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dossier de révision
examen de décembre
Consignes pour l’examen
Matériel
- Calculatrice (non graphique)
- Stylo, équerre, compas, crayon, gomme, couleurs - Le prêt de matériel n’est pas autorisé.
Déroulement de l’examen Examen écrit de 4 heures
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1 Exponentielles et logarithmes
Rappel : Définitions et propriétés des puissances Puissance négative :
𝒙−𝒑 = 𝟏 𝒙𝒑 Par exemple, 𝑥−1=1
𝑥 , 𝑥−2= 1
𝑥2
Puissance fractionnaire : 𝒙
𝒑
𝒒 = √𝒙𝒒 𝒑 Par exemple,
𝑥12= √𝑥, 𝑥13= √𝑥3 , 𝑥25= √𝑥5 2 Puissance négative et fractionnaire :
𝒙−
𝒑 𝒒= √𝟏
𝒙𝒑
𝒒
Par exemple, 𝑥−12= √1
𝑥 𝑥−23= √1
𝑥2
3
𝒙𝒑. 𝒙𝒒 = 𝒙𝒑+𝒒
𝒙𝒑
𝒙𝒒= 𝒙𝒑−𝒒
(𝒙. 𝒚)𝒑 = 𝒙𝒑. 𝒚𝒑
[𝒙 𝒚]
𝒑
=𝒙𝒑 𝒚𝒑
[𝒙𝒑]𝒒 = 𝒙𝒑.𝒒
1.1 Equations exponentielles
Pas de CE (condition d’existence) car 𝑑𝑜𝑚 exp𝑎𝑥 = ℝ
Exemples :
1) 35𝑥+1 = 32−4𝑥
Si on a une égalité de 2 exponentielles de même base (ici a=3), on égale les exposants.
⇔ 5𝑥 + 1 = 2 − 4𝑥
⇔ 9𝑥 = 1
⇔ 𝑥 = 1/9 𝑆 = {1/9}
2) 22𝑥 = 1/4
On se ramène à une égalité de 2 exponentielles de même base (ici a=2) :
⇔ 22𝑥 = 2−2 On égale les exposants
⇔ 2𝑥 = −2
⇔ 𝑥 = −1 𝑆 = {−1}
3) 3. (1
3)𝑥 = 9
On utilise les propriétés des puissances :
⇔ 31. (3−1)𝑥 = 3²
⇔ 31. 3−𝑥 = 3²
⇔ 31−𝑥 = 3² On égale les exposants
⇔ 1 − 𝑥 = 2
⇔ 𝑥 = −1 𝑆 = {−1}
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Exercice 1. (P2) Résous les équations suivantes.
a. 26𝑥 – 22𝑥−1= 0
b. 35𝑥= 1
27
c. 52𝑥+1= 5𝑥
d. 16𝑥 = 1
42𝑥+2
e. 5 (1
25)𝑥 = 125
f. 23𝑥+1=1
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Exercice 2. (P3) Une population de bactéries double toutes les heures. A l’heure 𝑥 = 1, il y a deux bactéries. Exprime le nombre de bactéries en fonction du nombre d’heures écoulées.
Détermine en résolvant une équation exponentielle après combien d’heures il y a 64 bactéries ?
1.2 Inéquations exponentielles
Pas de CE (condition d’existence) 𝑑𝑜𝑚 exp𝑎𝑥 = ℝ
Exemples :
1) (0,2)3𝑥+4 < (0,2)5𝑥+1
On change le sens de l’inégalité car la fonction exp0,2 est décroissante, c’est-à-dire que si la valeur de l’exponentielle augmente, l’abscisse de la fonction (exposant) diminue
⇔ 3𝑥 + 4 > 5𝑥 + 1
⇔ −2𝑥 > 5
⇔ 𝑥 < −5 2 𝑆 = ←, −5
2[
2) 32𝑥+1 ≥19
⇔ 32𝑥+1 ≥ 3−2
On ne change pas le sens de l’inégalité car la fonction exp3 est croissante, c’est-à-dire que si la valeur de l’exponentielle augmente, l’abscisse de la fonction (exposant) augmente.
