Commande par retour d’état Commande par retour d’état

Commande par retour d’état Commande par retour d’état

But et Historique de l’Automatique Rappel des transformées de Laplace Représentation externe et stabilité Représentation interne

Commandabilité et Observabilité Commande par retour d’état

Régulateur / Observateur et RST Synthèse

1

Qui suis je?

Qui suis je?

Damien Koenig :

49 ans

Enseignant à l’Esisar

 Recherche au Gipsa-lab UMR CNRS

 Phd : 1998

 Habilité à diriger les recherches 2007

 Site web à votre disposition

 http://koenig-damien.jimdo.com/enseignement

But de l’Automatique

 L'automatique est une discipline qui traite de la modélisation, de l'analyse et de la commande des systèmes dynamiques.

 Elle a pour fondement théorique les mathématiques.

 L'état désiré du système est nommé la consigne.

 L’automatique consiste donc à commander un système en fonction d’une (ou plusieurs) consigne donnée par l’utilisateur (ou un autre système).

 Un exemple ‘simple’ est celui du régulateur de vitesse dans une automobile, il permet de la maintenir à une vitesse constante, prédéterminée par le conducteur. Dans ce cas, la consigne est une vitesse.

3

Quelques applications

4

UAV Dassault Aviation ‘’petit duc’’

MP 89 CA ‘’METEOR’’

Automobile : ABS/ESP/ASR….

installation d’épuration de gaz de haut-fourneau

Historique

-III av J.C KTESIBIOS : Régulateur de niveau

1630 : DREBELL

Régulateur de Température 1788 : WATT

Régulateur de vitesse

1800 : LAPLACE Transformée

1877 : ROUTH

1894 : HURWITZ

1899 HEAVISIDE

1932 : NYQUIST

1934 : BLACK

1940 : BODE

1942 ZIEGLER NICHOLS Réglage optimale du PID Approche Fréquentielle

Approche Fréquentielle

Approche Temporelle Approche Temporelle

Commande par retour d’état Commande par retour d’état

Rappel des transformées de Laplace Représentation externe et stabilité Représentation interne

Commandabilité et Observabilité Commande par retour d’état

Régulateur / Observateur et RST Synthèse

6

7

Transformée de Laplace

 Définition : La transformée de Laplace d'une fonction f(t) est définie par :

 où la variable p appartient au corps des complexes

 Propriétés de base

 Elle est une application linéaire :

 Dérivation et Intégration d'une fonction f :

 Transformée de Laplace d'une fonction retardée s'écrit :

 Transformée du produit de convolution :

 f(t) F(p) e f(t)dt L  _0^{ pt}

f(t) g(t) F(p) G(p)

L   

 







 



 pF(p) f 0 dt

L df





p ) p ( d F f

L _0^   

f t  e F p L   ^^p

   





L _0^    

Évolutions aux limites

 Relations fondamentales :

 Suivi de quelques transformées générales

  ^{t lim pF}   ^p

f

lim

t



  t lim pF   p f

lim

t



0

Rappel des transformées de Laplace

9

Echelon (t)

Impulsion )

(



 t

Transformée de Laplace d'une équation différentielle

 En appliquant les propriétés précédentes, on obtient facilement la fonction de transfert d’un système.

 Exemple avec l'équation générale :

 où les CI sont considérées nulles pour la recherche de la fonction de transfert

 On peut alors connaissant Y(p) et la fonction de transfert F(p)=Y(p)/U(p), calculer U(p) et par transformation inverse déterminer u(t).

