CE1-B2015-2016 Intérêtdeladémonstrationparl’absurde Lorsquel’ondémontreuneimplicationa)bparl’absurde,onsuppose àlafoisaetNON(b).Ainsi,leraisonnementparl’absurdenouspermet debénéficierdedeuxhypothèseslàoùladémonstrationdirecteetla démonstrationparcontraposéen’enontqu’une. IV.2.Démonstrationàl’aided’unedisjonctiondecas Lorsqu’unepropositioncomporteunevariablexprenantsavaleursurun ensembleE,ilpeutêtreutiled’effectuerunepartitiondel’ensembleE. Onétudieraalorslesvaleursdevéritédelapropositionpourchaquetype devaleurquepeutprendrexi.e.pourxappartenantsuccessivementà chaqueensembledelapartition. Exercice Soitn2N⇤.Démontrerquen2nestpair.
V . A ver ti ss em en t
Lessymbolesdequantificateursetconnecteurslogiquesserventàex- primerdemanièrerigoureuseetconcisedespropositionsmathématiques. Ilesttoutàfaitexclud’utilisercessymbolesàdesfinsd’abréviation. •Démontronsqu’9unélémentxdeRtelque... •Cequiprouveque,8x,laproposition... 20 ECE1-B2015-201C H I :L og iq ue et ra iso nne m en ts m at hé m at iq ue s
Danscechapitre,onintroduitlasyntaxeetlasémantiqued’éléments debasedulangagemathématique.L’objectifestdouble: ⇥pouvoircomprendreetécriredesphrasesmathématiquessimples, ⇥donnerdesbasesrigoureusesafindepouvoirdémontrercetypede phrasesmathématiques.I. P ro p os it io ns m at hém at iq ues
DéfinitionPropositionmathématique Onappellepropositionmathématiqueunénoncéauquelonpeutat- tribuerunevaleurdevérité(vraioufaux). Exemple •Lesénoncéssuivantssontdespropositionsmathématiques. a)1+1=2 Cetteproposition estvraie.b)1+1=3 Cetteproposition estfausse.
c)ln(1)=1 Cetteproposition estfausse. •Parcontre,1+12et(p 18)3nesontpasdespropositionspuisqu’on nepeutleurattribuerdevaleurdevérité.Cesontdesexpressionsarith- métiquesdontlerésultatestunréel. Ilestànoterqu’unepropositionmathématiquepeutcomporterdes variables.Enconséquence,ilestpossiblequelavaleurdevéritéd’une propositiondépendeduchoixdecesvariables.
ECE1-B2015-2016
IV . A ut res ty p es de dém ons tr at io ns renc on tr ées
IV.1.Démonstrationparl’absurde
•Afindedémontrerunepropositionr,onpeutprocéderparl’absurde.CeraisonnementconsisteàsupposerqueNON(v)estvraie,etmontrerquecelamèneàunecontradiction.
Démodevparl’absurde
Parl’absurde,onsupposequeNON(v)estvraie.Alors...Contradiction!Cequidémontrev.
•Cetypederaisonnementestadaptéaucasoulapropositionvestuneimplicationv:a)b.Onrappellequedanscecas,NON(v)équivautàNON(NON(a)OUb)i.e.àaETNON(b).Pourmontrerparl’absurdelapropositiona)b,onrédigeracommesuit.
Démodea)bparl’absurde
Parl’absurde,onsupposequeaetNON(b)sontvérifiées.Alors...Contradiction!Cequidémontrea)b.
ExercicePourxélémentdeR,montrerque:((8✏>0),x6✏))x60.Onprocéderaparl’absurde.
ExerciceSoitn2N.Montrerparl’absurdequesin 2estpairalorsnestpair.