⇔ 2𝑥 − 1 ≥ −2
⇔ 2𝑥 ≥ −3
⇔ 𝑥 ≥ −3 2 𝑆 = [−3
2, →
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Exercice 3. (P2) Résous les inéquations suivantes.
a. 42𝑥+2 >161
b. 2𝑥+5 − 28≥ 0
c. 53𝑥+2 < 52𝑥+1
d. [ 1
1000]𝑥> 10
e. 563𝑥−1 > 1
f. 0,1𝑥+5 − [0.011 ]8≥ 0
g. 43𝑥 < 4
h. [13]𝑥> 9
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1.3 Fonctions logarithmes : définition et exemples
1) log2 : ℝ0+ → ℝ
x → y = log2x ⇔ 2y= x
log22 = 1 car 21 = 2 log28 = 3 car 23= 8 log21
2= −1 car 2−1=1
2 log25√64=6
5 car 265= √25 6 = √645 2) log1/2 : ℝ0+ → ℝ
x → y = log1/2x ⇔ (1 2⁄ )y= x log1/22 = −1 car (1 2⁄ )−1= 2
log1/2 1
√8=3
2 car (1 2⁄ )32= (1 2⁄ 3)
1 2= (1
8)
1 2= 1
√8 log1/264 = −6 car (1 2⁄ )−6= ((1 2⁄ )−1)6= (2)6= 64 log1/2√43 = −2
3 car (1 2⁄ )−23= ((1 2⁄ )−2)13= (22)13= √43 Exercice 4. (P2) Calcule sans calculatrice :
a. log51 = car :
b. log525 = car :
c. log5 1
25= car :
d. log5√1254 = car :
e. log1
5
1 = car :
f. log1
5
25 = car :
g. log1
5
1
25= car :
h. log1 5
√1254
= car :
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1.4 Fonctions logarithmes : propriétés
Logarithme d’un produit log𝑎(𝑥 ∙ 𝑦) = log𝑎𝑥 + log𝑎𝑦
Logarithme d’une puissance log𝑎𝑥𝑟 = 𝑟 ∙ log𝑎𝑥
Logarithme d’un quotient log𝑎(𝑥
𝑦) = log𝑎𝑥 − log𝑎𝑦
Changement de base log𝑎𝑥 =log𝑏𝑥
log𝑏𝑎
Exercice 5. (P2) Exprime les logarithmes suivants en fonction de log 3 et/ou log 7, en utilisant uniquement les propriétés des logarithmes. Ecris la propriété utilisée appliquée à l’exercice.
Sachant que log 3 = 0.477 et log 5 =0.845, détermine le résultat avec ta calculatrice.
a. log 21 =
b. log 49 =
c. log7
3=
d. log 63 =
Exercice 6. (P2) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule appliquée à l’exercice, ensuite calcule le résultat avec ta calculatrice.
a. log0.823 = b. log0.218 = c. log21000 = d. log2.4𝜋 =
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1.5 Equations logarithmiques
Il faut tout d’abord déterminer les conditions d’existence (CE) car le domaine de la fonction logarithme est ℝ0+. Il en découle que pour la fonction log 𝑥 , 𝑥 doit être strictement positif.
