FONCTIONS DE LA VARIABLE RÉELLE
I Généralité sur les fonctions de la variable réelle et à valeurs réelles . . . . 3
I.1 Fonction de la variable réelle et à valeurs réelles . . . . 3
I.2 Représentation graphique . . . . 4
I.3 Opérations sur les fonctions à valeurs réelles. . . . 11
I.4 Parité et imparité . . . . 14
I.5 Périodicité. . . . 16
I.6 Monotonie. . . . 17
I.7 Fonctions majorées, fonctions minorées et fonctions bornées. . . . 21
II Limites et continuité (Rappels de Terminale) . . . . 24
II.1 Définitions temporaires de limites . . . . 24
II.2 Limites et relation d’ordre . . . . 27
II.3 Opérations sur les limites . . . . 28
II.4 Continuité. . . . 29
III Bijectivité – réciproque d’une bijection. . . . 31
IV Dérivabilité . . . . 36
IV.1 Nombre dérivé et fonction dérivée . . . . 36
IV.2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . 39
IV.3 Dérivée et variations d’une fonction . . . . 41
IV.4 Tableaux de variations et applications. . . . 42
IV.5 Dérivée d’une réciproque . . . . 44
IV.6 Fonctions de classeC1 . . . . 45
IV.7 Dérivées d’ordre supérieur . . . . 46
CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES a) Généralités sur les fonctions
Ensemble de définition.
Représentation graphique d’une fonctionf à valeurs réelles. Les étudiants doivent savoir déduire de la représentation graphique def celles de fonctions obtenues par des transformations simples, commex7→f(x+a) oux7→f(ax).
Parité, imparité, périodicité. Interprétation géométrique de ces propriétés. Utilisation pour la réduction du domaine d’étude.
Somme, produit, composée.
Monotonie (large et stricte).
Fonctions majorées, minorées, bornées. Traduction géométrique de ces propriétés.
La fonctionf est bornée si et seulement si|f|est majorée.
b) Dérivation
Dérivée d’une fonction. Notationsf0(x), d
dx
¡f(x)¢ . Dérivée d’une combinaison linéaire, d’un produit, d’un quotient,
d’une composée.
Ces résultats sont rappelés, avec la définition de la dérivée et l’équa- tion de la tangente ; ils ne sont pas démontrés à ce stade.
Exemples simples de calculs de dérivées partielles.
Caractérisation des fonctions constantes, (dé)croissantes, stricte- ment (dé)croissantes, parmi les fonctions dérivables sur un inter- valle.
Résultats admis à ce stade.
Tableau de variations. Étude pratique d’une fonction. Tracé du graphe.
Application : recherche d’extremums, démonstration d’inégalités.
Représentation graphique et dérivée d’une fonction réciproque. La formule donnant la dérivée est admise, mais on en donne l’inter- prétation géométrique.
Fonction de classeC1. Dérivées d’ordre supérieur.
I. Généralité sur les fonctions de la variable réelle et à valeurs réelles
I.1. Fonction de la variable réelle et à valeurs réelles
Définition 2.1 – Fonction, Ensemble de définition, Image, Antécédent SoitAune partie non vide deR.
ÏOn définit unefonction f (d’une variable réelle et à valeurs réelles)en associant à chaque réelxdeA, un uniqueréel noté f(x).
On dit alors queAest l’ensemble(ou ledomaine)de définitionde f et on écrit : f : A → R
x 7→ f(x).
ÏSoientxetydes réels tels quey=f(x). On dit que :
• yestl’image de x par f;
• xestunantécédent de y par f ; Histoire des mathématiques
Dès l’antiquité la notion de fonction apparaît mais il s’agissait de table de calculs.
Il faudra attendre le XVII-ième siècle pour obtenir les premières définitions de fonction.
La première définition de fonction est donnée par René DESCARTES(mathématicien français, 1596 – 1650), cependant cette notion se limite aux opérations algébriques (addition, soustraction, multiplication, division).
Il faudra attendre James GREGORY(mathématicien écossais, 1638 – 1675) en 1667 dansVera circuli et hyperbolae quadraturapour obtenir la meilleur définition de fonction de son siècle.
Le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm LIEBNIZ(1646 – 1716) introduit le terme « fonction ».
Ï f: R → R x 7→ 2x+3
etg: R? → R x 7→ 1x
sont des fonctions.