 La fonction de transfert ainsi obtenue est le rapport de la transformée de Laplace de la variable de sortie à celle de la variable d'entrée, sous l'hypothèse que toutes les CI sont nulles.

m m n m

n n n

n

dt ) t ( u b d dt

) t ( b du ) t ( u b ) t ( y dt a

) t ( y a d

dt ) t ( y

d  _ ^ _1  ₀  ₀  ₁ 

1 1

  U(p)

a p

a p

p b p

b p b

Y _n

n n

m m 1 0 1 1 0











  _

 



Commande par retour d’état Commande par retour d’état

Représentation externe et stabilité Représentation interne

Commandabilité et Observabilité Commande par retour d’état

Régulateur / Observateur et RST Synthèse

11

Représentation Externe

 La fonction de transfert d’un système LTI est de la forme :

Fonction de transfert externe :

• H(t) : réponse impulsionnelle

• H(p) réponse fréquentielle Fonction de transfert externe :

• H(t) : réponse impulsionnelle

• H(p) réponse fréquentielle

u(t) H(t) y(t)

y(t)=H(t)u(t)

U(p) H(p) Y(p)

Y(P)=H(p)U(p)

Laplace

Impulsion

Réponse impulsionnelle Réponse impulsionnelle

Représentation Externe

 La fonction de transfert d’un système LTI est de la forme :

 Vocabulaire :

 G(p) est la fonction de transfert du Système

 L’ordre du système est n

 Les racines de B(p) sont les Zéros du Système

 Les racines de A(p) sont les Pôles du Système

 Si m< n le système est Strictement Propre

 Si m=n le système est Propre

 Si m>n le système est Impropre

13 n

n m m

p a p

a a

p b p

b b

p A

p p B

p G U

p Y

. ....

.

. ....

. )

( ) ) (

) ( (

) (

1 0

1 0











 





Fonction de transfert

externe Fonction

de transfert

externe Système

u y

Représentation Externe

 Le système :

 Est d’ordre 1

 Est strictement propre si b

=0

 Est propre si b

≠0

 Le pôle du système est p=-a ⁰ /a ¹

 Le zéro du système est z=-b ⁰ /b ¹

14

p a a

p b b p

A p p B

p G U

p Y

. )

( ) ) (

) ( (

) (

1 0

1 0



 





Etude d’un système du premier ordre stable

Etudions la réponse à un échelon d’un système du premier ordre de la forme:

Etude d’un système du premier ordre stable

Etudions la réponse à un échelon d’un système du premier ordre de la forme:





1 ) 1

( 



 _i

i

p pour p

p p G

On observer que :

-Tous les pôles du système sont négatifs.

-Le système est stable (dans le sens entrée bornée / sortie bornée).

-Le système est d’autant plus rapide que le pole est grand en valeur absolue.

On observer que :

-Tous les pôles du système sont négatifs.

-Le système est stable (dans le sens entrée bornée / sortie bornée).

-Le système est d’autant plus rapide que le pole est grand en valeur absolue.

Stable 0

Rapide Lent

Reel

Réponse à un échelon

 Système du second ordre :

 Cas 1 pour c=1  Pôles -0.5 ± 0.866i

 Cas 2 pour c=0.4375  Pôles -0.5 ± 0.433i

17

 ^{p c p c} 

p

G ( ) 

 

Domaine de stabilité

 Un système est stable si et seulement si les pôles de la fonction de transfert sont à partie réelle strictement négative :

18

+ Dynamique +Oscillant

Instable

 ^{/ ( ) 0 ( ) 0} 

stable est

) (

) ) (

(    p A p    p 

p A

p p B

G

Influence des zéros

 Un système qui a un zéro à partie réelle positive est un système à non minimum de phase

19

Influence d’un zéros dans le demi plan droit

Matlab : Création du système

 Fonction : tf

20

 ^{1 1} 

)

(



 

s s s

G

Rappel : Régulateur de type proportionnel intégrale dérivée Rappel : Régulateur de type proportionnel intégrale dérivée

Régulateur système -

+ ε u y

y*

) ( )

( )

(

*

) ) ( )

( ( )

) ( )

( ( )

) ( )

( (

* )

(

dt t dt d

t K

t K

t y t

dt y K d

dt t

y t

y K

t y t

y K

t u

i p

d i

p





  



















Pour augmenter la dynamique et compenser les inerties dues au temps mort on ajoute une action dérivée au régulateur.

Pour augmenter la dynamique et compenser les inerties dues au temps mort on ajoute une action dérivée au régulateur.

