« Chapitre V : addition et soustraction I

« Chapitre V : addition et soustraction

I

Addition

a. Vocabulaire:

4 + 3 = 7

7 est la …………. des deux …………... 3 et 4.

On dit qu’on a ………….. 3 à 4.

b. Poser une opération:

Pour calculer en posant une somme il faut placer les ……….. les unes en dessous des autres ( on complète par des …... si besoin ).

Exemples:

II Soustraction :

7 – 4 = 3

3 est la ………... des deux ……….. 7 et 4.

On dit qu’on a retranché (enlevé) 4 à 7.

Poser une opération:

La technique est la même que pour l'addition Exemples:

III Calcul avec parenthèses

Dans une expression, on commence par effectuer les calculs à l'intérieur des parenthèses.

Exemples :

A = a - ( b – c ) avec a = 50 ; b = 20 et c = 5 A = ... - ( ... – ... )

= …. – ….

= ….

Sinon, on fait les calculs de gauche à droite.

B = 18 – 7 – 6

= …. – ...

= …..

IV Transformer une addition

Une somme ne change pas si on change l'ordre des termes ou si on place des parenthèses : 26 + 45 + 14 + 55 = 26 + 14 + 45 + 55

= (26 + 14) + (45 + 55)

= 40 + 100

= 140

5, 8 + 6,4 + 3,6 = 5,8 + (6,4 + 3,6) = 5,8 + 10

= 15,8

Calculer 532,6 – 65,37 532 , 6 0

- 65 , 37 ….. , ….

Calculer 121 + 26,65 + 2, 3 121

+ 26, 65 + 2, 3 149, 95

V

Un ordre de grandeur permet de prévoir le résultat d’une opération de manière approchée. Il faut le calculer, si possible, avant le début d’un problème pour avoir une idée de la solution.

Cela permet par exemple de se rendre compte d’une erreur de calcul si le résultat final est loin de l’ordre de grandeur.

Méthode :

En regardant le nombre de gauche à droite, on garde le premier chiffre différent de 0 (que l'on peut augmenter de 1) et on remplace tous les autres par des 0. On peut aussi garder les deux premiers chiffres.

Exemples : (à compléter)

Nombre de départ Ordre de grandeur inférieur

Ordre de grandeur supérieur

Ordre de grandeur

6 854,17 6 000 7 000 7 000

12 361 024 39,213 0,036 7 0, 123 0,009 487

On s'adapte en fonctions des nombres considérés :

l'ordre de grandeur de 6 854,17 + 12 361, 024 est ……... + ………... = ……….

C

7 Multiplication .

Utilisation : calculs d'aires ou calculer plus rapidement par regroupements.

Table de Pythagore :

a) Vocabulaire

4  3 = 12

12 est le produit des deux facteurs 4 et 3.

On dit qu’on a multiplié 4 par 3.

Remarque : on peut commuter les nombres multipliés ( 4 × 3 = 3 × 4)

multiplier un nombre par un autre plus petit que 1 donne un nombre inférieur au premier. ( 7 × 0,5 = 3,5 ) b) Multiplication de deux décimaux quelconques

Pour multiplier à la main deux nombres décimaux :

1. On multiplie les deux nombres en ignorant les virgules.

2. On place la virgule dans le produit en sachant que le résultat doit avoir autant de décimales que les deux facteurs réunis.

Exemples :

c) Multiplication par 10 ; 100 ; 1000 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

Pour multiplier un nombre par 10, 100 ou 1000 on décale la virgule de un, deux ou trois rangs vers la

DROITE, en rajoutant éventuellement des « 0 ».

