Examen de contrôle continu du 12 avril 2006Eléments de correction

(1)

Master 1 IT-SA

Capteurs, Actionneurs, Modélisation et Commande des Systèmes Electriques

Examen de contrôle continu du 12 avril 2006 Eléments de correction

Partie A

1. Il s'agit d'un sinus redressé; sa fréquence est le double de la fréquence du sinus, soit 100 Hz.

2. Dans un hacheur, on utilise classiquement des transistors et des diodes.

(On peut trouver des thyristors pour les systèmes de très forte puissance.)

3. Dans un hacheur 4Q, on trouve 4 transistors et 4 diodes.

4. Les machines à courant alternatif sont alimentées par des onduleurs.

5. Les temps-morts sont des retards introduits dans la mise en conduction des transistors des structure en pont des hacheurs et onduleurs. Ils permettent d'éviter le court-circuit de la source qui ne manquerait pas d'arriver si les deux interrupteurs d'un même bras se trouvaient à conduire en même temps.

6. On parle de conduction discontinue pour un redresseur lorsque le courant de sortie s'annule sur une partie de la période. Lors de ces intervalles, les diodes ne conduisent plus.

7. Dans les redresseurs, la mise en conduction spontanée d'une diode entraîne rapidement le blocage d'une autre diode. Dans la pratique, il y a chevauchement des plages de conduction et on appelle empiètement ce phénomène.

Partie B

1. La première équation est l'équation de la tension ; v est la tension aux bornes de l'induit ; i est le courant d'induit ; E est la fem ; R est la résistance de l'induit ; L est son inductance. La seconde équation est l'équation mécanique ; J est l'inertie des parties tournantes ; Ω est la vitesse de rotation du rotor ; f est le coefficient des frottements fluides.

La troisième équation donne l'expression de la fem en fonction de la vitesse, K étant le coefficient de proportionnalité. La quatrième équation donne la relation entre le couple moteur C et le courant, le coefficient de proportionnalité K étant identique à celui de la fem.

2. cf. diaporama du cours.

3. Les variables d'état sont le courant et la vitesse. On réécrit les équations sous la forme

(2)

d it d t =−R

L it−K

L t1 L vt d

d t =K

J it−f J t

ce qui s'écrit sous forme d'état x˙t=A xtB vt avec

A=

[

⁻^K^L^J^R ^−K⁻^L^J^f

]

^et^B⁼

^[

^L¹⁰

^]

En supposant que i(t) et Ω(t) sont mesurés, l'équation de sortie s'écrit yt=C xtD vt avec

C=

[

¹⁰ ⁰¹

]

^et ^D⁼

[

⁰⁰

]

^.

4. Le schéma de commande s'appuie sur la donnée d'une référence r et de la mesure y. La commande est calculée automatiquement à partir de l'erreur de régulation e = r-y. Le schéma comprend donc un soustracteur (entrées r et y, sortie e), le correcteur (généralement un PI, entrée e et sortie u) et le système d'entrée u et de sortie y.

Partie C

2. Le comportement asymptotique est le suivant : pour _i, on a une pente de -20 dB/dec et une phase de -90° ; pour _i, on a une pente de -40 dB/dec et une phase de -180°.

3. Le pôle du système à considérer est _i et le zéro du correcteur est ¹

_i . On fixe ¹

_i=_i

a soit ^i= a

_i .

4. Le comportement asymptotique du correcteur est le suivant : pour

1

_i ,on a une pente de -20 dB/dec pour le gain et une phase de -90° ; pour ^_¹

i

, on a un gain constant égal à ^K_p et une phase nulle.

5. Le comportement symptotique du système en boucle ouverte est le suivant : pour ^_¹

i

,on a une pente de -40 dB/dec pour le gain et une phase de -180° ; pour _¹

i

_i,on a une pente de -20 dB/dec pour le gain et une phase de -90° ; pour _i,on a une pente de -40 dB/dec pour le gain et une phase de -180°.

6. La phase réelle présente une symétrie pour maximum à cette pulsation. __m₌



^^ⁱⁱ⁼

^

^^aⁱ ^{et un}

(3)

7. Pour maximiser la marge de phase, il faut que la pulsation de coupure à 0 dB corresponde au maximum de la phase, c'est-à-dire que le gain soit égal à 1 pour m=_^_aⁱ . Or on a HsCs=_s_s^{K K}_^p

1 1is

_is =^{K K}_s²^p _s^s^^a¹

1

. On obtient H jmCjm=^{K K}_s²^p _s^s_^^a¹

1=^{K K}_^p^^a

1

j^a¹

j^a et ∣Hj_mCj_m∣=^{K K}_^p^^a

1 d'où K_p=_^_{a K}¹ .

8. La marge de phase se lit alors pour =_m et on a

=a r gCj_mHj_m. Or ^{a r g}H j_mCj_m=−a r g



^j^j^^a^a¹



^;

avec ^j_j^_^a_^1_a =j ^_^a−_a^j

j d'où

a r gHj_mCj_m=−a r gja r g



^a⁻^j^−^{a r g}^



^a^^j^

=−

2 −2 a r c t a n

 ^

¹^a



On obtient alors =^₂−2a r c t a n



¹^a



. La marge de phase est une fonction croissante de a.

9. La bande passe du système asservi correspond approximativement à la pulsation de coupure à 0 dB ainsi la pulsation de coupure est ici _m=_^_aⁱ .