19 CE1-B2015-2016
Exemple
•Lesénoncéssuivantssontdespropositionsdontlavaleurdevéritédé-pendduchoixdesvariables.a)x+2>4
⇥cettepropositionestvraiepourtoutxplusgrandque2,
⇥cettepropositionestfaussesinoni.e.pourtoutxstrictementinférieurà2.b) px2=x
⇥cettepropositionestvraiepourtoutxplusgrandque0,
⇥cettepropositionestfaussesinoni.e.pourtoutxstrictementinférieurà0.c) px2+y2=x+yPourconnaîtrelavaleurdevéritécetteproposition,onaimeraitlasimplifier,encommençantparsedébarrasserdel’opérateur p.Unetelledémarcheestpérilleuse:sionreprendlapropositionpré-cédente: px2=x,uneélévationaucarrédepartetd’autredusymboled’égalitéfournitl’expression:x2=x2,quiestvraiepourtoutxréel!L’élévationaucarrén’estdoncpasunopérateurneutreentermedevaleurdevérité(nousreviendronsplustardsurcepoint).Sansentrerdanslesdétails,onpeutremarquerque:
⇥six=0,lapropositionestvraiepourtouty>0,
⇥siy=0,lapropositionestvraiepourtoutx>0,
⇥six<0ety<0,lapropositionestfausse.
•Parcontre,10x( py)n’estpasuneproposition.C’estuneexpressionarithmétiquedontlerésultatestunréel.
Onpeutnommeruneproposition.Sielledépendd’unevariableexpli-citementdonnée,onferaapparaîtrecettedépendance.Parexemple,onpourranoterp(x,y)laproposition px2+y2=x+y.
2
CE1-B2015-2016 III.4.b)Silapropositioncomporteplusieursquantificateurs Afindenierunepropositioncomportantplusieursquantificateurs,ilsuffit d’itérerlarègleprécédente. Exemple Soitplaproposition:8x2R,9M2R+,f(x)6M. Notonsq(x)laproposition:9M2R+,f(x)6M.Onaalors: p:(8x2R),q(x) Donc,enappliquantlarègleprécédente: NON(p),9x2R,NON(q(x)) etainsi, NON(p),9x2R,8M2R+ ,f(x)>M Exercice.(�) Établirlanégationdelapropositionsuivante: 8x2R,8y2R,(x6y)f(x)6f(y)) Onpeutprocéderdemanièreautomatique: NON(8x2R,8y2R,(x6y)f(x)6f(y))) ,9x2R,NON(8y2R,(x6y)f(x)6f(y))) ,9x2R,9y2R,NON(x6y)f(x)6f(y)) ,9x2R,9y2R,(x6yETNON(f(x)6f(y))) ,9x2R,9y2R,(x6y)ET(f(x)>f(y)) (lapropositiondedépartsignifiequelafonctionfestcroissante) 18 ECE1-B2015-201
II . C onnec teur s lo gi ques
II.1.Conjonction DéfinitionConjonction Soientpetqsontdeuxpropositionsmathématiques. •OnnotepETqlapropositionquiest: ⇥vraiequandpetqsontsimultanémentvraies, ⇥faussesinon. Autrementdit,uneconjonctionpETqestfaussesi(aumoins)l’une desdeuxpropositionspouqquilacomposeestfausse. •L’opérateurETpermetdecombinerdeuxpropositionspourformerune nouvelleproposition. Exemple Lesénoncéssuivantssontdespropositionsmathématiques. a)(x+2>4)ET(1+1=3) Laproposition1+1=3étantfausseindépendammentdelavealeur dex,cetteconjonctionestfaussepourtoutxréel. b)(1+1=2)ET(x+2>4) ⇥cettepropositionestvraiepourtoutx>2, ⇥cettepropositionestfaussesinoni.e.pourtoutx<2. II.2.Disjonction DéfinitionDisjonction Soientpetqsontdeuxpropositionsmathématiques. •OnnotepOUqlapropositionquiest: ⇥faussequandpetqsontsimultanémentfausses, ⇥vraiesinon. Autrementdit,unedisjonctionpOUqestvraiesi(aumoins)l’une desdeuxpropositionspouqquilacomposeestvraie. •L’opérateurOUpermetdecombinerdeuxpropositionspourformerune nouvelleproposition.ECE1-B2015-2016
III.4.Négationd’énoncéscomportantdesquantificateurs
III.4.a)Silapropositioncontientunseulquantificateur
•Lanégationde(8x2E,p(x))amêmevaleurdevéritéquelapropo-sition:(9x2E,NON(p(x))).Autrementdit:
NON(8x2E,p(x)),9x2E,NON(p(x))
Schémadedémonstration
Démontrerquelapropositionq:8x2E,p(x)estfausse,c’estdémon-trerqueNON(q)estvraie.Orona:NON(q):9x2E,NON(p(x)).Ainsi,ils’agitd’exhiberunélémentudeEtelquep(u)estfausse.Cetélémentuestappeléuncontre-exempledelapropositionq.