Exemples :
Logarithmes de même base dans chaque membre : log4(𝑥 − 2) = log45 CE : 𝑥 − 2 > 0 ⇔ 𝑥 > 2
On trouve directement :
⇔ 𝑥 − 2 = 5
⇔ 𝑥 = 7 𝑆 = {7}
Egalité d’un logarithme et d’un réel : log3(5 − 𝑥) = 2 CE : 5 − 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 < 5
⇔3𝑙𝑜𝑔3(5−𝑥) = 32
⇔ (5 − 𝑥) = 3²
⇔ (5 − 𝑥) = 9
⇔ 𝑥 = −4 𝑆 = {−4}
Cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes : log 𝑥 + log 2 = 1 CE : 𝑥 > 0
⇔ log 2𝑥 = 1 avec la formule du produit de logarithmes
⇔ 10log 2𝑥= 101
⇔ 2𝑥 = 10 en utilisant la définition du logarithme ; 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎x = 𝑥
⇔ 𝑥 = 5 𝑆 = {5}
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Exercice 7. (P2) Résous les équations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence:
a. log2(2𝑥 + 1) = log216
b. log4(1 −𝑥
2) = 3
c. log4𝑥 +log45 = 16
d. log32 −log32𝑥 = 2
e. log2 (3𝑥 − 1) = log27
f. log4(1 − 𝑥) = 3
g. ln 2𝑥 + ln 5 = 2
h. ln 2𝑥 − ln 5 = 2
i. ln(𝑥 − 3) − ln(𝑥 + 3) = 1
j. log56𝑥 − log5(𝑥 + 5) = 1
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1.6 Inéquations logarithmiques
Comme pour les équations, il faut tout d’abord déterminer les conditions d’existence (CE).
Exemples :
Logarithmes de même base dans chaque membre : log0,4(5x-1) < log0,4(3x+4)
CE : {5𝑥 − 1 > 0
3𝑥 + 4 > 0 ⇔ {𝑥 >1
5
𝑥 >−4
3
⇔ 𝑥 >1
5
⇔ (5x-1) > 3x+4
⇔ 2x > 5
⇔ x > 5
2 𝑆 = ] 5
2, →
Inégalité d’un logarithme et d’un réel : log2(3x-1) ≤ 5 CE : 3x-1 >0 ⇔ x > 1
3
⇔ 2log2(3𝑥−1)
≤
25⇔ 3x − 1 ≤ 25
⇔ 3𝑥 − 1 ≤ 32
⇔ 3𝑥 ≤ 33
⇔ 𝑥 ≤ 11
S = ]1
3, 11]
Cas où il faut utiliser les propriétés des logarithmes : log 𝑥 − log 2 ≤ log(1 − 3𝑥) CE : { 𝑥 > 0
1 − 3𝑥 > 0 ⇔ {𝑥 > 0
𝑥 <13 ⇔ 0 < 𝑥 <13
⇔ log𝑥
2≤ log(1 − 3𝑥)
⇔ 𝑥
2≤ 1 − 3𝑥
⇔ 7𝑥
2 ≤ 1
⇔ 𝑥 ≤2
7 𝑆 = ]0,2
7] l’ensemble des solutions doit prendre en compte les CE
Exercice 8. (P2) Résous les inéquations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence : a. log3(𝑥 − 5) > log311
b. log3(1 + 3𝑥) ≤ 5
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c. log42𝑥 −log43 < 3
d. log23 +log23𝑥 ≥ 0
e. log (𝑥 + 1) < log 3𝑥
f. log2(2 − 2𝑥) > 3
g. ln 2𝑥 + ln 5 < 2
h. ln 2𝑥 − ln 5 < 2
i. ln(𝑥 − 3) − ln(𝑥 + 3) ≤ 1
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Exercice 9. Le nombre d’utilisateurs de Snapchat en 2018 est de 188 millions. Ce nombre augmente de 45 % par an.
a. Combien y aura-t-il d’utilisateurs supplémentaires dans un an ?
b. Par quel facteur faut-il multiplier le nombre d’utilisateurs pour obtenir le nombre d’utilisateurs de l’année suivante ?
c. Quel sera le nombre d’utilisateurs en 2021 ?
d. En quelle année le milliard d’utilisateurs sera atteint ?
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2 Géométrie analytique dans l’espace 2.1 Position relative de deux vecteurs
Deux vecteurs 𝑢⃗ et 𝑣 sont parallèles s’il existe un réel 𝑘 non-nul tel que 𝑣 = 𝑘. 𝑢⃗
Avec 𝑢⃗ (𝑥𝑢, 𝑦𝑢, 𝑧𝑢) et 𝑣 (𝑥𝑣, 𝑦𝑣, 𝑧𝑣) deux vecteurs dans un repère orthonormé, 𝑢⃗ et 𝑣 sont orthogonaux si et seulement si
𝑥𝑢∙ 𝑥𝑣+ 𝑦𝑢∙ 𝑦𝑣+ 𝑧𝑢∙ 𝑧𝑣= 0
Exercice 10. (P1) Les vecteurs suivants sont-ils parallèles, orthogonaux ou de position relative quelconque ?
