir ABE et ACD.

On peut donc écrire :

2 1

2 1

AD h AE h

aire( ADE ) aire( ADE ) 2 2 AD AE

aire( ABE ) aire( ACD ) AB h AC h AB AC

2 2

⋅ ⋅

= ⇔ = ⇔ =

⋅ ⋅

Un argument similaire permet d'établir la proportionnalité : AE DE

AC = BC ,

Remarque

La réciproque du théorème de Thalès est également vraie : Si AD AE DE

AB = AC = BC alors les triangles ABC et ADE sont semblables.

A

B

C D E

h2

h1

A

B

C D E

α β

β

γ

γ

________________________________________________________________________________

Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Faire un dessin avec des légendes ; indiquer les données du problème.

2) Identifier dans le dessin les triangles semblables. (hypothèse du théorème de Thalès)

Vérifier à l’aide des propriétés sur les angles que les triangles présents sont bien semblables.

3) Écrire les égalités entre les rapports des côtés correspondants (conclusion du théorème de Thalès).

4) Utiliser ces égalités pour calculer les longueurs désirées. (résolution d’une équation) De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 17 (AB)// (CD)

AS 8 cm BS 12 cm DS 18 cm AB 9 cm

= =

= =

Calculer CS et CD.

Exercice 18

BS 4 cm DS 10 cm

AB 8 cm AS 9 cm AC 9 cm

= =

= = =

Calculer CD.

Exercice 19 [ED]// [BC]

AD = 32 m AC= 51 m DE = 38 m AB = 45 m Calculer BC et AE. Exercice 20

AC= 5 m AE = 11 m BC= 4 m DE = 12 m Calculer AB et CD.

S A B

D C

D E

A

B

C S

A B

D C

D

E A

B α C

α

Exercice 21

Sachant que AB = 8 mm ; BE = 7 mm ; BC= 12 mm calculer AC , CD et DE.

Exercice 22

CE = 111 km ; BC = 35 km ; ED = 36 km a) Calculer AB et BD.

b) Calculer l’aire de la surface hachurée.

Exercice 23

[AF] // [BE] et [AC]// [FE]

BC = 54 cm CD = 45 cm EF = 18 cm AF = 100 cm Calculer FD et BD.

Exercice 24 [BC]// [DE]

CalculerBF.

Exercice 25 [AD] // [BC]

Calculer l’aire de la surface hachurée.

D E

A B

C F

18 10

5 4 F D E

C B

A

8 m

24 m 16 m

D

E C

B A

B

C D A

E

________________________________________________________________________________

Exercice 26

Calculer la profondeur p du puits.

Exercice 27

Pour mesurer la hauteur H de la pyramide de Kheops, Thalès recourt à un bâton de longueur p = 2 m qu'il tient verticalement par rapport au sol. Il fait mesurer la base b = 230 m de la pyramide,

la longueur S = 300 m de son ombre, ainsi que l'ombre s = 5,7 m du bâton.

Calculer la hauteur H de cette pyramide.

Remarque : C'est en hommage à cette idée qui permit cette mesure que le théorème correspondant fut attribué à Thalès par les mathématiciens du 18^e siècle.

0.2 m p

1,2 m

1,7 m

H

b/2 S s

p

Rayons du Soleil (supposés parallèles)

Exercice 28

Le mathématicien et astronome Eratosthène, (environ 280-198 av. J.-C.), avait évalué le rayon de la Terre à partir des observations suivantes :

À midi, le jour du solstice d’été, dans deux villes de l'actuelle Égypte : Syène (ville qui s'appelle aujourd'hui Assouan, sur le Nil) et Alexandrie, il observe les ombres. A Syène, le Soleil est au zénith : les rayons du Soleil sont verticaux et l’on peut voir l’image du Soleil au fond d’un puits.

À Alexandrie, ville située sur le même méridien que Syène mais 800 km plus au nord, le Soleil est très haut dans le ciel mais pas au zénith. L’ombre d'un obélisque vertical a une longueur égale au 1/8 de sa hauteur.

(Un obélisque)

Comme Eratosthène, vous avez tous les éléments pour déterminer approximativement le rayon, puis le diamètre et le périmètre de la Terre.

Alexandrie

Assouan (Syène) Syène

∏

r

r

∏

∏

800

rayons du Soleil (supposés

________________________________________________________________________________

Exercice 29 (Introduction au théorème d’Euclide et de la hauteur) Compléter le tableau suivant : (2 décimales)

a b c a' b' h

3 4

2.2.4 Le théorème d’Euclide et de la hauteur

Exercice 30

Euclide (environ 330-275 av. J.-C.), est le fondateur de l’école de

mathématiques de l’université d’Alexandrie. Il est essentiellement connu pour avoir publié les ÉLÉMENTS, treize livres contenant une compilation de travaux antérieurs et traitant de géométrie, de théorie des nombres et d'algèbre élémentaire.

Théorème d’Euclide et de la hauteur

Dans un triangle rectangle ABC d'hypoténuse c et de hauteur h, les projections des cathètes a et b sur l'hypoténuse sont désignées respectivement par a' et b'.

Sous ces hypothèses, nous avons :

2 2

a = ⋅a' c et b = ⋅b' c (théorème d'Euclide) h2 = ⋅a' b' (théorème de la hauteur)

a) Démontrer le théorème d'Euclide et de la hauteur.

Indication : Utiliser le théorème de Thalès.

b) Démontrer algébriquement ou géométriquement le théorème de Pythagore à l'aide du théorème d’Euclide.

C

A B

a b

c

b' a'

h

H

C

A B

a b

c

b' a'

h

H

Exercice 31

Compléter les lignes du tableau suivant, en utilisant le théorème d’Euclide et de la hauteur : (2 décimales)

x y z u w k

I 20 m 5 m

II 18 cm 10 cm

III 24 mm 8 mm

IV 15 km 12 km

Exercice 32

ABCD est un rectangle de diagonale DB 3= et DE=EF =BF 1= .

Sans utiliser le théorème de Pythagore : a) Calculer les dimensions du rectangle.

b) Calculer l’aire du triangle ADE.

Exercice 33

Le trapèze ABCD est rectangle en A et B.

Ses diagonales se coupent à angle droit.

De plus AB 6= et BC 8=

a) Calculer : AC, EC, AEet BE. b) Calculer l’aire du triangle CDE.

C

A B

x z

y

u w k

H

1

1

1

A B

D C

E

F

D

B C

A

E

________________________________________________________________________________

Exercice 34 *

Démontrer le théorème suivant :

Si les triangles ABC et ADE sont semblables alors AE EC AC AD = DB = AB Illustration

Indication : Ce résultat est une conséquence du théorème de Thalès (c'est un corollaire).

Remarque : La réciproque de ce corollaire est également vraie.

Exercice 35 *

Démontrer le théorème suivant :

Si (AA') // (BB') // (CC') alors A' B' B' C' A' C' AB = BC = AC

Autrement dit : Des parallèles déterminent sur deux sécantes des segments proportionnels.

Illustration

Indication : Ce résultat est une conséquence du théorème de Thalès (c'est un corollaire).

Remarque : La réciproque de ce corollaire est également vraie.

B' A

C' B

A'

C A

B

C D E

α β

β

γ

γ

Exercice 36 *

Démontrer que la longueur du segment [EF]

ne dépend pas de l'écart x entre le segment [AD] et [BC].

Exercice 37 *

Démontrer le théorème de Pierre Varignon (1654-1722) :

« En joignant les milieux d'un quadrilatère ABCD quelconque, on obtient un parallélogramme IJKL ».

Illustration

Exercice 38 * Ne tombez pas dans le trou ! Quel est le diamètre du plus grand trou

circulaire que l’on peut recouvrir à l’aide de trois plaques carrées de 3 m de côté chacune, sans se chevaucher ?

Exercice 39 *

Sachant que a = 1237 et b’ = 3781 , Calculer : b, c, h, et a'

•

•

• •

•

•

•

•

L

D B

C

A

I K J

x E D

C

A F B

c a

b

c B C

A

a b

b' a' h

H

________________________________________________________________________________

Exercice 40 * Considérons un cercle.

d est le diamètre.

c est la corde . f est la flèche.

Établir une formule donnant la flèche f en fonction du diamètre d et de la corde c.