Régulateur 1/(p+1) -

+ ε u y

y*

Retard de 1s

Action Avantage Désavantage

P Dynamique Ne permet pas d’annuler une erreur statique I Annulation d’erreur

statique Action lente

D Action très dynamique Sensibilité aux bruits

Résumé : du régaleur PID

Avantage des régulateur PID : -Structure simple

-Pas besoin de modélisation pour la synthèse du régulateur Désavantage des régulateur PID

-Réglage empirique

-Pas de garantie sur les performances et la stabilité Avantage des régulateur PID :

-Structure simple

-Pas besoin de modélisation pour la synthèse du régulateur Désavantage des régulateur PID

-Réglage empirique

-Pas de garantie sur les performances et la stabilité

24/166

Rappel: Boucle d’asservissement

 r(t) : consigne ou signal de référence

 y(t): signal de sortie ou réponse

 e(t): erreur de suivi (tracking error)

 u(t): commande

 b(t): perturbation de la commande

 w₀(t): perturbation de la sortie

 n(t): bruit de mesure

K G

+ -

r e u

b w_o

y

n Boucle de suivi (tracking)

25/166

Rappel: Boucle d’asservissement

 Montrer que :

avec

K G

+ -

r e u

b=w_i w_o

y

n Boucle de suivi (tracking)

 

       

           

 







 







 





s b

s r s G s S s K s S s K

s G s S s

S s

u s e

) ( ) ( 1 ) 1

(s K s G s S  

Notion de stabilité des asservissements

 Stabilité BIBO (moins forte que la stabilité interne): elle exige uniquement que l’énergie des signaux en sortie soit bornée dès que l’énergie fournie en entrée est bornée, i.e.,

 Stabilité interne: elle exige que tous les signaux circulant dans la boucle soient d’énergie finie, i.e.,

 Cette notion de stabilité interne est plus restrictive mais plus importante en pratique puisque les composants à l’intérieur de la boucle sont également sensibles aux énergies infinies.

           

0 n w w

s K s G I s K s G s ) T

s ( r

) s ( y

o i















       

0 r n

o w Ss I G s K s

) s ( w

) s ( y

i













     



   



T   ^

   

s ( n

) s ( u )

s ( r

) s ( u

0 r w w 0

n w

w_{i 0 i 0}



















       

0 r n i w

s G s K I s ) G

s ( w

) s ( y

o













27/166

Exemple stabilité externe et interne

 Stabilité externe : On considère le système G et le correcteur K :

 On obtient

 Lequel est BIBO stable, puisqu’il n’y a pas de changement de signe au dénominateur (critère de Routh)

 Stabilité interne

 Instable, d’après le transfert

 On constate qu’il y a eu simplification du pole instable s=0, par un zéro de K

 

K  

 

G  

   

0 n w

w 1 s 1

s 1 ) T

s ( r

) s ( y

o

i    







       

  



1 0

r n

i w s1 s 1

1 s s

G s K I s ) G

s ( w

) s ( y

o  

 



 ^







     

) 1 s ( s s 1 K s

G  



 

Obtention des objectifs de synthèse Obtention des objectifs de synthèse

 On peut déduire le comportement asymptotique des fonctions de transfert composant M(s) en faisant des hypothèses sur le gain de la BO :

– Si le gain de la BO est grand soit

» K agit sur les transferts de r vers  et de b vers 

» cette approximation intervient notamment en basse fréquence, par exemple si K(s) présente un pôle en 0, le gain de la BO tend vers l’infini en basse fréquence et les transferts S(s) et S(s)G(s) ont un zéros en 0, ce qui signifie l’absence d’erreur statique pour les signaux r et b constants.

» u est directement influencé en basse fréquence (module = 1) par b afin de le compenser (u=b)

 On peut déduire le comportement asymptotique des fonctions de transfert composant M(s) en faisant des hypothèses sur le gain de la BO :

– Si le gain de la BO est grand soit

» K agit sur les transferts de r vers  et de b vers 

» cette approximation intervient notamment en basse fréquence, par exemple si K(s) présente un pôle en 0, le gain de la BO tend vers l’infini en basse fréquence et les transferts S(s) et S(s)G(s) ont un zéros en 0, ce qui signifie l’absence d’erreur statique pour les signaux r et b constants.

» u est directement influencé en basse fréquence (module = 1) par b afin de le compenser (u=b)



 





KSG KS

SG M S

   jw K jw 1 G

        

  ^_





 _ ^{ }

1 1

1 1

jw G

jw K jw K jw jw G

M



 







 







 





b r KSG KS

SG S

u e

Performance Performance

Robustesse Robustesse

   jw K jw 1 G

Obtention des objectifs de synthèse Obtention des objectifs de synthèse

 Si le gain de la BO est faible en HF

 alors les transferts asymptotiques sont réduits à :

» K(s) agit sur les transferts de r vers u et de b vers u, tandis qu’il est sans effet sur les transferts de r vers et de b vers

» cette approximation intervient notamment en HF car le gain du système non corrigé à naturellement tendance à décroître avec la fréquence et l’on cherche en général à synthétiser un correcteur qui atténue les hautes fréquences, pour

 éviter d’exciter inutilement la commande en dehors de la BP de l’asservissement

 ne pas solliciter les dynamiques négligées ou mal modélisées en dehors de la BP

 Si le gain de la BO est faible en HF

 alors les transferts asymptotiques sont réduits à :

» K(s) agit sur les transferts de r vers u et de b vers u, tandis qu’il est sans effet sur les transferts de r vers et de b vers

» cette approximation intervient notamment en HF car le gain du système non corrigé à naturellement tendance à décroître avec la fréquence et l’on cherche en général à synthétiser un correcteur qui atténue les hautes fréquences, pour

 éviter d’exciter inutilement la commande en dehors de la BP de l’asservissement

 ne pas solliciter les dynamiques négligées ou mal modélisées en dehors de la BP



 





KSG KS

SG M S

   jw K jw 1 G



 







 







 





b r KSG KS

SG S

u e

Performance Performance

Robustesse Robustesse

   

     





jw K jw G jw K

jw jw G

M 1

   ^{jwK jw 1}

G

Rappels : Marges, BP …

 La marge de module (distance minimale entre un point du lieu de Nyquist et le point critique -1) est l’inverse du maximum de S(jw)

 La pulsation au gain unité w0 de la BO :

 donne une image de la BP de l’asservissement

 elle conditionne fortement le temps de réponse trw⁰t^m

 où t^m est le temps de passage au premier maximum de la réponse indicielle

 La BP détermine la classe de signaux l’asservissement est capable de suivre ou de contrer.

 Plus elle est étendue, plus l’asservissement est capable de réagir à des variations rapides.

 Elle mesure la zone de fonctionnement de l’asservissement.

jw₀ K jw₀^1

G

31/166

Rappel du calcul des marges avec Nyquist Rappel du calcul des marges avec Nyquist

 Marge de gain en dB

» où w₁₈₀ est la pulsation à laquelle le tracé de Nyquist coupe le demi-axe de phase 180°.

» elle mesure de combien le gain peut varier à cet endroit avant de toucher le point critique (-1)

 Marge de phase

» Elle mesure de combien la phase peut varier avant de rencontrer le point critique (-1)

 Marge de module

» Elle mesure la distance minimale du tracé de Nyquist au point critique

 Marge de gain en dB

» où w₁₈₀ est la pulsation à laquelle le tracé de Nyquist coupe le demi-axe de phase 180°.