ExerciceDémontrerquelapropositionsuivanteestfausse.
8x2]1,1[,2 3x.(ln(1x)+1).(3x 3+xe x4)>0Ils’agitd’exhiberuncontre-exemple.Oronremarqueque:
⇥2 30=2 1=2
⇥ln(10)+1=ln(1)+1=1
⇥303+0e04=4et2⇥1⇥(4)<0.L’élémentu=0fournituncontre-exemple.
•Lanégationde(9x2E,p(x))amêmevaleurdevéritéquelapropo-sition(8x2E,NON(p(x))).Autrementdit:
NON(9x2E,p(x)),8x2E,NON(p(x))
•Ainsi,pournierunepropositionquicommenceparunquantificateur,onchangelequantificateuretonnielapropositionquilesuit.
17 CE1-B2015-2016
ExempleLesénoncéssuivantssontdespropositionsmathématiques.a)(x+2>4)OU(1+1=3)Laproposition1+1=3étantfausseindépendammentdelavaleurdex,cettedisjonctionest:
⇥vraielorsque(x+2>4)l’esti.e.pourtoutx>2,
⇥faussesinoni.e.pourtoutx<2.b)(1+1=2)OU(x+2>4)Laproposition1+1=2étantvraieindépendammentdelavaleurdex,cettedisjonctionestvraiepourtoutxréel.
RemarqueIlnefautpasconfondrecettedéfinitionduOUaveccelleutiliséedanslelangagenaturel.Eneffet,lorsqu’onvousdemandeaurestaurantsivoussouhaitezdufromageoududessert,leserveurretireimplicitementlapossibilitédevousapporterlesdeux.Le«ou»dulangagenaturelcorrespondenfaitauXOR(«ou»exclusif).Pourpetqdeuxpropositions,pXORqestvérifiéesiseulementl’unedesdeuxpropositionspetqestvraieetfaussesinon.
PropriétédesopérateursETetOU1)pET(qOUr)amêmevaleurdevéritéque(pETq)OU(pETr)2)pOU(qETr)amêmevaleurdevéritéque(pOUq)ET(pOUr)(direquedeuxpropositionsaetbontmêmevaleurdevéritésignifiequ’ellessontfaussesenmêmetempsetqu’ellessontvraiesenmêmetemps)
Démonstration.Noustraitonsseulementle1),le2)estlaisséenexercice.Pourmontrerquedeuxpropositionsaetbontmêmevaleurdevérité,nousallonsprocédercommesuit:(i)nousmontronsquesiaestvraiealorsbl’estaussi.(ii)nousmontronsquesiaestfaussealorsbl’estaussi.