𝑢⃗ (3,2,1) et 𝑣 (−3, −2, −5)
𝑢⃗ (2,4,12) et 𝑣 (−4,8, −2)
𝑢⃗ (3,2, −4) et 𝑣 (−2,4,1
2)
𝑢⃗ (1,2,6) et 𝑣 (−1, −2, −6)
𝑢⃗ (3, −1,2) et 𝑣 (−3,2,2)
𝑢⃗ (1, −2,5) et 𝑣 (−2,4,2)
2.1.1 Position relative de points
Trois points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 distincts sont alignés si et seulement s’il existe un réel 𝑘 non-nul tel que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
Le point 𝐷 est dans le même plan que trois points 𝐴, 𝐵, 𝐶 non alignés si et seulement s’il existe deux réels 𝑘 et 𝑙 tels que
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑘. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑙. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
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Exercice 11. (P3) Dans la définition ci-dessus : « Le point 𝐷 est dans le même plan que trois points 𝐴, 𝐵, 𝐶 non alignés si et seulement … ». Que deviendrait la condition pour que le point 𝐷 appartienne au plan 𝐴𝐵𝐶 si les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 étaient alignés ?
Exercice 12. (P2)
a. Les points 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,4,5) et 𝐶(−1, −5, −7) sont-ils alignés ?
b. Vérifie que les 3 points 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,4,5) et 𝐶(4,10,9) ne sont pas alignés.
c. Avec 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,4,5) et 𝐶(4,8,9) , le point 𝐷(2, −3,2) appartient-il au plan 𝐴𝐵𝐶 ?
d. Avec 𝐴(1,1,1), 𝐵(2,4,5) et 𝐶(4,8,9) , le point 𝐷(−2, −5, −5) appartient-il au plan 𝐴𝐵𝐶 ?
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2.1.2 Equations de droites dans l’espace Equation vectorielle d’une droite
Toute droite 𝑑 de l’espace peut s’exprimer au moyen d’un vecteur directeur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . Si un point 𝑋 appartient à la droite, alors le vecteur 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ doit être multiple du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , ce qui se note 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , cette équation est
appelée équation vectorielle de la droite. Pour une valeur donnée de 𝛼, on trouve un point donné de la droite.
Equations paramétriques d’une droite
Le point 𝐴 a pour coordonnées (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴), ce qui se note 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴). De façon similaire, on a B (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵). Le point 𝑋 est variable, il peut se trouver n’importe où sur la droite 𝐴𝐵. Les coordonnées du point 𝑋 sont donc des variables, notées 𝑥, 𝑦 et 𝑧, ce qui s’écrit 𝑋 (𝑥, 𝑦, 𝑧).
En développant l’équation vectorielle 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , on obtient les équations paramétriques de la droite :
{
𝑥 − 𝑥𝐴= 𝛼(𝑥𝐵− 𝑥𝐴) 𝑦 − 𝑦𝐴= 𝛼(𝑦𝐵− 𝑦𝐴) 𝑧 − 𝑧𝐴= 𝛼(𝑧𝐵− 𝑧𝐴)
Note : si la droite n’est pas définie par deux points comme ci- dessus, mais par un point C ayant pour coordonnées (𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶) et un vecteur directeur 𝑢⃗ de composantes (𝑥𝑢, 𝑦𝑢, 𝑧𝑢), les équations paramétriques de la droite sont :
{
𝑥 − 𝑥𝐶 = 𝛼𝑥𝑢 𝑦 − 𝑦𝐶 = 𝛼𝑦𝑢 𝑧 − 𝑧𝐶 = 𝛼𝑧𝑢 Equations cartésiennes d’une droite
Pour obtenir les équations cartésiennes d’une droite à partir de ses équations paramétriques, il faut éliminer le paramètre 𝛼 pour obtenir deux équations du premier degré en x, y et z. Les équations qui ne contiennent plus de paramètre sont les équations cartésiennes.