» elle mesure de combien le gain peut varier à cet endroit avant de toucher le point critique (-1)

 Marge de phase

» Elle mesure de combien la phase peut varier avant de rencontrer le point critique (-1)

 Marge de module

» Elle mesure la distance minimale du tracé de Nyquist au point critique

 

  ¹⁸⁰

1

180 180









jw L où

jw GM L

Re(G(jw)K(jw

-1 )

Im(G(jw)K(jw))

PM

L(jw₁₈₀)

w_c

L(jw) Marge de Gain

w₁₈₀

1

S 

 ₁₈₀

log10

20 L jw

GM_db 

 180  1



 L jw_c où L jw_c PM

1

S 

Compensation de pôles et/ou zéros instables

 Hypothèse : Pour assurer une stabilité interne en présence de pôles et/ou zéros instables on suppose qu’il n’y a pas de compensation de pôles et zéros entre K(s) et G(s) (robustesse aux incertitudes de modèle).

 Exemple:

 Le correcteur K₁(s) compense le pôle instable p=1, on obtient dès lors pour K₁(s) et K₂(s) respectivement les fonctions de sensibilité complémentaire

 Si l’on considère maintenant une petite variationdu pôle du procédé alors :

 T₁(s) est alors instable pour une perturbationtrès faible, alors que T₂(s) reste stable pour>-1

    ^{, K}  ^{s 2}

1 s

1 s s

K 1, s s 1

P _{1 2} 



 

 

   

1 s

2 1 s 1 2

1 s

2 s

T 2,

s 1 1 s 1 1

1 s

1 s

T_{1 2}

 

 

 

 

 

    ,

1 s s 1

P^   

     ^s  ^{1s 2,}

1 s 1

s 1 s 1 s

1 s 1

s 1 s 1 s 1 1

1 s

1 s 1 s

1 s

T_{1 2}













 













 









 









   





 





 





 

1 s

2 1

s 1 2

1 s

2 s

T₂

Commande par retour d’état Commande par retour d’état

Représentation interne

Commandabilité et Observabilité Commande par retour d’état

Régulateur / Observateur et RST Synthèse

33

Représentation Interne

 Modèle d’état de la forme

 Où x est l’état, u est la commande et y les mesures

34

x

vecteur d’état de dimension n u : vecteur des entrées

de dimension n^u

y : vecteur de sortie de dimension m Du

Cx y

Bu Ax

x











Représentation Interne

 L'évolution d'un processus à partir d'un instant t ₀ ne dépend pas uniquement de l'influence immédiate de son environnement mais aussi de données internes que l'on regroupe en général dans un vecteur état x

 Question 1 :

 la connaissance des trajectoires d'observation y et de commande u permet elle de reconstituer la trajectoire de l'état x? "Observabilité".

 Question 2 :

 que peut-on faire faire au système en temps fini?

"commandabilité".

35

Représentation interne

36

 Oscillateur harmonique

 Le système est formé d’une masse M soumise à un ressort de raideur k.

 Principe fondamental de la dynamique :

 Représentation d’état par variable de phase : M

k

x

2 2

, dt

x x d

où kx x

M 



 







 





 



 





x x M

k x

x









0 /

1 Représentation interne 0

Représentation interne

37

 Pendule

 Le système est formé d ’une masse M suspendue à un fil rigide de longueur l fixé en 0, soumise à l ’action du champ de gravité g.

 Représentation d’état linéaire par variable de phase autour de l’équilibre :

 





 

 







 







 





 













/ 2

1 0 0

/

1 0

l Ml

g 



 Représentation interne 

du système linéaire DL à l’ordre 1 : sin  autour de l’équilibre Représentation interne du système linéaire DL à l’ordre 1 : sin  autour de l’équilibre

Mg



M l



2 2

2

/ sin

/ l Ml

dt g

d  _  _ 

Représentation interne

38

 Mobile

 u(t) est le signal de commande

M u y

y M f M

k y

y 

 







 







 







 



 





/ 1

0 /

/

1 0









M y(t)

k

f

    ^{( )}

)

( t f y t ky t u t y

M      

Représentation interne : Représentation interne :

Représentation interne

39

Avec :

s est la sortie du système et correspond à la tension au borne de la self L₁, i₁ et i₂ sont les intensités des selfs L₁ et L₂,

e₁ et e₂ sont deux générateurs de tension,

et v est la tension aux bornes du condensateur C.

Avec :

s est la sortie du système et correspond à la tension au borne de la self L₁, i₁ et i₂ sont les intensités des selfs L₁ et L₂,

e₁ et e₂ sont deux générateurs de tension,

et v est la tension aux bornes du condensateur C.

e₁ e₂

R L₁ L₂

C

i₁ i₂

s

v

Représentation interne

40

La représentation d'état permet de mettre en évidence des informations internes au processus, qui n'apparaissent pas nécessairement sur la description par fonction (ou matrice) de transfert.

Modélisation :

Cette formulation différentielle fait apparaître explicitement la dynamique du procédé, à savoir : les deux courants i₁ et i₂ et la tension v.

Ces variables (i₁, i₂ et v) sont associées aux éléments pouvant stocker de l'énergie (respectivement L₁, L₂ et C) et auxquelles on pourra donc attribuer des conditions initiales.

       

     

       

   































dt t L di

t s

t i t C i

dt t dv

t dt v

t L di

t e

t dt v

t L di

t Ri t

e

1 1

2 1

2 2 2

1 1 1

1

1

Variables d’états

 Par définition les variables d’état (internes) du système électrique correspondent aux variables pouvant stocker de l’énergie ici i ₁ , i ₂ et v

 Elles forment le vecteur d’état :

 Avec pour CI :

41

 





































) t ( v

) t ( i

) t ( i

) t ( x

) t ( x

) t ( x t

x ₂

1

3 2 1

 



















) ( v

) ( i

) ( i x

0 0 0

0 ₂

1

Mise sous la forme matricielle

 Déduire les matrices A, B, C et D sachant que:

42

       

     

       

         

       

     

       

       





















































































t u t x t Rx t

y

t x t C x

dt t dx

t L u

t L x

dt t dx

t L u

t L x

t L x

R dt

t dx

t e t v t dt Ri

t L di

t s

t i t C i dt

t dv

t L e

t L v

dt t di

t L e

t L v t

L i R dt

t di

1 3

1

2 3 1

2 2 2 3

2

1 1 1 3

1 1 1

1 1 1

1

2 1

2 2 2

2

1 1 1 1

1 1

1

1 1

1 1

1

1 1

1 1

Autre exemple électrique

 La représentation d’état peut être orientée de façon à faire apparaître explicitement des variables (d'état) choisies par l'utilisateur.

 Exemple :

 1

cas avec y

(t) et y

(t)

 2

cas avec y

(t) et i

(t).

43

u y₁ y₂

i₁+i₂ i₂

i₁

R₁ R₂

C₁ C₂

Autre exemple électrique

 1

cas on le vecteur d’état x composé des états y

(t) et y

(t) :

 Montrer que :

44

 

 



 

1 2

y x y

 

C u x R

C R C

R C

R

C R C

x R

0 1

1 0 1

1 1

1 1

1 1 1

2 1

1 1

2

2 2 2

2





 



 



























Autre exemple électrique

 2

cas, on considère le vecteur d’état :

 Montrer que :

 avec

 On peut noter que cette seconde représentation est semblable à la première, à ceci près que le nouvel état est une combinaison linéaire de l'état x.

45

 

 



 

2 2

i x  y























 

1 2 2

2 1

1 1

2 1

2 1

1 1

1 0 1

C R C

R C

R C

R R A C

 

 



 

1 2

1

0 C R

B  R

 

x C y

u B x A x



 

 







Changement de base

 Matrice de passage :

 où

 Montrer que :

 Aide :

46

Px x  



 





 

2 2 1 1

0 1

R P R

1

 CP C 

PB B 

1

 PAP A





2

2

1

y R y

dt ) t (

di    

Passage de la représentation d’état à la représentation externe.

 Représentation d’état

 Laplace

47

     

     

 











t u D t

x C t

y

t u B t

x A t

x 

     

     













p Du p

x C p

y

p Bu p

x A p

x p

 ^p





y   ^1 

dx(t)/dt

u(t) x(t) y(t)

B

D

A

C

I/p

Schéma bloc

La mémoire du système

Passage de la représentation externe à la représentation d’état.

 Représentation externe

 Laplace inverse

48

     

   

 

p X p X

p Y a

p a

p

p b p

b b

p U

p Y

1 0 1 n

n n

m m 1

0 











  _

 



   

p X





  _

 

   

p

Y   

   

dt a

) t ( x a d

dt ) t ( x

d n 1 0

1 n 1 n n

n  _ ^ _  

 

m m m 1

0 dt

t x b d

dt ) t ( b dx )

t ( x b ) t (

y   

Obtention de la représentation d’état

 On pose les variables de phase :

 On obtient la représentation d’état:

49

 

 

u x

a x

a x

a x

x x

x x

x x

x x x

dt

) t ( x d

dt ) t ( dx

t x t

x

n 1 n 2

1 1

0 n

4 3

3 2

2 1

n 2 1

1 n 1 n



























































 















 

     

  

  

y

t u

1 0 0

t x

a a

a

1 0

0 0

0 1

0

0 0

1 0

t x

m 2

1 0

1 n 1

0























































































Les modes de A sont les pôles de la fonction de transfert.

50

Réponse des systèmes linéaires invariants

 Cas scalaire

 Problème : déterminer l'évolution de x(t) et y(t) sous l'influence de u(t) et x(0).

 Système libre ou autonome (x(0) 0 et u(t)=0)

 Système forcé (x(0) 0 et u(t)0)













 x0

) 0 ( x

cx y

bu ax x

 0 , y(t) cx(t) x

e ) t (

x  ^at 

 

) t ( cx ) t ( y

d ) ( bu e

0 x e ) t (

x ^t

0

) t ( a at





 



 _ ^

51

Réponse des systèmes linéaires invariants

 Cas matricielle

 Problème : déterminer l'exponentielle de matrice

 3 approches, pour les détails voir polycopié de cours.

 Calcul des valeurs et vecteur propres

 Calcul des valeurs propres et des αⁱ

 Calcul du Laplace inverse









 Cx y

Bu Ax x

  ¹

1

At L pI A

e  ^  ^

Commande par retour d’état Commande par retour d’état

Commandabilité et Observabilité Commande par retour d’état

Régulateur / Observateur et RST Synthèse

52

Propriétés de commandabilité et d’observabilité

53

Commandabilité

Peut-on amener en un temps fini le système à commander d’un état arbitraire x(t₀) à un état désiré x(t_f) avec une loi de commande admissible?

 Concept de Commandabilité des systèmes

Commandabilité

Peut-on amener en un temps fini le système à commander d’un état arbitraire x(t₀) à un état désiré x(t_f) avec une loi de commande admissible?

 Concept de Commandabilité des systèmes x(t₀)

x(t_f)

Pourquoi étudier les propriétés de commandabilité ?

 Réponse : s’assurer avant de calculer la commande que le système est bien contrôlable.

54

Commandabilité au sens de Kalman

 Critère de Kalman

 Un système linéaire stationnaire est commandable vis à vis des états si et seulement si la matrice de commandabilité est de plein rang :

55

]

[

) ,

(

B AB A B

C

 

) dim(

]

[ B AB A

B n x

rang 

 

Etats commandables au sens de Kalman

 Critère de Kalman :

 La paire (A,B) est complètement commandable (CC) s'il est possible en agissant sur u d'amener en un temps fini (t ¹ -t ⁰ ) n'importe quel état x(t ⁰ ) vers n'importe quel autre état x(t ¹ )

56

Etats commandables au sens de Kalman

 Critère de Kalman :

 La paire (A,B) est complètement commandable (CC) s'il est possible en agissant sur u d'amener en un temps fini (t ¹ -t ⁰ ) n'importe quel état x(t ⁰ ) vers n'importe quel autre état x(t ¹ )

57

Application du critère de Kalman

 Exercice

58

Etats commandables au sens de Popov

 Critère de Popov:

59

{p1, p2, ….}

Application du critère de Popov

 Exercice

60

Observabilité

 Définition

61