Ï On définit la fonction valeur absolue par| ·|: R → R x 7→ |x|. Ï On définit la fonction partie entière parb ·c: R → R
x 7→ bxc. Exemple 2.1
En Physique, la variablexest parfois notéetet représente le temps.
Remarque 2.1
Ï Lorsqu’un énoncé commence par « soit f :x7→. . . » ou « soit f la fonction définie par f(x)=. . . », on détermine l’ensemble de définition de f en cherchant l’ensemble desxtels que f(x) a un sens.
Ï On ne confondra pasf, qui désigne la fonction, et f(x), qui désigne l’image dexpar f. Attention
Méthode 2.1 – Ensemble de définition d’une fonction
Pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonctionf, on cherche l’ensemble des réelsxtels que f(x) a un sens. Pour cela, on est en général amener à résoudre des équations et/ou des inéquations.
Exercice 2.1
Déterminer les ensembles de définition des fonctionsf :x7→ 1
2x+4 etg:x7→p
−x2−3x+4.
Résolution
ÏL’expression 1
2x+4à un sens pour toutx∈Rtel que 2x+4,0.
De plus, 2x+4=0 si, et seulement six= −2.
Donc,f(x) existe pour tout réelxdifférent de−2.
Ainsi,
Df=©
x∈R¯¯x,−2ª
=R\ {−2}.
Remarque: Dire quex,2 est équivalent à dire quex∈]− ∞,−2[ oux∈]−2,+∞[. On dit queDfest la réunion des ensembles ]− ∞,−2[
et ]−2,+∞[, et on noteDf=]− ∞,−2[∪]−2,+∞[ (lire ]− ∞,−2[ union ]−2,+∞[).
ÏOn sait que la racine carrée d’un réel existe si, et seulement si, ce réel est positif.
D’où,p
−x2−3x+4 existe si, et seulement si,−x2−3x+4Ê0.
De plus, on remarque que l’équation−x2−3x+4=0 possède deux solutions 1 et−4.
Donc,−x2−3x+4= −(x+4)×(x−1)Ê0 si, et seulement si,x∈[−4, 1].
Ainsi,
Dg=[−4, 1].
Définition 2.2 – Égalité de fonctions
On dit que deux fonctionsf etgsont égales lorsque les deux conditions suivantes sont remplies : 1. f etgont le même ensemble de définition A;
2. ∀x∈A, f(x)=g(x).
I.2. Représentation graphique
On munit le plan d’un repère orthonormée (O;~ı,~).
Définition 2.3 – Courbe représentative SoientAun partie non vide deRet f :A→Rune fonction.
On appellecourbe représentative(ougraphe, oureprésentation graphique) de f l’ensembleΓf des points de coordonnées¡
x,f(x)¢
, oùx∈A. On note :
Γf =n
¡x,f(x)¢ ¯
¯x∈Ao . On dit queΓf est lacourbe d’équation y=f(x).
1. Considérons la fonctionf : [−2, 3] → R
x 7→ x3−2x2−x+4
. Le graphe de la fonction f est : Exemple 2.2 – Graphe d’une fonction
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
Γf
2. La fonctionpartie entièreest la fonctionb · c: R → R x 7→ bxc
. Le graphe de la fonction partie entière est :
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−3
−2
−1 1 2 3 4
Ï Soient f:Df →Retλ∈R.
Pour résoudre l’équation f(x)=λ, on étudie l’intersection deΓf avec la droite d’équationy=λ. Exemple: Considérons la fonction f : [−2, 3] → R
x 7→ x3−2x2−x+4
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
y=2
Γf
Résolution graphique de f(x)=2 Remarque 2.3 – Résolution graphique d’équations et d’inéquations
L’ensemble des solutions de l’équation f(x)=2 est©
−1, 1, 2ª . Ï Soient f:Df →R, g:Dg→Retλ∈R.
Pour résoudre l’équation f(x)=g(x), on étudie l’intersection deΓf etΓg. Exemple: Considérons les fonctions f: [−2, 3] → R
x 7→ x3−2x2−x+4
etg: [−2, 3] → R
x 7→ x×(x−1).
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10 Γg
Γf
Résolution graphique de f(x)=g(x)
L’ensemble des solutions de l’équation f(x)=g(x) est©
−1, 2ª . Ï Soient f:Df →Retλ∈R.
Pour résoudre l’inéquation f(x)Êλ, on projette sur l’axe des abscisses les points (x,y) deΓf tels que yÊx.
Exemple: Considérons la fonction f : [−2, 3] → R
x 7→ x3−2x2−x+4.
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
y=2
Γf
h i h i
Résolution graphique de f(x)Ê2
L’ensemble des solutions de l’inéquation f(x)Ê2 est [−1, 1]∪[2, 3].
Exercice 2.2
Soientf etgdes fonctions définies sur A, une partie non vide deR. Interpréter graphiquement l’assertion :
∀x∈A,f(x)Ég(x).
Résolution
Le graphe def se situe sous le graphe deg.
Théorème 2.1 – Transformations de fonctions
Pour tracer le graphe d’une fonction, on peut aussi s’aider du tableau suivant.
Soitf :A→Ret (a,b)∈R2. Le plan est muni d’un repère orthonormée¡ O;~ı,~¢
. Fonction Ensemble de
définition Interprétation graphique Conséquences
g:x7→a−f(x) A
Le graphe degse déduit du graphe def par la symétrie par
rapport à la droite d’équation y=a
2 g:x7→f(a−x) {a−x|x∈A}
Le graphe degse déduit du graphe def par la symétrie par
rapport à la droite d’équation x=a
2
Si pour toutx∈A, f(x)=f(a−x) alors le graphe de f est symétrique par rapport à l’axe
x=a 2
g:x7→b−f(a−x) {a−x|x∈A}
Le graphe degse déduit du graphe de f par symétrie centrale
de centre³
a 2,b2´
Si pour toutx∈A, f(x)=b−f(a−x) alors le graphe
de f est invariant par symétrie centrale de centre³
a 2,b2´ g:x7→f(x)+a A
Le graphe degse déduit du graphe def par une translation
du vecteura.~j g:x7→f(x+a) {x−a|x∈A}
Le graphe degse déduit du graphe def par une translation
du vecteur−a.~i
Si pour toutx∈A, f(x)=f(x+a) alors le graphe de f est invariant
par translation de vecteur−a.~i g:x7→a×f(x) A
Le graphe degse déduit de celui de f une dilatation verticale de
rapporta
Sia= −1 le graphe degest le symétrique du graphe de f par
rapport à l’axe des abscisses.
g:x7→f(a×x) où a,0
nx a
¯
¯
¯x∈Ao
Le graphe degse déduit de celui de f une dilatation horizontale de
rapport 1 a
Sia= −1 le graphe degest le symétrique du graphe de f par
rapport à l’axe des ordonnées.
Démonstration
Ï Considéronsg:x7→a−f(x). Commef est définie surA,gest aussi définie surA.
Soit (x,y) un point du plan.
Le point (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si,y=g(x) ; ce qui est équivalent ày=a−f(x). D’où, (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si, (x,a−y) appartient àΓf.
Or, les points (x,y) et (x,a−y) sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite d’équationy=a 2. Donc, le graphe degse déduit du graphe def par la symétrie par rapport à la droite d’équationy=a
2.
Ï Considéronsg:x7→f(a−x). Un réelx0appartient à l’ensemble de définition degsi, et seulement si,a−x0∈A. Ce qui est équivalent à : il existex∈Atel quex0=a−x. Donc, l’ensemble de définition degest {a−x|x∈A}.
Soit (x,y) un point du plan.
Le point (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si,y=g(x) ; ce qui est équivalent ày=f(a−x). D’où, (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si, (a−x,y) appartient àΓf.
Or, les points (x,y) et (a−x,y) sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la droite d’équationx=a 2. Donc, le graphe degse déduit du graphe def par la symétrie par rapport à la droite d’équationx=a
2. Ï Considéronsg:x7→b−f(a−x). Comme dans le point précédent, l’ensemble de définition degest {a−x|x∈A}.
Soit (x,y) un point du plan.
Le point (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si,y=g(x) ; ce qui est équivalent ày=b−f(a−x). D’où, (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si, (a−x,b−y) appartient àΓf.
Or, le point (x,y) se déduit du point (a−x,b−y) par la symétrie centrale de centre µa
2,b 2
¶ . Donc, le graphe degse déduit du graphe def par la symétrie centrale de centre
µa 2,b
2
¶ . Ï Considéronsg:x7→f(x)+a. Commef est définie surA,gest aussi définie surA.
