Liens non exhaustifs entre la position relative des objets géométriques, vecteurs associés et coordonnées
Appartenances :
Un point appartient à une droite (resp. à un plan) ssi ses coordonnées vérifient l’équation de la droite (resp. du plan)
3 points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés ssi 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires (fonctionne avec d’autres vecteurs formés par ces trois points) Une droite appartient à un plan ssi 2 de ses points appartiennent au plan
Un vecteur est coplanaire à un plan ssi un de ses représentants est formé de deux points du plan
Un vecteur est coplanaire à un plan ssi il est décomposable en une combinaison linéaire de vecteurs formant une base de ce plan Une combinaison linéaire de 2 vecteurs 𝑢⃗ 𝑒𝑡 𝑣 est une expression du type 𝑢⃗ +𝑣 où et sont des réels
2 vecteurs forment une base d’un plan ssi ils en sont coplanaires et ne sont pas colinéaires (entre eux) Dans l’espace, 2 vecteurs non colinéaires forment la base d’une famille de plans parallèles entre eux.
Dans un plan, l’association d’un point et d’une base forme un repère du plan
Un point M appartient à un plan (ABC) ssi on peut écrire une égalité du type 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Un point M appartient à un plan (ABC) ssi on peut écrire une égalité 𝑎𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑏𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑐𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ où 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 sont des réels
Parallélisme :
2 droites sont parallèles ssi leurs vecteurs directeurs sont colinéaires 2 droites sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires
2 droites parallèles sont nécessairement coplanaires (𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠⇒ 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠)
2 droites sont sécantes ssi elles sont coplanaires et non parallèles (𝑠é𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠⇒ 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠) 2 droites non coplanaires n’ont aucun point d’intersection mais ne sont ni parallèles ni sécantes
1 droite et 1 plan sont parallèles ssi cette droite est parallèle à une droite du plan
1 droite et 1 plan sont parallèles ssi un vecteur directeur de la droite est colinéaire à un vecteur du plan
1 droite et 1 plan sont parallèles ssi un vecteur directeur de la droite est orthogonal à un vecteur normal au plan 1 droite et 1 plan sont parallèles ssi un vecteur normal à la droite est colinéaire à un vecteur normal au plan
1 droite et 1 plan ne sont pas parallèles ssi la droite et le plan sont sécants en 1 point 1 droite et 1 plan ne sont pas parallèles ssi cette droite est sécante à une droite du plan
2 plans sont parallèles ssi il existe 2 droites sécantes d’un plan parallèles à 2 droites sécantes de l’autre plan
2 plans sont parallèles ssi il existe une base d’un plan dont les vecteurs soient colinéaires (1 à 1) à une base de l’autre plan 2 plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires
Orthogonalité :
2 droites sont orthogonales ssi leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux 2 droites sont orthogonales ssi leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
2 droites sont perpendiculaires ssi elles sont orthogonales et coplanaires (elles ont alors 1 point d’intersection)
Si 1 droite et 1 plan sont orthogonaux Alors ils sont perpendiculaires (ils ont 1 point d’intersection) 1 droite et 1 plan sont perpendiculaires ssi cette droite est orthogonale à 2 droites sécantes du plan
1 droite et 1 plan sont perpendiculaires ssi un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à 2 vecteurs formant une base du plan 1 droite et 1 plan sont perpendiculaires ssi un vecteur directeur de cette droite est colinéaire à un vecteur normal au plan
2 plans sont orthogonaux ssi leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
Rappels vectoriels :
2 vecteurs sont colinéaires ssi ils ont la même direction
2 vecteurs 𝑢⃗ 𝑒𝑡 𝑣 sont colinéaires ssi on peut écrire une égalité du type 𝑢⃗ = 𝑘. 𝑣 où 𝑘 est un réel 2 vecteurs sont colinéaires ssi leurs coordonnées sont proportionnelles
2 vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul
