Processus de Poisson

(1)

Processus de Poisson

TP-MAPI3 Simulations al´ eatoires 2018-2019

1 Pr´ eambule

Soient X ₁ , . . . , X _n , des variables ind´ ependantes identiquement distribu´ ees de loi exponentielle de param` etre 1.

Montrer que N = P

k≥1 1I _{S

_k

_≤λ} (λ > 0) o` u S _n = P n

j=1 X _j (n ∈ N ^∗ ), suit une loi de Poisson de param` etre λ. On en d´ eduit l’algorithme suivant pour g´ en´ erer la r´ ealisation d’une variable de loi de Poisson : G´ en´ erer x 1 . . . x n . . . des r´ ealisations de variables al´ eatoires de loi exponentielle de param` etre 1 ind´ ependantes. Calculer les sommes s k = P k

j=1 x j k = 1, 2 . . ., le dernier k tel que s k ≤ λ est une r´ ealisation de loi de Poisson de param` etre λ.

2 Introduction au processus de Poisson

Soit (N t ) un processus ponctuel de Poisson d’intensit´ e θ (θ > 0). Quelle est la loi conditionnelle de N s sachant N t

(0 < s < t), puis plus g´ en´ eralement de N s

₁

, N s

₂

−N s

₁

, . . . , N s

_n

−N s

_n−1

sachant N t (0 < s 1 < s 2 < . . . < s n < t).

3 Paradoxe de l’autobus

Soit un processus de Poisson (N _t ) de param` etre λ > 0. On appelle S _n (n > 1) l’instant du n-i` eme saut du processus et on pose S ₀ = 0. On pose ensuite :

Z t = t − S N

_t

et W t = S N

_t

+1 − t.

a) Calculer la loi du couple (Z t , W t ). Montrer que Z t et W t sont ind´ ependantes, et que W t suit une loi exponentielle de param` etre λ.

b) Donner la loi de Z t , et v´ erifier que Z t a la mˆ eme loi que min(S 1 , t). Montrer que la fonction de r´ epartition de Z t tend vers la fonction de r´ epartition de S 1 quand t → ∞.

c) Calculer E(Z t + W t ). Trouver sa limite quand t tend vers +∞. Que pensez-vous de ce r´ esultat?

d) On consid` ere les arriv´ ees successives d’un autobus ` a un arrˆ et donn´ e comme d´ efinissant un processus de Poisson de param` etre λ > 0. Un passager potentiel arrive ` a l’arrˆ et ` a l’instant t. Quelle est l’esp´ erance A de son temps d’attente?

4 Mesure de comptage

Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles ind´ ependantes de mˆ eme loi µ. Soit τ une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N , ind´ ependante de la suite (X _n ). Pour un bor´ elien de R , B, tel que 0 < µ(B) < 1 on d´ efinit la variable al´ eatoire

N (B ) = P τ

i=1 1I _B (X _i ) si τ ≥ 1 et N (B) = 0 sinon.

a) Calculer la loi de probabilit´ e de N (B) et la loi du couple (N (B), N(B ^c )).

b) Montrer que τ suit une loi de Poisson si, et seulement si, pour tout borelien B, N (B) et N (B ^c ) sont ind´ ependantes. D´ eterminer la loi de N (B) dans ce cas.

Processus de Poisson

Processus de Poisson

TP-MAPI3 Simulations al´ eatoires 2018-2019

1 Pr´ eambule

Soient X 1 , . . . , X n , des variables ind´ ependantes identiquement distribu´ ees de loi exponentielle de param` etre 1.

Montrer que N = P

k≥1 1I {S

≤λ} (λ > 0) o` u S n = P n

j=1 x j k = 1, 2 . . ., le dernier k tel que s k ≤ λ est une r´ ealisation de loi de Poisson de param` etre λ.

2 Introduction au processus de Poisson

Soit (N t ) un processus ponctuel de Poisson d’intensit´ e θ (θ > 0). Quelle est la loi conditionnelle de N s sachant N t

(0 < s < t), puis plus g´ en´ eralement de N s

, N s

−N s

, . . . , N s

−N s

sachant N t (0 < s 1 < s 2 < . . . < s n < t).

3 Paradoxe de l’autobus

Soit un processus de Poisson (N t ) de param` etre λ > 0. On appelle S n (n > 1) l’instant du n-i` eme saut du processus et on pose S 0 = 0. On pose ensuite :

Z t = t − S N

et W t = S N

+1 − t.

a) Calculer la loi du couple (Z t , W t ). Montrer que Z t et W t sont ind´ ependantes, et que W t suit une loi exponentielle de param` etre λ.

b) Donner la loi de Z t , et v´ erifier que Z t a la mˆ eme loi que min(S 1 , t). Montrer que la fonction de r´ epartition de Z t tend vers la fonction de r´ epartition de S 1 quand t → ∞.

c) Calculer E(Z t + W t ). Trouver sa limite quand t tend vers +∞. Que pensez-vous de ce r´ esultat?

d) On consid` ere les arriv´ ees successives d’un autobus ` a un arrˆ et donn´ e comme d´ efinissant un processus de Poisson de param` etre λ > 0. Un passager potentiel arrive ` a l’arrˆ et ` a l’instant t. Quelle est l’esp´ erance A de son temps d’attente?

4 Mesure de comptage

Soit (X n ) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles ind´ ependantes de mˆ eme loi µ. Soit τ une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N , ind´ ependante de la suite (X n ). Pour un bor´ elien de R , B, tel que 0 < µ(B) < 1 on d´ efinit la variable al´ eatoire

N (B ) = P τ

i=1 1I B (X i ) si τ ≥ 1 et N (B) = 0 sinon.

a) Calculer la loi de probabilit´ e de N (B) et la loi du couple (N (B), N(B c )).

b) Montrer que τ suit une loi de Poisson si, et seulement si, pour tout borelien B, N (B) et N (B c ) sont ind´ ependantes. D´ eterminer la loi de N (B) dans ce cas.

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Soient X ₁ , . . . , X _n , des variables ind´ ependantes identiquement distribu´ ees de loi exponentielle de param` etre 1.

k≥1 1I _{S

_≤λ} (λ > 0) o` u S _n = P n

Soit un processus de Poisson (N _t ) de param` etre λ > 0. On appelle S _n (n > 1) l’instant du n-i` eme saut du processus et on pose S ₀ = 0. On pose ensuite :

Soit (X _n ) une suite de variables al´ eatoires r´ eelles ind´ ependantes de mˆ eme loi µ. Soit τ une variable al´ eatoire ` a valeurs dans N , ind´ ependante de la suite (X _n ). Pour un bor´ elien de R , B, tel que 0 < µ(B) < 1 on d´ efinit la variable al´ eatoire

i=1 1I _B (X _i ) si τ ≥ 1 et N (B) = 0 sinon.

a) Calculer la loi de probabilit´ e de N (B) et la loi du couple (N (B), N(B ^c )).

b) Montrer que τ suit une loi de Poisson si, et seulement si, pour tout borelien B, N (B) et N (B ^c ) sont ind´ ependantes. D´ eterminer la loi de N (B) dans ce cas.