Exemples : 1 2 3,  1 0 = 1 2,3

1 2 3,  1 0 0 = 1 2 3

1 2 3,  1 0 0 0 = 1 2 3 0

1 + 2 = 3 chiffres derrière la virgule 1 4 5 3,

0

 7 2, 2 9 0 6 1 7 1 . 1

0 4 6 1 6

1 ,

3 + 2 = 5 chiffres derrière la virgule 0 5 4 6,

4 0

 ,8 9 4 9 1 4 3 6 8 . 4 8 5 9 4 ,

0

Pour multiplier un nombre par 0,1 ou 0,01 voir 0,001 on décale la virgule de un, deux ou trois rangs vers la GAUCHE, en rajoutant éventuellement des « 0 ».

Exemples :

d) Commutativité

Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut changer l'ordre des facteurs et placer des parenthèses.

Exemple :

50 × 6,24 × 2 = 6,24 × ( 50 × 2 )

= 6,24 × 100

= 624

1 2 3,  0 1, = 1,2 3 1 2 3,  0, 0 1 = ,1 2 3 1 2 3,  0,0 0 1 = 0 , 0 1 2 3

0

IV La division

 La division euclidienne :

Lorsque l’on divise deux nombres entiers et que l’on décide de s’arrêter « avant la virgule », on dit que l’on effectue leur division euclidienne.

Effectuer une division euclidienne, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient entier et le reste.

Exemple : On dispose de 541 € pour acheter des calculatrices à 12 €. Combien peut-on en acheter ?

Signifie que : 541 = (45  12) + 1

Conclusion : Le collège pourra commander 45 calculatrices et il restera 1 €.

Vocabulaire : 541 est le dividende 12 est le diviseur 45 est le quotient entier 1 est le reste

Quand on effectue une division euclidienne, on a toujours :

Dividende = (diviseur  quotient entier) + reste Le reste est toujours strictement inférieur au diviseur.

Attention : on ne peut pas diviser par zéro !

 La division décimale :

a est un nombre (entier ou décimal) et b est un nombre entier non nul.

Définition : La division décimale du nombre a par le nombre b permet de calculer le quotient exact de a par b ou une valeur approchée de celui-ci.

Notation : Le quotient exact de a par b se note : a : b ou (écriture fractionnaire du quotient) Exemple 1 : Dividende entier et diviseur entier :

Calculer le quotient exact de 4 545 par 60 :

Dès que l’on abaisse le premier 0 « après la virgule » du dividende, on place une virgule au quotient.

75,75 est le quotient exact de 4 545 par 60.

Exemple 2 : Dividende décimal et diviseur entier : Calculer le quotient exact de 132,64 par 25 :

Dès que l’on abaisse le premier chiffre après la virgule du dividende, on place une virgule au quotient.

5,3056 est le quotient exact de 132,64 par 25.

Exemple 3 : Lorsque le diviseur est un nombre décimal :

Propriété (admise) : On ne change pas le quotient de deux nombres décimaux quand on multiplie chacun d’eux par un même nombre (en particulier, par 10 ; 100 ; 1 000 etc.)

Cette propriété permet de transformer une division lorsque le diviseur est un nombre décimal :

 10  10

25,9 1,4

ou bien :

 100  100

25,9 1,4

Exemple 4 : Attention, le quotient de deux nombres n’est pas toujours un nombre décimal et dans ce cas, on en donne une valeur approchée en faisant une troncature ou un arrondi.

Problème : Loïc désire partager une planche de 1 400 cm en trois planches de longueurs égales.

Quelle sera la longueur de chaque planche ?

Troncature à l’unité : 466 (s’obtient en supprimant tous les chiffres situés après la virgule : c’est la partie entière du quotient)

Arrondi à l’unité : 467 (c’est le nombre entier le plus proche du quotient calculé)

Réponse tronquée à l’unité : 466 cm Réponse arrondie à l’unité : 467 cm

 Diviser par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 …… :

Règle : Pour diviser un nombre par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 ……, on déplace la virgule d’un, de deux, de trois …….. rang(s) vers la droite.

Conséquence : cela revient à multiplier par 10 ; par 100 ; par 1 000 …………..

Exemples : 17 : 0,1 = 170 9,87 : 0,001 = 9 870 1,234 : 0,01 = 123,4