A partir des équations paramétriques de la droite, on isole 𝛼 :
{ 𝑥 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵− 𝑥𝐴= 𝛼 𝑦 − 𝑦𝐴 𝑦𝐵− 𝑦𝐴= 𝛼
𝑧 − 𝑧𝐴 𝑧𝐵− 𝑧𝐴= 𝛼
En égalant les équations 2 à 2 : {
𝑥 − 𝑥𝐴
𝑥𝐵− 𝑥𝐴= 𝑦 − 𝑦𝐴 𝑦𝐵− 𝑦𝐴 𝑦 − 𝑦𝐴
𝑦𝐵− 𝑦𝐴
= 𝑧 − 𝑧𝐴 𝑧𝐵− 𝑧𝐴
Nous avons ici un système de deux plans dont
l’intersection est une droite, ce qui est illustré ci-dessus 𝑨𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜶𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑪𝑿⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜶𝒖⃗⃗
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Exercice 13. Soit la droite 𝑑 de vecteur directeur 𝑢⃗ (1,2,3) passant par le point 𝐴(1,1,1).
a. Donne les équations paramétriques de 𝑑,
b. indique si le point 𝐵(3,5,7)est un point de 𝑑.
c. Donne l’équation vectorielle de cette droite.
Exercice 14. (P2) On considère la droite 𝑑 passant par les deux points 𝐴(2,3,5) et 𝐵(−1,0,2).
a. Donne l’équation vectorielle de 𝑑,
b. donne les équations paramétriques de 𝑑,
c. donne deux autres points de la droite 𝑑,
d. indique si le point (1,1,1) appartient à la droite 𝑑.
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Exercice 15. (P2) Détermine
a. les équations paramétriques et cartésiennes des axes 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧 d’un repère 𝑂𝑥𝑦𝑧 de l'espace (pas de calcul nécessaire, trouve les équations en raisonnant),
b. les équations paramétriques de la droite 𝐴𝐵 avec 𝐴(1,1,2) et 𝐵(2,2,1)
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2.1.3 Equations de plans dans l’espace Equation vectorielle d’un plan
Tout plan 𝜋 de l’espace peut s’exprimer au moyen de 2 vecteurs directeurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (avec 𝐴, 𝐵, 𝐶 non alignés). Si un point 𝑋 appartient au plan, alors le vecteur 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ doit être une combinaison linéaire des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , ce qui se traduit par :𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Cette relation est appelée équation vectorielle du plan. Pour une valeur donnée de 𝛼 et une valeur donnée de 𝛽 on trouve un point donné du plan.
Equations paramétriques d’un plan
Pour passer de l’équation vectorielle d’un plan à ses équations paramétriques, il faut écrire l’équation vectorielle sous forme de composantes. On a 𝐴(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴), 𝐵(𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) et 𝐶(𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶).
Le point 𝑋 est variable, il peut se trouver n’importe où sur le plan. Les coordonnées du point 𝑋 sont donc des variables, notées 𝑥, 𝑦 et 𝑧, ce qui s’écrit 𝑋 (𝑥, 𝑦, 𝑧).