2.2.5

Ce qu’il faut absolument savoir

11♥ Connaître et appliquer le théorème de la somme des angles dans un triangle ok 12♥ Démontrer le théorème de la somme des angles dans un triangle ok 13♥ Connaître et appliquer le théorème de la somme des angles dans un quadrilatère ok 14♥ Démontrer le théorème de la somme des angles dans un quadrilatère ok

15♥ Connaître et appliquer le théorème de Pythagore ok

16♥ Démontrer le théorème de Pythagore ok

17♥ Connaître et appliquer le théorème de Thalès ok

18♥ Démontrer le théorème de Thalès ok

19♥ Connaître et appliquer le théorème d’Euclide et de la hauteur ok

20♥ Démontrer le théorème d’Euclide et de la hauteur ok

2.2.6

Questionnaire à choix multiples

9♣ Dans un polygone la somme des angles vaut 180°. V F

10♣ Dans un parallélogramme la somme des angles vaut 360°. V F 11♣ Dans un triangle, la somme des carrés des cathètes est égale au carré

de l’hypoténuse. V F

12♣ Si a² +b² =c² alors a b c+ = . V F

13♣ Deux triangles semblables ont des côtés de mêmes longueurs. V F 14♣ Le théorème d’Euclide est un cas particulier du théorème de Thalès. V F 15♣ Si deux triangles sont rectangles alors ils sont semblables. V F 16♣ Deux triangles peuvent être semblables et rectangles. V F 17♣ Si le triangle T1 est semblable au triangle T2 et si le triangle T2 est semblable

au triangle T3 alors le triangle T1 est semblable au triangle T3. V F Les réponses du Q.C.M. se trouvent au chapitre 2.5 avec les solutions des exercices.

d f c

2.3 Cercles et éléments de cercle

2.3.1 Définitions et rappels

• Un cercle est un ensemble de points situés à une même distance d'un point donné.

• Le point donné est le centre C et la distance donnée le rayon r du cercle.

• Un disque est une partie finie du plan délimitée par un cercle.

• Une droite est une sécante d'un cercle si elle coupe ce cercle en deux points A et B distincts.

• Le segment limité par les deux points d'intersection d'une sécante est une corde (on peut la voir aussi comme l'intersection d'une sécante et d'un disque).

• Le terme diamètre d est utilisé dans deux sens différents : d'une part, c'est une corde d'un cercle passant par le centre de ce cercle et d'autre part c'est la longueur de cette corde.

• De la même façon, le terme rayon est utilisé pour un segment joignant le centre d'un cercle à un point de ce cercle et aussi pour la longueur de ce segment. (remarque : d = 2r)

• Une droite est une tangente d'un cercle si elle coupe ce cercle en un seul point T.

• Un angle au centre est un angle dont le sommet est situé au centre d'un cercle.

• Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est situé sur le cercle et dont les côtés coupent le cercle.

α est un angle au centre β est un angle inscrit α

C

A

B

T

sécante

tangente corde

diamètre d rayon r

C

•

•

•

•

β

• C

________________________________________________________________________________

• Un arc de cercle est la partie d'un cercle interceptée par un angle au centre (c'est une courbe).

• Un secteur de disque est la partie d'un disque interceptée par un angle au centre (c'est une surface).

L est un arc de cercle S est un secteur de disque

• On appelle segment circulaire la portion de disque comprise entre un arc et la corde qui le sous-tend.

2.3.2 Périmètre et aire du disque

Rappels

Le périmètre d'un disque (ou d'un cercle) est donné par la formule : P = 2π r L'aire de ce même disque est donnée par la formule : A = π r²

Où π≅ 3,14159265358979323846264338...

Remarques

a) Dans ces formules, r représente le rayon du cercle et π un nombre particulier qui se lit Pi.

b) Le nombre π, est un nombre irrationnel ; cela signifie qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme d'une fraction de deux entiers et que son écriture décimale est illimitée et non périodique.

c) Dans les calculs à la main, on prend en général l'approximation π≈ 3,14.

La calculatrice est munie d'une touche π qui donne une dizaine de décimales exactes.

α C

L

α C

S α

Segment circulaire

α C

•

C r

•

P = 2π r

•

C r

•

A = π r²

La définition du nombre

π

Expérience

Prenons une roue, peignons-la et faisons lui faire un tour sur le sol. Mesurons ensuite, la longueur de la trace faite par la peinture (périmètre P1 de la roue) et le diamètre d1 de la roue. Calculons pour finir le rapport entre le périmètre et le diamètre ; on constate que ¹

1

P 3,14 d ≅ .

Prenons une roue avec un diamètre d2 différent de d1. Dans ce cas nous obtenons aussi : ²

2

P 3,14

d ≅ .