Soit (x,y) un point du plan.
Le point (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si,y=g(x) ; ce qui est équivalent ày=f(x)+a. D’où, (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si, (x,y−a) appartient àΓf.
Or, le point (x,y) se déduit du point (x,y−a) par translation du vecteura.~. Donc, le graphe degse déduit du graphe def par translation du vecteura.~.
Ï Considéronsg:x7→f(x+a). Un réelx0appartient à l’ensemble de définition degsi, et seulement si,x=x0+aoùx∈A. Donc, l’ensemble de définition degest {x−a|x∈A}.
Soit (x,y) un point du plan.
Le point (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si,y=g(x) ; ce qui est équivalent ày=f(x+a). D’où, (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si, (x+a,y) appartient àΓf.
Or, le point (x,y) se déduit du point (a+x,y) par translation du vecteur−a.~ı.
Donc, le graphe degse déduit du graphe def par translation du vecteur−a.~ı.
Ï (démonstration dans le casa,0) Considéronsg:x7→a×f(x). Commef est définie surA,gest aussi définie surA.
Soit (x,y) un point du plan.
Le point (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si,y=g(x) ; ce qui est équivalent ày=a×f(x). D’où, (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si,³
x,y a
´
appartient àΓf. Or, le point (x,y) se déduit du point
³ x,y
a
´
par dilatation verticale de rapporta.
Donc, le graphe degse déduit du graphe def par dilatation verticale de rapporta.
Ï Considérons g:x7→f(a×x). Un réelx0 appartient à l’ensemble de définition degsi, et seulement si, x0= x
a oùx∈A. Donc, l’ensemble de définition degest
nx a|x∈A
o . Soit (x,y) un point du plan.
Le point (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si,y=g(x) ; ce qui est équivalent ày=f(a×x). D’où, (x,y) appartient àΓgsi, et seulement si, (a×x,y) appartient àΓf.
Or, le point (x,y) se déduit du point (a×x,y) par dilatation horizontale de rapport 1 a. Donc, le graphe degse déduit du graphe def par dilatation horizontale de rapport 1
a.
−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−3
−2
−1 1 2 3 4
y=f(x)
y=a−f(x) y=a
2 Graphe de f etx7→1−f(x) (icia=1)
Exemple 2.3
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−2
−1 1 2 3 4
y=f(x) y=f(a−x)
x=a 2
Graphe de f etx7→f(1−x) (icia=1)
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
−2
−1 1 2 3 4
y=f(x)
y=b−f(a−x) µa
2,b 2
¶
Graphe de f etx7→2−f(1−x) (icia=1 etb=2)
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2
−1 1 2 3 4
y=f(x)+a
y=f(x) a.~
Graphe de f etx7→f(x)+1 (icia=1)
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2
−1 1 2 3
y=f(x+a) y=f(x)
−a.~ı
Graphe de f etx7→f(x+1) (icia=1)
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2
−1 1 2 3
y=a×f(x) y=f(x) Graphe de f etx7→1
2×f(x) (icia=1 2)
−1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2
−1 1 2
3 y=f(a×x) y=f(x) Graphe de f etx7→f(2x) (icia=2)
Exercice 2.3
On rappelle que la graphe de la fonction sin est :
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
−0.5 0.5 1
Graphe de sin
À l’aide des transformations de fonctions, déterminer le graphe deg:x7→3 sin(x+2)−1.
I.3. Opérations sur les fonctions à valeurs réelles
Notation 2.1 – Ensemble des fonctions SoitAune partie non vide deR.
On noteF(A,R) l’ensemble des fonctions de AdansR.
Définition 2.4 – Opérations sur les fonctions
SoitAune partie non vide deR. On considère f etgdeux fonctions définies sur Aetλ∈R. ÏLasomme de f et gest la fonctionf+gdéfinie surApar :
(f+g)(x)=f(x)+g(x).
ÏLeproduit de f et gest la fonctionf×gdéfinie surApar : (f×g)(x)=f(x)×g(x).
ÏLorsque la fonctiongne s’annule pas surA, lequotient de f par gest la fonction f
g définie surApar : µf
g
¶
(x)= f(x) g(x).