En développant l’équation vectorielle 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , on obtient les équations paramétriques :
{
𝑥 − 𝑥𝐴= 𝛼(𝑥𝐵− 𝑥𝐴) + 𝛽(𝑥𝐶− 𝑥𝐴) 𝑦 − 𝑦𝐴= 𝛼(𝑦𝐵− 𝑦𝐴) + 𝛽(𝑦𝐶− 𝑦𝐴) 𝑧 − 𝑧𝐴= 𝛼(𝑧𝐵− 𝑧𝐴) + 𝛽(𝑧𝐶− 𝑧𝐴)
Note : si le plan n’est pas défini par trois points comme ci-dessus, mais par un point C ayant pour coordonnées (𝑥𝐶, 𝑦𝐶, 𝑧𝐶) et deux vecteurs directeurs 𝑢⃗ (𝑥𝑢, 𝑦𝑢, 𝑧𝑢) et 𝑣 (𝑥𝑣, 𝑦𝑣, 𝑧𝑣), les équations paramétriques du plan sont :
{
𝑥 − 𝑥𝐶 = 𝛼𝑥𝑢+ 𝛽𝑥𝑣 𝑦 − 𝑦𝐶 = 𝛼𝑦𝑢+ 𝛽𝑦𝑣 𝑧 − 𝑧𝐶 = 𝛼𝑧𝑢+ 𝛽𝑧𝑣 Equations cartésiennes d’un plan
Pour obtenir les équations cartésiennes d’un plan à partir de ses équations paramétriques, il faut éliminer les paramètres 𝛼 et 𝛽 pour obtenir une équation du premier degré en x, y et z.
L’équation qui ne contient plus de paramètre est l’équation cartésienne. A partir des équations paramétriques du plan, et en éliminant les paramètres 𝛼 et 𝛽, on obtient une équation linéaire c’est-à-dire une équation de la forme :
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 avec 𝑎 ≠ 0 ou 𝑏 ≠ 0 ou 𝑐 ≠ 0
que nous avons déjà identifié comme étant l’équation d’un plan.
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Exercice 16. (P2) Soit le plan 𝜋 passant par les trois points non alignés 𝐴(0,0,1), 𝐵(1,2,2) et 𝐶(2,1,0).
a. Donne une équation vectorielle de 𝜋,
b. donne les équations paramétriques de 𝜋,
c. donne 2 autres points du plan.
Exercice 17. (P2) Soit le plan 𝜋 passant par les trois points non alignés 𝐴(1,2,1), 𝐵(2,1,1) et 𝐶(2,2,1).
a. Donne une équation vectorielle de 𝜋,
b. donne les équations paramétriques de 𝜋,
c. détermine dans ce plan un point d’ordonnée 3.
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Exercice 18. (P2) Soit le plan 𝜋 comprenant le point 𝐴(1,2,3) et de vecteurs directeurs 𝑢⃗ (−1,1,0) et 𝑣 (1,0, −1).
a. Donne une équation vectorielle de 𝜋,
b. donne les équations paramétriques de 𝜋,
c. détermine dans ce plan un point de cote 2.
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2.1.4 Plans et droites parallèles Droites parallèles
Deux droites sont parallèles si elles ont un même vecteur directeur ou des vecteurs directeurs multiples. Pour déterminer si deux droites sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître le vecteur directeur (ce qui multiplie le paramètre, en gras ci-dessous)
Soient la droite d ≡ {
x = (𝟑)α + 2 y = (𝟓)α − 1 z = (𝟏)α + 3
et la droite d′ ≡ {
x = (𝟔)α − 1 y = (𝟏𝟎)α − 2
z = (𝟐)α + 5 u
⃗ = 2u′⃗⃗⃗ , les vecteurs directeurs des droites d et d′ sont multiples, ces droites sont parallèles.
Plans parallèles
Deux plans sont parallèles s’ils ont un même couple de vecteurs directeurs parallèles ou des vecteurs directeurs multiples. Pour déterminer si deux plans sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître les composantes des vecteurs directeurs (ce qui multiplie les paramètres, en gras ci-dessous)
Soient les plans π ≡ {
x = (−𝟏)α + (𝟏)β y = (−𝟐)α + (−𝟏)β z = (𝟏)α + (−𝟏)β + 2
et π′ ≡ {
x = (𝟐)α + (−𝟑)β + 1 y = (𝟒)α + (𝟑)β − 3 z = (−𝟐)α + (𝟑)β + 5
u′⃗⃗⃗ = −2u⃗ et v′⃗⃗⃗⃗ = −3v⃗ Les vecteurs directeurs des plans π et π′ sont multiples, ces plans sont parallèles.
Droite et plan parallèles
Une droite et un plan sont parallèles si le vecteur directeur de la droite est aussi un vecteur directeur du plan (ou si ces vecteurs sont multiples). Pour déterminer si une droite et un plan sont parallèles, on compare leurs équations paramétriques, car elles font apparaître les composantes des vecteurs directeurs (ce qui multiplie les paramètres, en gras ci-dessous).
Soient la droite d ≡ {
x = (𝟏)α − 1 y = (𝟐)α + 3 z = (−𝟏)α + 5
et le plan π ≡ {
x = (𝟐)α + (𝟏)β + 1 y = (𝟒)α + (−𝟏)β + 2 z = (−𝟐)α + (𝟑)β + 4 u′⃗⃗⃗ = 2u⃗
Le vecteur directeur de la droite d et un des vecteurs directeurs du plan π′sont multiples, la droite d et plan π′ sont parallèles.
Règles utilisant les équations cartésiennes
Si on a déjà les équations cartésiennes, il est plus facile de déterminer les conditions de parallélisme en utilisant les règles ci-dessous :
Les plans π et π′ sont parallèles si les coefficients a, b et c sont identiques pour les deux plans : π ≡ 𝐚x + 𝐛y + 𝐜z + d = 0 et π′ ≡ 𝐚x + 𝐛y + 𝐜z + d′= 0
Les droites d et d′ sont parallèles si les coefficients a, b, c, a’, b’ et c’ sont identiques pour les deux droites :
d ≡ { 𝐚x + 𝐛y + 𝐜z + d = 0
𝐚′x + 𝐛′y + 𝐜′z + d′ = 0 et d′ ≡ { 𝐚x + 𝐛y + 𝐜z + D = 0 𝐚′x + 𝐛′y + 𝐜′z + D′ = 0
Note : parfois les équations doivent d’abord être simplifiées afin de rendre les coefficients a,b, et c les plus petits possibles, par exemple : 3x + 3y + 6z + 2 = 0 peut être simplifié en x + y + 2z +23= 0.
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Exercice 19. (P2) Donne les équations paramétriques d’une droite :
a. parallèle à la droite 𝑑 d’équations paramétriques :𝑑 ≡ {𝑥 = 𝛼 + 2 𝑦 = 𝛼 𝑧 = 3𝛼 + 1
b. parallèle à la droite 𝑑 d’équations paramétriques : 𝑑 ≡ { 𝑥 = 2 𝑦 = 1 𝑧 = 𝛼 + 1
c. parallèle au plan 𝜋 d’équations paramétriques : 𝜋 ≡ {
𝑥 = 𝛼 + 3𝛽 + 1 𝑦 = 2𝛼 + 2 𝑧 = 2𝛼 + 𝛽 − 2
Exercice 20. (P2) Donne les équations paramétriques d’un plan : a. parallèle au plan 𝜋 d’équations paramétriques : 𝜋 ≡ {
𝑥 = 2𝛼 + 4𝛽 + 1 𝑦 = 𝛼 − 2𝛽 𝑧 = 2𝛼 + 3𝛽 + 3
b. parallèle au plan 𝜋 d’équations paramétriques : 𝜋 ≡ {
𝑥 = 3𝛼 + 2 𝑦 = 2𝛼 − 2𝛽 − 5
𝑧 = 2𝛽 + 2
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Exercice 21. (P2) Donne l’équation cartésienne :
a. d’un plan parallèle distinct au plan 𝜋, d’un plan parallèle confondu au plan 𝜋, et d’une droite parallèle au plan 𝜋, d’équation :
𝜋 ≡ 3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 1 = 0
b. d’un plan parallèle distinct au plan 𝜋, et passant par le point 𝑃(1,2,3).
c. d’une droite parallèle distincte à la droite 𝑑, d’une droite parallèle confondue à la droite 𝑑, et d’un plan parallèle à la droite 𝑑, d’équation :
𝑑 ≡ {𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 3 = 0 2𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 + 2 = 0
d. d’une droite parallèle distincte à la droite 𝑑, et passant par le point 𝑃(1,2,3).