4
CE1-B2015-2016 III.3.Énoncéscomportantplusieursquantificateurs Remarque Onpeutécriredesénoncéscomportantplusd’unquantificateur.Par exemple,l’énoncé:8x2R,9y2R,x+y=0signifiequetoutélément réelxpossèdeunopposéy.Notezquecetopposéydépenddel’élément xinitial. •Lesquantificateursdetypesdifférentsnecommutentpasen général.Parexemple,l’énoncé:9y2R,8x2R,x+y=0 n’estpaséquivalentauprécédent.Elleénoncel’existenced’un élémentquiseraitl’opposédetoutréel.Évidemment,cette propositionestfausse. •Lesquantificateursdemêmetypecommutent. Exercice SoitfunefonctiondeRdansR. Quesignifientlesdeuxpropositionssuivantes? 1)8x2R,9M2R+,f(x)6M 2)9M2R+,8x2R,f(x)6M Exercice Exprimeràl’aidedequantificateurslespropositionssuivantesdéfiniessur N⇤ (ensembledesentiersnaturelsnonnuls). 1)Toutentierestlecarréd’unentier. 2)Toutentierapourcarrélasommedescarrésdedeuxentiers. 3)Certainsentiersontpourcarrélasommedescarrésdedeuxentiers. 4)Aucunentiern’estplusgrandquetouslesautres. Exprimerlanégationdecespropositions. 16 ECE1-B2015-201 Cecidémontrequelespropositionssontvraiesenmêmetempsetfausses enmêmetemps. RevenonsàladémonstrationconsistantàdémontrerquepET(qOUr)a mêmevaleurdevéritéque(pETq)OU(pETr). (i)SupposonsquepET(qOUr)estvraie. CecisignifiequelespropositionspetqOUrsontvraiestoutesles deux. Ainsi,l’une(aumoins)despropositionsqourestvraie. Onprocèdealorspardisjonctiondecassurlavaleurdevérité(par exemple)deq. ⇥siqestvraie:alorspETqestvraie. Ainsi,laproposition(pETq)OU(pETr)estvraie. ⇥siqestfausse:alorscommeqOUrestvraie,restforcémentvraie. OnendéduitquepETrestvraie. Ainsi,laproposition(pETq)OU(pETr)estvraie. Laproposition(pETq)OU(pETr)estdoncvraie(puisquevraie indépendammentdelavaleurdeq). (ii)SupposonsquepET(qOUr)estfausse. Cecisignifiequel’une(aumoins)despropositionspouqOUrest fausse. Onprocèdealorspardisjonctiondecassurlavaleurdevérité(par exemple)dep. ⇥sipestvraie:alorsqOUrestfausse.Ainsi,qetrsontfausses. OnendéduitquepETqetpETrsontfausses. Ainsi,laproposition(pETq)OU(pETr)estfausse. ⇥sipestfausse:alorspETqestfausseetpETrestfausse. Ainsi,laproposition(pETq)OU(pETr)estfausse. Laproposition(pETq)OU(pETr)estdoncfausse(puisquefausse indépendammentdelavaleurdep).
ECE1-B2015-2016
III.2.Quantificateurexistentiel
DéfinitionQuantificateurexistentielSoitEunensemble,etpunepropositioncomportantunevariablex.
•Onnote9x2E,p(x)lapropositionquiest:
⇥vraies’ilexisteaumoinsunélémentxdel’ensembleEtelquelapropositionp(x)estvraie.
⇥faussesinon.Autrementditquiestfausses’iln’existeaucunélémentxdeEtelquelapropositionp(x)estvraie.
•Onnoteaussi9!x2E,p(x)lapropositionquiest:
⇥vraies’ilexisteununiqueélémentxdel’ensembleEtelquelapropositionp(x)estvraie.
⇥faussesinon.Autrementditquiestfausse:-soits’iln’existeaucunélémentxdeEtelquep(x)estvraie,-soits’ilexiste(aumoins)deuxélémentsdeEquisatisfontp.
Schémadedémonstration
Démontrerunénoncéexistentiellementquantifiéi.e.unénoncédutype(9x2E,p(x))consisteàexhiberunélémentadeEquivérifielapropo-sitionp.Autrementdit,unélémenttelquep(a)estvraie.
ExemplePourdémontrerlaproposition:9x2R,x2=3,ilsuffitd’exhiberunxréeltelquesoncarrévaut3.Onpeutprendreparexemplex= p3.(onauraitpuprendreaussix= p3)
15 CE1-B2015-2016
Remarque
•Notezque(i)et(ii)permettentd’affirmerque:(ii’)sibestvraiealorsaestvraie.Sionsupposebvraie,alors,siaétaitfausse,àl’aidede(ii)onpourraitconclurequebestfausse,cequicontreditl’hypothèse«bestvraie».(i’)siaestfaussealorsbestfausse.Sionsupposeafausse,alors,sibétaitvraie,àl’aidede(i)onpourraitconclurequebestvraie,cequicontreditl’hypothèse«aestfausse».
•Réciproquement,enraisonnantdemême,onpeutprouverque(ii’)permetdedémontrer(ii)et(i’)permetdedémontrer(i).