ÏLamultiplication de f par le scalaireλest la fonctionλ.f définie surApar : (λ.f)(x)=λ×f(x).
Exemple: Considérons les fonctions f: [−2, 3] → R
x 7→ x3−2x2−x+4
etg: [−2, 3] → R
x 7→ x×(x−1).
Remarque 2.4 – Graphe de f+g
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−10
−8
−6
−4
−2 2 4 6 8 10
Graphe de f+g
y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x)
Définition 2.5 – Composée de fonctions SoientAetBdeux parties non vide deR. Soient f ∈F(A,R) et g∈F(B,R).
On suppose que, pour toutx∈A, f(x)∈B.
La(fonction) composée de f par gest la fonction notéeg◦f (lire grond f) et définie surApar : (g◦f)(x)=g¡
f(x)¢ .
Considérons les fonctions f : R → R x 7→ x2
et g: R → R x 7→ x+1.
Ici A=B=R et la condition encadrée dans la définition est clairement vérifiée. On a :∀x∈R, (g◦f)(x)=g¡
f(x)¢
=g(x2)=x2+1.
Notons que, pour toutx∈R, on a : (f◦g)(x)=f¡ g(x)¢
=f(x+1)=(x+1)2,(g◦f)(x).
Exemple 2.4
On lit grond f mais c’est f qui agit en premier. Il ne faut pas confondre f◦getg◦f. Ces deux fonctions sont en généraldifférentes.
Attention
Soit f ∈F(A,R). On note f(A)=©
f(x)|x∈A}l’ensemble des valeurs prises par la fonction f.
L’hypothèse « pour tout x∈A, f(x)∈B» signifie alors que tous les éléments de l’ensemble f(A) appartiennent à l’ensembleB. On écrit : f(A)⊂Bet on dit que «f(A) est inclus dansB».
Remarque 2.6
Méthode 2.2 – Ensemble de définition d’une composée
Pour déterminer l’ensemble de définition deg◦f, on cherche l’ensemble des réelsxtel que : x∈Df et f(x)∈Dg.
Il y a donc deux conditions à vérifier et il faut connaître les ensembles de définition def etg.
On généralise la définition et la méthode à une composée de plus de deux fonctions. Par exemple, pour déterminer l’ensemble de définition deh◦g◦f, on cherche l’ensemble des réelsxtels que :
x∈Df, f(x)∈Dg et g¡ f(x)¢
∈Dh. Remarque 2.7
Notation 2.2
SoientAune partie non vide deRetf ∈F(A,R).
ÏOn désigne par|f|la fonction définie surApar :|f|(x)= |f(x)|. ÏOn désigne par f+etf−les fonctions définies sur Apar : f+=1
2.(|f| +f) etf−=1
2.(|f| −f).
La fonction f+(resp. f−) est la partie positive (resp. négative) de f.
La fonction|f|est la composée|·| ◦f. Remarque 2.8
Pour tout x∈A, on a :
f(x)=f+(x)−f−(x) et |f|(x)=f+(x)+f−(x), et on a :
f+(x)=max¡ f(x), 0¢
et f−(x)=max¡
−f(x), 0¢ .
En particulier, les valeurs prises par les fonctions |f|, f+ et f− sont positives. On dit qu’elles sont « à valeurs positives ».
Remarque 2.9
On considère la fonction f : [−1, 3] → R x 7→ x2−2x.
Exemple 2.5
−1−0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2
−1 1 2 3 4
Graphe def
−1−0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2
−1 1 2 3 4
Graphe de|f|
−1−0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2
−1 1 2 3 4
Graphe def+
−1−0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
−2
−1 1 2 3 4
Graphe def−
I.4. Parité et imparité
Définition 2.6 – Ensemble symétrique par rapport à 0 SoitAune partie non vide deR.
On dit queAestsymétrique par rapport à 0lorsque, pour toutx∈A,−x∈A.
La partie Ahachurée est symétrique par rapport à 0.
0
i i i h h h
x∈A
−x∈A
La partieBhachurée n’est pas symétrique par rapport à 0.
0
i h
−x∉B x∈B
Remarque 2.10 – Interprétation graphique
Ï Lesintervalles[−a,a], oùa∈R, etRsont symétriques par rapport à 0.
Ï R?et ]− ∞,−1[∪]1,+∞[ sont symétriques par rapport à 0.
Ï [−1, 2] n’est pas symétrique par rapport à 0.
Exemple 2.6
Définition 2.7 – Fonction paire, fonction impaire SoientAune partie non vide deRetf ∈F(A,R).
ÏOn dit que f estpairelorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. Aest symétrique par rapport à 0.
2. Pour tout x∈A, f(−x)=f(x).
ÏOn dit que f estimpairelorsque : 1. Aest symétrique par rapport à 0.
2. Pour tout x∈A, f(−x)= −f(x).
La fonction f: R → R x 7→ x2
est paire et la fonction g: R → R x 7→ x3.
est impaire.
Exemple 2.7
−3−2.5−2−1.5−1−0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 12
34 56 78 109 Graphe de f
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1 12 34 56 78
Graphe de g
Ï Si f :A→Rest impaire et 0∈A, comme 0= −0, on a : f(0)=f(−0)= −f(0). Donc, f(0)=0.
Une fonction impaire définie en 0 est nulle en 0.
Ï Si f :A→R est paire et impaire, alors pour toutx∈A, f(x)=f(−x)= −f(x). D’où, pour toutx∈A, f(x)=0.
Autrement dit, f est la fonction nulle.
La seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle.
Ï Étudier la parité d’une fonction signifie : déterminer si une fonction est paire ou impaire.
Remarque 2.11
Proposition 2.1 – Parité et opérations algébriques
1. La somme et le produit de fonctions paires sont des fonctions paires.
2. La somme de fonctions impaires est une fonction impaire.
3. Le produit de deux fonctions impaires est une fonction paire.
Démonstration
Soientf etgdeux fonctions définies surA, partie deRsymétrique par rapport à 0.
On noteh1=f+geth2=f×g. Le fonctionsh1eth2sont définies surA, partie deRsymétrique par rapport à 0.
1. On supposef etgpaires.
Pour toutx∈A, on ah1(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=h1(x) eth2(−x)=f(−x)×g(−x)=f(x)×g(x)=h2(x). Donc,h1eth2 sont paires.
2. On supposef etgimpaires. Pour toutx∈A, on ah1(−x)=f(−x)+g(−x)= −f(x)−g(x)= −h1(x). Donc,h1est impaire.
3. On suppose f etgimpaires. Pour toutx∈A, on ah2(−x)=f(−x)×g(−x)=(−f(x))×(−g(x))=f(x)×g(x)=h2(x). Donch2est paire.
Proposition 2.2 – Parité et composition
SoientAetBdeux parties deRsymétriques par rapport à 0.
On considèref :A→Retg:B→Rtelles que, pour toutx∈A, f(x)∈B.
1. Si f est paire, alorsg◦f est paire.
2. Si f est impaire et gest paire, alors g◦f est paire.
3. Si f est impaire et gest impaire, alors g◦f est impaire.
Démonstration
Dans les trois cas,g◦f est définie sur une partie deRsymétrique par rapport à 0.
1. On a, pour toutx∈A,g◦f(−x)=g¡ f(−x)¢
. Commef est paire,g◦f(−x)=g¡ f(x)¢
=g◦f(x). Donc,g◦f est paire.
2. On a, pour toutx∈A,g◦f(−x)=g¡ f(−x)¢
. Commef est impaire,g◦f(−x)=g¡
−f(x)¢
. Commegest paire,g◦f(−x)=g◦f(x).
Donc,g◦f est paire.
3. On a, pour toutx∈A,g◦f(−x)=g¡ f(−x)¢
. Commef est impaire,g◦f(−x)=g¡
−f(x)¢
. Commegest impaire,g◦f(−x)= −g◦f(x).
Donc,g◦f est impaire.
Théorème 2.2 – Parité et représentations graphiques
ÏUne fonction est paire si, et seulement si, son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (droite d’équationx=0).
ÏUne fonction est impaire si, et seulement si, son graphe est symétrique par rapport à l’origineOdu repère.
Démonstration
Voir le théorème2.1aveca=b=0.
Méthode 2.3 – Utilisation de la parité pour étudier une fonction
Soitf une fonction paire ou impaire définie surAun ensemble symétrique par rapport à 0.
Pour étudier f, il suffit de l’étudier surA∩[0,+∞[, puis
Ï si f est paire, on déduit les propriétés de f sur A∩]− ∞, 0] par symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Ï si f est impaire, on déduit les propriétés de f surA∩]− ∞, 0] par symétrique par rapport à l’origine du repère.
