Universit´e P. et M. Curie Master de Math´ematiques
MM003
Mercredi 27 Octobre 2010
Analyse R´ eelle
Dur´ee 2 h 15 – sans document
I 1) Soient t >0 et ⇠ 2R. Montrer que
Z 1
0
e txe ix⇠dx= 1 t+i⇠
et en d´eduire que si t d´esigne la fonction x7!e t|x| sur R, on a ct(⇠) = 2t t2+⇠2. 2) En d´eduire que t(x) = 1
⇡ Z +1
1
t
t2+⇠2 eix⇠d⇠.
3) Soient ` > 1 un nombre entier, ( 1, 2, . . . , `) et (x1, x2, . . . , x`) des nombres r´eels.
Montrer que X
j6`,k6`
j k t(xj xk) = 1
⇡ Z +1
1
t t2+⇠2
X
j6`,k6`
j kei⇠(xj xk)d⇠
= 1
⇡ Z +1
1
t t2+⇠2
X
jei⇠xj 2 d⇠ >0
4) On suppose de plus que P`
j=1 j = 0. Montrer que P
j6`,k6` j k = 0, et en d´eduire
que X
j6`,k6`
j k
1
t(1 e t|xj xk|)60 , puis que P
j6`,k6` j k|xj xk|60 (on pourra consid´erer la limite lorsque t !0).
5) Soient (X,B, µ) un espace mesur´e,`>1 un nombre entier, ( 1, 2, . . . , `) des nombres r´eels de somme nulle, (f1, f2, . . . , f`) des fonctions r´eelles µ-int´egrables surX. Montrer que P
j6`,k6` j kkfj fkk1 60 (o`u k.k1 d´esigne la norme dans L1(X, µ)).
II
1) Soient (X,B, µ) un espace mesur´e et f une fonction complexe µ-int´egrable sur X. On veut montrer que, pour tout " > 0, il existe > 0 tel que, si A 2 B et µ(A) < , on ait R
A|f(x)| dµ(x)6".
Supposant le contraire, montrer qu’il existe un " > 0 et une suite (An) dansB tels que µ(An)62 n et que R
An|f(x)| dµ(x)>".
Montrer alors que siBn =S
k>nAk, la suite (Bn) est d´ecroissante, v´erifieµ(Bn)621 n et R
Bn|f(x)| dµ(x) > ". En d´eduire que la suite (|f|.1lBn) converge presque partout vers 0 et que limn!1R
Bn|f(x)| dµ(x) = 0. Conclure.
2) SoientM un espace m´etrique complet non vide et (gn) une suite de fonctions complexes continues sur M, qui converge simplement vers une fonction g. On va montrer qu’il existe des pointsadeM en lesquels la suite (gn) est ´equicontinue, c’est-`a-dire que pour tout" >0 on peut trouver un voisinageW deatel que, pour toutn2N,|gn(x) gn(a)| 6"six2W.
On pose, pour k et`entiers :Xk` ={x2M :8p>k |gp(x) gk(x)| 62 `}. Montrer queXk` est un ferm´e, que M = S
kXk` pour tout` et que la fronti`ere Yk` =@Xk` de Xk` est un ferm´e rare deM. D´eduire du th´eor`eme de Baire que R=M \S
k,`Yk` est dense dans M. Montrer que si a 2 R et " > 0, il existe ` tel que 2 ` < "/3, puis k tel que a 2 Xk`. Utilisant le fait que a 2 R, montrer que Xk` est alors un voisinage de a. Montrer que W ={x2Xk` :8n6k |gn(x) gn(a)|6"/3} est un voisinage de aet que, pourp>k et x2W on a
|gp(x) gp(a)|6|gk(x) gk(a)|+ 2.2 ` 6" . Conclure.
3) Soit (X,B, µ) un espace mesur´e. On noteM le sous-ensemble{1lA :A2B, µ(A)<1}
de L1(X,B, µ), muni de la distance induite par celle de L1. Montrer que si (1lAk) est une suite dansM qui converge versf 2L1, il existe une sous-suite qui converge presque partout vers f, et en d´eduire l’existence d’un A2B tel que f = 1lA dans L1, puis que M est ferm´e dans L1.
4) Montrer que si f 2 L1 la fonction 'f : M ! C d´efinie par 'f(1lA) = R
Af(x)dµ(x) v´erifie|'f(1lA) 'f(1lB)|6R
A B|f(x)| dµ(x) et que µ(A B) =k1lA 1lBk. D´eduire alors de1) que 'f est continue surM.
On dira qu’une partie H de L1(X,B, µ) est ´equi-int´egrable si, pour tout " > 0 il existe un > 0 tel que, pour toute h 2 H et tout C 2 B tel que µ(C) < , on ait R
C|h(x)| dµ(x)< ".
5) On suppose maintenant que µ(X) < 1 et on veut montrer que si une suite (fn) dans L1(X,B, µ) converge faiblement (pour (L1, L1)), alors H = {fn : n2 N} est ´equi- int´egrable.
On d´efinit la fonction gn sur M par gn = 'fn. Montrer que la suite (gn) converge simplement sur M, et en d´eduire l’existence d’un A 2 B tel que (gn) soit ´equicontinue en 1lA, c’est-`a-dire que pour " >0, il existe >0 tel que |gn(1lA) gn(1lB)|6"/8 pour toutn d`es que k1lA 1lBk6 .
Montrer que si C 2B et si on pose B0 =A[C et B00 =A\C, on a : Z
C
fn(x)dµ(x) 6 Z
B0
fn(x)dµ(x) Z
A
fn(x)dµ(x) + Z
B00
fn(x)dµ(x) Z
A
fn(x)dµ(x) Montrer que, si µ(C) < , on a k1lB0 1lAk< et k1lB00 1lAk < , et en d´eduire que R
Cfn(x)dµ(x) < "/4.
Pour un C 2 B tel que µ(C) < et n 2 N, on pose C1n = {x 2 C : <e(fn(x)) > 0}, C2n=C\C1n, C3n ={x2C :=m(fn(x))>0} et C4n =C\C3n. Montrer que
Z
C|<e(fn(x))| dµ(x) =<e⇣Z
C1n
fn(x)dµ(x)⌘
<e⇣Z
Cn2
fn(x)dµ(x)⌘
6 Z
C1n
fn(x)dµ(x) + Z
C2n
fn(x)dµ(x) < "/2 et de mˆeme que R
C|=m(fn(x))| dµ(x)< "/2.
Conclure que R
C|fn(x)| dµ(x)< " pour tout nd`es que µ(C)< .