Conclusion

le rapport entre le périmètre et le diamètre du cercle (roue) est constant et vaut environ 3,14.

Donc on définit : P

P d P 2r P 2 r

d = ⇔π =π ⇔ =π ⇔ = π avec π ≅3,14 Définition

p est défini comme étant le rapport constant entre le périmètre et le diamètre d'un cercle.

Remarques

a) Le périmètre P du cercle est proportionnel à son diamètre d car P=πd. Application : Si le diamètre du cercle triple, le périmètre triple aussi.

b) Le périmètre P du cercle est proportionnel à son rayon r car P 2 r= π .

Application : Si le rayon du cercle diminue de moitié, le périmètre diminue aussi de moitié.

La notation

π

π est la seizième lettre de l'alphabet grec et la première lettre du mot grec περιμετρον, périmètre ou περιϕερεια, circonférence, périphérie. Il y a plusieurs versions sur l'apparition du symbole, mais l'époque est toujours la même : vers 1600. William Oughtred (1574-1660) en 1647 et Isaac Barrow (1630-1677) utilisent le symbole π pour représenter le périmètre d'un cercle de diamètre un. Euler, utilise la lettre π ,dans un ouvrage sur les séries, publié en latin en 1737 puis, en 1748, dans son ’’Introduction à l’analyse infinitésimale’’, ce qui imposa définitivement cette notation.

d1

• •

P1

1 tour

d2

• •

P2

1 tour

________________________________________________________________________________

Le nombre

π

π apparait dans de très nombreux problèmes physiques et mathématiques. Par exemple, on trouve, par intégration (voir cour de 4^e année), des formules classiques telles que :

• le volume d'une sphère de rayon r = 4 ³ 3πr

• le périmètre d'une ellipse = a² b² 2π 2⁺

En astronomie, π est important puisque les planètes ont en première approximation une forme de sphère et décrivent des trajectoires elliptiques autour du Soleil.

Le nombre π, fait également partie des formules d'électromagnétisme.

Et dans de nombreux autres cas...

Lien entre le périmètre et l’aire du disque Expérience

• On suppose connue la formule donnant le périmètre du disque c’est à dire : P 2 r= π .

• On découpe un disque en un nombre pair de secteurs de disques égaux et on dispose ces secteurs de façon à former une figure ressemblant à un « parallélogramme ondulé ».

• La hauteur du « parallélogramme ondulé » est environ égale au rayon r du disque.

• La base du « parallélogramme ondulé » est environ égale au demi-périmètre du disque, c’est-à-dire P/2.

• L’aire A du « parallélogramme ondulé » est donc environ égale à P 2 r ²

A r r r

2 2

π π

≈ ⋅ = ⋅ = . Conclusion

Si on augmente indéfiniment le nombre de secteurs de disques on peut admettre que l’aire A du

« parallélogramme ondulé » et donc du disque, vaut exactement A=πr².

r b

a

Transformation 2

1 4

3

6 5 8

7

1 2 3 4

5 6 7 8

≈ r

≈ P/2

2.3.3 Longueur d'un arc et aire d'un secteur

L'aire du secteur S, la mesure de l'angle au centre α° (en degré), la longueur de l'arc L et le nombre de tours x qu'a parcouru un point Q sur le cercle sont des grandeurs proportionnelles et on a alors l’égalité entre les rapports suivants :

= ^o = =

2 o

tours tour

S L x

r 360 2 r 1

α

π π

Exercice 41

Compléter les lignes du tableau suivant : (2 décimales)

α r L S nombre

de tours

I 45° 8,31 cm

II 50 m 90,57 m

III 120° 9,70 cm

IV 5,88 cm 90 cm²

V 10 cm 1/3

VI 30 m 1/4

VII 20° 90 dm²

VIII 10,12 m² 3/4

Exercice 42

Démontrer la formule suivante : L r S 2

= ⋅

α C

S α

L r

Q

•

α C

S α

L r

Q

•

________________________________________________________________________________

a a

• •

•

•

•

•

•

•

• •

• • •

•

α a b a

b

a a a

a Exercice 43

Calculer l’aire et le périmètre des surfaces ombrées.

1)

Le côté du carré mesure 5 cm.

2)

Le côté du carré mesure 4 m.

3)

Le rayon de chaque cercle mesure 3 km.

4)

Le côté du triangle équilatéral mesure 5 cm.

5)

L'angle α = 50°, a = 10 cm, b = 8 cm.

6)

Les portions de cercles sont des quarts de cercle.

7)

Les portions de cercles sont des quarts de cercle.

8)

Les cinq disques de la figure ont le même rayon.

Exercice 44

Un pauvre mouton était accroché par une corde de 7 mètres

de long, à l'extrémité sud-est d'une bergerie dans un champ tout plat.

Quelle était donc la superficie d'herbe ainsi mise à sa disposition ? Indication : la corde peut être tendue.

Exercice 45

Calculer l’aire et le périmètre des surfaces ombrées.

a)

Le rayon de chaque cercle mesure 40 cm.

b)

Le côté de l'hexagone régulier mesure 5 cm.

Indication : il y a des segments circulaires.

Exercice 46

Un pendule oscille au bout d'une corde de 60 cm.

Sachant que l'angle décrit est de 64°, trouver la longueur de l'arc décrit.

Exercice 47

L'extrémité d'un pendule de 35 cm de long décrit un arc de cercle de 15 cm.

Quel est l'angle décrit au cours d'une oscillation du pendule ?

Exercice 48

L'aiguille des minutes d'une horloge mesure 6 cm de long. Quelle est la longueur de l'arc décrit par l'extrémité de l'aiguille (Réponse en cm).

a) en 20 minutes ? b) en 2400 secondes ?

Exercice 49

La distance entre deux points A et B sur Terre se mesure le long d’un cercle dont le centre C est au centre de la Terre et dont le rayon est égal à la distance de C à la surface (voir figure).

a) Calculer la distance en kilomètre entre A et B si l’angle nACB 60= °.

b) Si deux points A et B sont éloignés de 1000 Km, déterminer l’angle nACB en degrés.

60 cm 64°

•

• C2 • C3

C1

•

________________________________________________________________________________

Exercice 50

Une roue pour une petite voiture a un diamètre de 56 cm.

Si le véhicule se déplace à une vitesse de 96 km/h, calculer le nombre de tours que la roue fait par seconde.

Exercice 51

La Terre effectue une rotation complète autour de son axe en 23 heures, 56 minutes et 4 secondes.

Son rayon à l’équateur est selon les mesures contemporaines d'environ 6378 Km.

a) Calculer de combien de degrés, la terre tourne en une seconde.

b) Calculer la distance parcoure (en mètre) pendant une seconde par un point P situé sur l'équateur, dû à la rotation de la Terre.

Exercice 52 *

a) Si le pignon de rayon r₁ tourne d’un angle de α₁^D degré, trouver l’angle de rotation α₂^D en degré correspondant du pignon de rayon r₂.

b) Un cycliste expérimenté peut atteindre une vitesse de 64 Km/h.

Si la transmission par pignons a r₁ = 13 cm, r₂ = 5 cm, et si la roue a un diamètre de 71 cm, évaluer combien de tours par minute du pignon avant produira une vitesse de 64 Km/h.

Indication : convertir d’abord 64 Km/h en cm/s.

Exercice 53 *

La figure représente un carré de côté a.

Les lignes à l'intérieur représentent des quarts de cercles.

Calculer l'aire de la figure hachurée en fonction de a.

2.3.4 Angles inscrits et angles au centre

Théorème de l'angle au centre et de l'angle inscrit

Si un angle au centre ω intercepte le même arc de cercle qu' un angle inscrit α alors ω =2α Illustration

α est aigu α est obtus Démonstration

a) Exprimons tous les angles

du triangle ABO en fonction de β : Le triangle ABO est isocèle en O car OA OB r= = (le rayon du cercle) donc α₁ =β

De plus α₁+ + =β λ 180^D⇒ =λ 180^D− ⋅2 β

(théorème de la somme des angles dans un triangle)

b) Exprimons tous les angles du triangle ACO en fonction de γ :

Le triangle ACO est isocèle en O car OA OC r= = (le rayon du cercle) donc α₂ =γ

De plus α₂+ + =γ θ 180^D⇒ =θ 180^D− ⋅2 γ (thm. de la somme des angles dans un triangle) c) Déduisons de a) et de b) que ω =2α:

^{ω =360D− − =λ θ 2β +2γ =2}

(

)

(

)

•

•

•

•

α

ω = 2α

β

A

B

γ α1

O ω α2

α

C

λ θ

•

•

•

•

•

•

•

•

α

ω = 2α

________________________________________________________________________________

Marche à suivre pour résoudre les problèmes

1) Faire un dessin avec des légendes ; indiquer les données du problème.