I.5. Périodicité
Définition 2.8 – Fonction périodique SoientAune partie non vide deRetf ∈F(A,R).
ÏSoit T∈R. On dit que f est T-périodique (ou que T est une période de f) lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1. Pour tout x∈A,x+T∈Aetx−T∈A; 2. Pour tout x∈A, f(x+T)=f(x).
ÏOn dit que f estpériodiquelorsqu’il existeT>0 tel que f estT-périodique. On dit queTestunepériodede f.
Ï On a : pour toutx∈A, f(x−T)=f(x−T+T)=f(x)=f(x+T).
Ï En pratique, on essaie de déterminer la plus petite valeur deT>0 telle quef estT-périodique.
Ï Par exemple, la fonction cos est 2π-périodique, mais aussi 4π-périodique et−2π-périodique. La fonction tan est π-périodique, mais aussi 4π-périodique et−2π-périodique.
Remarque 2.12
Proposition 2.3 – Périodicité et opérations algébriques
SoientT∈RetAune partie non vide deR. On suppose que, pour toutx∈A,x+T∈Aetx−T∈A.
L’ensemble des fonctionsT-périodiques définies surAest :
• stable par combinaison linéaire : pour tout (λ,µ)∈R2et pour toutes fonctionsf etg T-périodiques,λ.f+µ.g
estT-périodique.
• stable par produit : pour toutes fonctions f etg T-périodiques, f×gestT-périodique.
Démonstration
Soient (λ,µ)∈R2etf etg T-périodiques.
On noteh1=f+geth2=f×g. Le fonctionsh1eth2sont définies surA.
On a : pour toutx∈A,
h1(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)=h1(x) et h2(x+T)=f(x+T)×g(x+T)=f(x)×g(x)=h2(x)
L’ensemble des fonctions paires et l’ensemble des fonctions impaires sont stables par combinaison linéaire.
Remarque 2.13
Proposition 2.4 – Périodicité et représentations graphiques SoitT∈R.
Une fonction estT-périodique si, et seulement si, son graphe est invariant par translation de vecteurT.~ı.
Démonstration
Voir le théorème2.1aveca= −T.
Méthode 2.4 – Utilisation de la périodicité pour étudier une fonction Soitf une fonctionT-périodique définie sur A.
Pour étudier f, il suffit de l’étudier surA∩[0,T] ou A∩
·
−T 2,T
2
¸ . On déduit les propriétés def sur Apar translation d’axeT.~ı.
Si f est paire (ou impaire) et périodique, on peut étudierf surA∩
· 0,T
2
¸ . Puis, par parité, on déduit les propriétés de f sur A∩
·
−T 2,T
2
¸ . Enfin, par périodicité, on déduit les propriétés de f surA.
Remarque 2.14 – Cas d’une fonction paire (ou impaire) et périodique
I.6. Monotonie
Définition 2.9 – Fonction croissante, décroissante, monotone SoientAune partie non vide deRetf :A→Rune fonction.
ÏOn dit que f estcroissante sur Alorsque, pour tout (x,y)∈A2, xÉy =⇒ f(x)Éf(y).
ÏOn dit que f eststrictement croissante sur Alorsque, pour tout (x,y)∈A2, x<y =⇒ f(x)<f(y).
ÏOn dit que f estdécroissante sur Alorsque, pour tout (x,y)∈A2, xÉy =⇒ f(x)Êf(y).
ÏOn dit que f eststrictement décroissante sur Alorsque, pour tout (x,y)∈A2, x<y =⇒ f(x)>f(y).
ÏOn dit que f estmonotone sur Alorsque f est croissante sur Aou décroissante sur A.
ÏOn dit que f eststrictement monotone sur A lorsque f est strictement croissante sur A ou strictement décroissante surA.
Ï Soit f:x7→x2. Soit (x,y)∈(R+)2tel quex<y, on a :
f(x)−f(y)=x2−y2=(x−y)×(x+y).
Or, y>xÊ0, donc x+y>0. De plus,x−y<0, donc f(x)−f(y)<0.
Ainsi, f est strictement croissante surR+. Ï Soit f:x7→1
x. Soit (x,y)∈(R?+)2tel quex<y. Alors, 1 x>1
y, donc f(x)>f(y).