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2.1.5 Plans et droites orthogonaux Droites orthogonales
Deux droites 𝑑1 et 𝑑2 sont orthogonales si le vecteur directeur de 𝑑2 est orthogonal au vecteur directeur de 𝑑1.
Si en plus les droites sont sécantes, elles sont dites perpendiculaires.
Vecteur normal
Dans un repère orthonormé,
soit le plan 𝜋 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (avec 𝑎, 𝑏 et/ou 𝑐 ≠ 0), le vecteur 𝒏⃗⃗ (𝒂, 𝒃, 𝒄) est orthogonal à tout vecteur directeur de ce plan. On dira que c’est un vecteur normal à 𝝅.
Plans perpendiculaires
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux Droite et plan perpendiculaire
Une droite et un plan sont perpendiculaires si le vecteur directeur de la droite est normal au plan Exercice 22. (P2 : Appliquer) Démontre que :
a. la droite 𝑑 d’équations paramétriques {
𝑥 = 2 + 2𝛼 𝑦 = −4𝛼
𝑧 = 6𝛼
est perpendiculaire au plan 𝜋 ≡ 3𝑥 − 6𝑦 + 9𝑧 = 0,
b. les droites 𝑑1 ≡ {
𝑥 = 3 − 4𝛼 𝑦 = 2 + 2𝛼 𝑧 = −1 − 6𝛼
et 𝑑2≡ { 𝑥 = 2 − 𝛼 𝑦 = −1 − 2𝛼
𝑧 = 2
sont orthogonales,
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c. le plan 𝜋1≡ −𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 1 = 0 et le plan 𝜋2 ≡ 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0 sont perpendiculaires,
d. la droite 𝑑 d’équations paramétriques {
𝑥 = 1 + 2𝛼 𝑦 = 3 𝑧 = −2 + 2𝛼
n’est pas perpendiculaire au plan 𝜋 ≡ 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0,
e. les droites 𝑑1 ≡ {
𝑥 = 2 − 2𝛼 𝑦 = 2 + 5𝛼 𝑧 = −1 − 3𝛼
et 𝑑2≡ {
𝑥 = 1 + 2𝛼 𝑦 = −3 + 𝛼 𝑧 = −3 + 2𝛼
ne sont pas orthogonales,
f. le plan 𝜋1≡ 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 et le plan 𝜋2≡ 𝑥 = 0 ne sont pas perpendiculaires,
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2.1.6 Position relative de trois plans
En fonction de leurs positions relatives, l’intersection de 3 plans peut être vide, consister en un point, une droite ou un plan, voici les différentes configurations possibles :
3 plans parallèles
3 plans parallèles distincts : intersection
vide 3 plans parallèles confondus : intersection selon 1 plan
2 plans confondus et un plan distinct : intersection
vide
2 plans parallèles
2 plans parallèles confondus : intersection selon une
droite 2 plans parallèles distincts : intersection
vide
Aucun plan parallèle
Intersection selon trois
droites parallèles : intersection
vide
Intersection selon 1
droite
Intersection en 1 point
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Exercice 23. (P3 : Transférer) Donne une interprétation géométrique de la solution des système suivants en déduisant la position relative des plans à l’aide de leurs équations cartésiennes.
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 1 = 0
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 3 = 0
−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0
{
𝑥 = 2 𝑦 = 1 2𝑥 − 8 = 0
{ 𝑥 = 2 𝑥 = 4 𝑦 = 1
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0
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{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2 = 0
−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 − 4 = 0
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 2 = 0
−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0
{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 𝑧 = 2 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0
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{
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 1 = 0
−𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 1 = 0
−2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 − 2 = 0
{ 𝑥 = 2 𝑦 = 2 𝑧 = 2
{
𝑥 + 𝑦 = 2 2𝑥 + 2𝑦 = 4
−𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
{
𝑥 + 𝑦 = 1 𝑥 + 𝑧 = 1 𝑦 + 𝑧 = 1