2) Identifier dans le dessin les angles inscrits et les angles au centre. (hypothèse du théorème) 3) Écrire les égalités entre les mesures d’angles. (conclusion du théorème)

4) Utiliser ces égalités pour calculer les angles désirés.

De manière générale : Indiquer systématiquement le nom du théorème que vous utilisez.

Exercice 54

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , δ et γ .

Exercice 55

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , β et γ .

Exercice 56

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , β , et δ .

γ

A

B 25°

δ

O

C α

γ A

B

50°

O β

C α

50°

D

A B

C

• ^δ β

40° α O 30°

Exercice 57

Soit O le centre du cercle.

Calculer la valeur de l’angle ε.

Exercice 58

Soit O le centre du cercle.

ABCDE est un pentagone régulier.

Calculer la valeur de l’angle λ.

Exercice 59

Démontrer le théorème suivant : (corollaire 1)

Si A, B et C sont trois points sur un cercle et que le segment [BC] est un diamètre du cercle, alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 60

Démontrer le théorème suivant : (corollaire 2)

Si des angles inscrits interceptent un même arc de cercle alors ils sont égaux.

Exercice 61

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , β , γ et δ .

a a

a a

a ε

• O

A B

C D

E

λ

• O

O

55°

75°

γ α

•

β δ

________________________________________________________________________________

Exercice 62

Soit O le centre du cercle.

Déterminer la valeur des angles α , β , γ et δ .

Exercice 63

Démontrer le théorème suivant : (corollaire 3) Si un quadrilatère est inscrit dans un cercle alors la somme des angles opposés est de 180°.

α + γ = 180° et β + δ = 180°

Exercice 64

Soit O le centre du cercle.

On donne le rayon du cercle r = 5 cm et α = 30°.

Calculer la longueur l de l’arc de cercle intercepté par l’angle inscrit α.

Exercice 65

Les points E, F et G appartiennent au cercle de centre O et de rayon 3 cm.

Sachant que α =30^D, calculer l’aire de la surface ombrée.

G

O α

•

• •

•

F E

•

l

α A

B

C O

• D

A

O •

B

C α

β

γ

•

•

• δ

•

O 80° 30°

α β

δ

• γ

Exercice 66

Soit un demi-cercle de centre O et de diamètre AD 10= a) Calculer la longueur de l’arc de cercle l .

b) Déterminer les angles du triangle CDI .

Exercice 67

Soit un demi-cercle de centre O et T un point sur le cercle.

[AB]// [DE]

AT = 220 m DE = 750 m AB = 275 m Calculer l’aire du triangleTDE.

Exercice 68 *

Démontrer le théorème suivant : Si le point P est à l’extérieur du cercle alors PA· PB PC ·PD=

Démarche conseillée :

a) Montrer que les triangles PAD et PBC sont semblables . (justifier en nommant les angles)

b) Poser les rapports du théorème de Thalès pour les triangles PAD et PBC.

P

A C B

D

•

•

• •

•

A D

C B

•O

I 20°

l

A B

D

T

• O

E

________________________________________________________________________________

2.3.5

Ce qu’il faut absolument savoir

21♥ Connaître la définition d'un cercle et d'un disque ok

22♥ Connaître la définition d'une droite sécante et tangente à un cercle ok 23♥ Connaître la définition d'un angle au centre et d’un angle inscrit ok 24♥ Savoir reconnaître un angle au centre et un angle inscrit ok 25♥ Connaître la définition d'un arc de cercle, d'un secteur disque et d’un segment circulaire ok 26♥ Connaître les formules donnant l’aire et le périmètre d’un disque fonction du rayon ok 27♥ Connaître et appliquer les formules donnant la longueur d'un arc de cercle,

l'aire d'un secteur de disque en fonction de l’angle au centre ok 28♥ Connaître et appliquer le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre ok 29♥ Démontrer le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre ok 30♥ Connaître et appliquer les trois corollaires du théorème de l'angle inscrit

et de l'angle au centre ok

2.3.6

Questionnaire à choix multiples

et le rayon d’un cercle. V F

22♣ π est égal à 3.14 V F

23♣ La mesure d’un angle au centre vaut le double de celle d’un angle inscrit. V F

Les réponses du Q.C.M. se trouvent au chapitre 2.5 avec les solutions des exercices.