•Onenconclutquel’onpeutremplacer(i)par(i’)et(ii)par(ii’)lorsquel’onsouhaitedémontrerquedeuxpropositionsontmêmevaleurdevérité.
II.3.Négation
DéfinitionNégationSoitpunepropositionmathématique.
•OnnoteNON(p)lapropositionquiest:
⇥vraielorsquepestfausse,
⇥fausselorsquequepestvraie.
Exemplea)NON(x+2>4)estunepropositionquiest:
⇥vraiesix+2>4estfaussei.e.sipourtoutxtelquex+2<4,
⇥faussesix+2>4estvraiei.e.sipourtoutxtelquex+2>4.Enfait,NON(x+2>4)amêmevaleurdevéritéque(x+2<4).b)Demême,NON( px2=x)amêmevaleurdevéritéque( px26=x).
6
CE1-B2015-2016 II.5.b)Négationd’uneéquivalence •LapropostionNON(p,q)estéquivalenteàNON(p)qETq)p),qui estelle-mêmeéquivalenteàNON(p)q)OUNON(q)p). •Ainsi,démontrerquep,qn’estpasvérifiérevientàdémontrerque l’une(aumoins)desdeuximplicationsp)qetq)pn’estpasvérifiée.
II I. Q ua nt ific at eur s
III.1.Quantificateuruniversel DéfinitionQuantificateuruniversel SoitEunensemble,etpunepropositioncomportantunevariablex. •Onnote8x2E,p(x)lapropositionquiest: ⇥vraiesipourtoutélémentxdel’ensembleE,p(x)estvraie, ⇥faussesinon. Autrementditquiestfausses’ilexisteaumoinsunélémentxde l’ensembleEtelquelapropositionp(x)estfausse. •Lorsque(8x2E,p(x))estvraie,onditquequelquesoitxélémentE (oupourtoutélémentxdeE),p(x)estvérifiée. Schémadedémonstration Pourdémontrerunénoncéuniversellementquantifiéi.e.unénoncédu type(8x2E,p(x)),ilfautrédigercommesuit. Démode8x2E,p(x) SoitxélémentdeE. Alors...(démodépendantdep)...etdoncp(x)estvraie. Cecidémontrequep(x)estvraiepourtoutxdeE. Exercice Démontrerque:8x2R,(x+2)2=x2+4x+4. 14 ECE1-B2015-201 Propriétédelanégation 1)NON(pETq)amêmevaleurdevéritéque(NON(p)OUNON(q)). 2)NON(pOUq)amêmevaleurdevéritéque(NON(p)ETNON(q)). 3)NON(NON(p))amêmevaleurdevéritéquep. Lesénoncés1)et2)sontappeléesloisdeDeMorgan. Démonstration. 1)(i)SupposonsqueNON(pETq)estvraie. AlorspETqestfausse.Ainsi,l’une(aumoins)desdeuxproposi- tionspouqestfausse. Onprocèdealorspardisjonctiondecassurlavaleurdevérité(par exemple)dep. ⇥sipestvraie:alorsqestfausse. OnendéduitqueNON(q)estvraie. Ainsi,laproposition(NON(p)OUNON(q))estvraie. ⇥sipestfausse:alorsNON(p)estvraie. Ainsi,laproposition(NON(p)OUNON(q))estvraie. Laproposition(NON(p)OUNON(q))estdoncvraie(puisquevraie indépendammentdelavaleurdevéritédep. (ii)SupposonsqueNON(pETq)estfausse. AlorspETqestvraie.Ainsi,lesdeuxpropositionspetqsont vraies. OnendéduitqueNON(p)etNON(q)sontfaussestouteslesdeux. Ainsi,laproposition(NON(p)OUNON(q))estfausse. 2)Laisséenexerice. 3)(i)SiNON(NON(p))estvraiealorsNON(p)estfausseetdoncpestvraie. (ii)SiNON(NON(p))estfaussealorsNON(p)estvraieetdoncpestfausse.ECE1-B2015-2016
•Direquepestéquivalentàqrevientàdirequepetqontmêmevaleurdevérité.Eneffet:
⇥lepoint(i)revientàdémontrerp)q,
⇥lepoint(ii’)revientàdémontrerq)p.
ExemplesprécédentsSoientp,qetrdespropositionsmathématiques.
1)pET(qOUr),(pETq)OU(pETr)
2)pOU(qETr),(pOUq)ET(pOUr)
3)NON(pETq),NON(p)OUNON(q)
4)NON(pOUq),NON(p)ETNON(q)
5)NON(NON(p)),p
Schémadedémonstration
Démontrerquea,bconsisteàdémontrertoutd’abordquea)bi.e.queaestuneconditionsuffisantedeb(sensdirect)puisqueb)ai.e.queaestuneconditionnécessairedeb(sensréciproque).Onditalorsqu’onprocèdepardoubleimplication.
Démodea,bpardoubleimplication
())Supposonsa.Onaalors...(démodépendantdea)...etdoncb.Cequidémontrea)b.(()Supposonsb.Onaalors...(démodépendantdeb)...etdonca.Cequidémontreb)a.Etainsi,a,b.
13 CE1-B2015-2016
II.4.Implication
II.4.a)Définitionetschémadedémonstration
DéfinitionImplicationSoientpetqdeuxpropositionsmathématiques.
•Onnotep)qlapropositionquiest:
⇥vraiesiqestvraieàchaquefoisquepl’est,
⇥faussesinon.
•Lorsquelapropositionp)qestvraie,ondiraquepimpliqueq(lapropositionpentraînelapropositionq).
•L’implicationq)pestappeléeréciproquedel’implicationp)q.
•Lorsquepimpliqueq,ondiraque:
⇥pestuneconditionsuffisantedeq:eneffet,pourquelapropositionqsoitvraie,ilsuffitqueplesoit.
⇥qestuneconditionnécessairedep:eneffet,pourquepsoitvraie,ilestnécessairequeqlesoit.(siqn’estpasvraiealorspnepeutêtrevraie:sinon,commep)q,lapropositionqseraitvraie!)
Schémadedémonstration
Pourmontrera)b,onpeutopterpourladémonstrationdirecte.Ceciconsisteàmontrerquebestvraiedèsqueal’est.Onrédigeracommesuit.
Démodea)bparméthodedirecte
Supposonsa.Alors...(démodépendantdea)...etdoncb.Cequidémontrea)b.
8
CE1-B2015-2016 Exercice Onconsidèrelaproposition«s’ilpleut,monjardinestmouillé». Quelleestsanégation? a.«s’ilnepleutpas,monjardinn’estpasmouillé» b.«s’ilnepleutpas,monjardinestmouillé» c.«s’ilpleut,monjardinn’estpasmouillé» d.«simonjardinn’estpasmouillé,ilnepleutpas» e.«ilpleutetmonjardinn’estpasmouillé» f.autreréponse. II.5.L’opérateurd’équivalence II.5.a)Définitionetschémadedémonstration DéfinitionÉquivalence Soientpetqsontdeuxpropositionsmathématiques. •Onnotep,qlapropositionquiest: ⇥vraiesip)qetq)psontvraies, ⇥faussesinon. •Lorsquep,qestvraie,ondiraquepestéquivalentq. Remarque •Lorsquepestéquivalentàqona: ⇥pimpliqueqdoncpestuneconditionsuffisantedeq. (qestuneconditionnécessairedep) ⇥qimpliquepdoncpestuneconditionnécessairedeq. (qestuneconditionsuffisantedep) Ondiradoncquepestuneconditionnécessaireetsuffisantedeq (qestuneconditionnécessaireetsuffisantedep) ouencorequepestvraiesietseulementsiqestvraie. 12 ECE1-B2015-201 Applicationsurunexemple PropriétéTransitivitédel’implication Soientp,qetrdespropositionsmathématiques. ((p)q)ET(q)r)))(p)r) Ceténoncéselit:sipimpliqueqetqimpliqueralorspimpliquer. Démonstration. Sionreprendleschémadedémonstrationprécédent,lerôledeaestici jouépar(p)q)ET(q)r)etlerôledebestjouéparp)r. •Supposonsque(p)q)ET(q)r)estvraie. Démontronsalorsquep)restvraie. Onsupposequepestvraie. Comme(p)q)ET(q)r)estvraie,p)qetq)rlesontaussi. ⇥commepestvraieetp)q,lapropositionqestvraie, ⇥commeqestvraieetq)r,lapropositionrestvraie. Cequidémontrep)qettermineladémonstration. Remarque •Mettonsenavantdeuxélémentsdeladéfinition: ⇥sil’onsaitquepimpliqueqetquepestvraie,alorsonaforcément q. ⇥sil’onsaitquepimpliqueqetquepestfausse,ilfautbiencomprendre queladéfinitionn’imposerienquandàlavaleurdevéritédeq. •Pourbiencomprendrecemécanisme,étudionsl’énoncésuivant: «s’ilfaitbeaualorsj’iraiauparc» Deuxcasseprésentent: ⇥soitilfaitbeauetjemedoisd’allerauparc. ⇥soitilnefaitpasbeau.Danscecas,j’ailechoix.Soitjedécidemalgré toutd’allerauparc(avecmonparapluie),soitjedécidederesterchez moi:celaneremetpasencauselavéracitédel’énoncéprécédent. •Àretenir:pimpliqueqcorrespondàl’énoncé«sipalorsq».
ECE1-B2015-2016
II.4.c)Expressiondep)qàl’aidedesopérateursNONetOU
PropriétéSoientpetqsontdeuxpropositionsmathématiques.Lapropositionp)qamêmevaleurdevéritéquelapropositionNON(p)OUq.
Démonstration.Pourdémontrerquecesdeuxpropositionsontmêmevaleurdevérité,nousmontronslespoints(i)et(ii’).(i)Supposonsquelapropositionp)qestvraie.Procédonspardisjonctiondecassurlavaleurdevéritédep.
⇥sipestvraie:alors,commep)q,onaqueqestvraie.Ainsi,NON(p)OUqestvraie.
⇥sipestfausse:alorsNON(p)estvraie.Ainsi,NON(p)OUqestvraie.(ii’)SupposonsquelapropositionNON(p)OUqestvraie.Démontronsalorsquep)qestvraie.Supposonsquepestvraie.AlorsNON(p)estfausse.CommeNON(p)OUqestvraie,onpeutdoncconclurequeqestvraie.Onadoncdémontréquep)qestvraie.
Application:négationdep)q
PropriétéSoientpetqsontdeuxpropositionsmathématiques.
•LapropositionNON(p)q)amêmevaleurdevéritéquelapropositionpETNON(q).
Démonstration.LapropositionNON(p)q)amêmevaleurdevéritéqueNON(NON(p)OUq).Deplus,NON(NON(p)OUq)amêmevaleurdevéritéquepETNON(q).
11 CE1-B2015-2016
II.4.b)Contraposéeetschémadedémonstrationassocié
PropriétéContraposéeSoientpetqsontdeuxpropositionsmathématiques.
•Lespropositionsp)qetNON(q))NON(p)ontmêmevaleurdevérité.
•LapropositionNON(q))NON(p)estappeléecontraposéedep)q.
Soitpetqdeuxpropositions.Ilnefautsurtoutpasconfondrelespropositions:
•q)p:lapropositionréciproquedep)q.
•NON(q))NON(p):lapropositioncontraposéedep)q.
Schémadedémonstration
Démontrera)bparcontraposéeconsisteàdémontrerquelaproposition(équivalente)NON(b))NON(a)estvraie.
Démodea)bparcontraposée
SupposonsNON(b).Alors...(démodépendantdeb)...etdoncNON(a).Cequidémontrea)b.
ExercicePourxélémentdeR,montrerque:((8">0),x6"))x60.Onprocéderaparcontraposée.
ExerciceSoitn2N.Montrerparcontraposéequesin2estpairalorsnestpair.
IntérêtdeladémonstrationparcontraposéePourdémontrerp)q,ilestparfoisutiledepartird’unehypothèsesurq(supposerNON(q)enl’occurrence)pourdémontrerunbutdépendantdep(montrerNON(p)).C’estcequepermetleraisonnementparcontraposée.
10