Donc, f est strictement décroissante surR?+.
De même, on montre que f est strictement décroissante surR?−.
Attention !La fonction f n’est pas strictement décroissante surR?. En effet, on a−1<1 et f(−1)<f(1).
Exemple 2.8
Proposition 2.5
SoitAune partie non vide deRetf :A→Rune fonction.
ÏSi f est strictement croissante sur A, alors, pour tout (x,y)∈A2, x<y ⇐⇒ f(x)<f(y).
ÏSi f est strictement décroissante sur A, alors, pour tout (x,y)∈A2, x<y ⇐⇒ f(x)>f(y).
Démonstration
On donne la démonstration dans le cas oùf est strictement croissante.
Soit (x,y)∈A2.
(⇐) On suppose quef(x)<f(y).
Montrons par l’absurde quex<y. On suppose quexÊy.
Par croissance def,f(x)Êf(y). Absurde. Donc,x<y.
Donc, sif(x)<f(y), alorsx<y.
(⇒) L’implication réciproque est la définition de fonction strictement croissante.
Ï Il existe des fonctions ni croissantes, ni décroissantes. La négation de «f est croissante » n’est pas «f est décroissante ».
Ï Erreur classique : montrer que, pour toutx∈A, f(x)Éf(x+1) ne suffit pas à conclure que f est croissante.
Attention
Proposition 2.6 – Monotonie et opérations algébriques SoitAune partie non vide deR.
1. Si f est croissante sur A, alors :
• pour tout réelλÊ0,λ.f est croissante sur A.
• pour tout réelλÉ0,λ.f est décroissante surA.
2. Si f est décroissante surA, alors :
• pour tout réelλÊ0,λ.f est décroissante surA.
• pour tout réelλÉ0,λ.f est croissante sur A.
3. Si f etgsont croissantes surA, alors f+gest croissante sur A.
4. Si f etgsont décroissantes surA, alors f+gest décroissante sur A.
Démonstration
1. On supposef est croissante surA.
• SoitλÊ0. Soit (x,y) tel quexÉy. On a :f(x)Éf(y). CommeλÊ0, on a :λ.f(x)Éλ.f(y).
• SoitλÉ0. Soit (x,y) tel quexÉy. On a :f(x)Éf(y). CommeλÉ0, on a :λ.f(x)Êλ.f(y).
2. On supposef est décroissante surA.
• SoitλÊ0. Soit (x,y) tel quexÉy. On a :f(x)Êf(y). CommeλÊ0, on a :λ.f(x)Êλ.f(y).
• SoitλÉ0. Soit (x,y) tel quexÉy. On a :f(x)Êf(y). CommeλÉ0, on a :λ.f(x)Éλ.f(y).
3. On supposef etgsont croissantes surA.
On noteh1=f+g. Soit (x,y)∈A2tel quexÉy. On af(x)Éf(y) etg(x)Ég(y). Donc, en sommant les inégalités,h1(x)Éh1(y).
4. On supposef etgsont décroissantes surA.
On noteh1=f+g. Soit (x,y)∈A2tel quexÉy. On af(x)Êf(y) etg(x)Êg(y). Donc, en sommant les inégalités,h1(x)Êh1(y).
Proposition 2.7 – Stricte monotonie et opérations algébriques SoitAune partie non vide deR.
1. Si f est strictement croissante surA, alors :
• pour tout réelλ>0,λ.f est strictement croissante surA.
• pour tout réelλ<0,λ.f est strictement décroissante surA.
2. Si f est strictement décroissante surA, alors :
• pour tout réelλ>0,λ.f est strictement décroissante surA.
• pour tout réelλ<0,λ.f est strictement croissante surA.
3. La somme d’une fonction croissante et d’une fonction strictement croissante est strictement croissante.
4. La somme d’une fonction décroissante et d’une fonction strictement décroissante est strictement décrois- sante.
Démonstration
Même principe que la démonstration de la proposition précédente, en notant bien queλestnon nul.
Les fonctions x7→x2etx7→xsont strictement croissantes surR+et la fonctionx7→x+2 est croissante surR+. Donc, la fonctionx7→x2+x+2 est strictement croissante surR+.
Exemple 2.9
Proposition 2.8 – Monotonie et composition SoientAetBdeux parties non vides deR.
On considèref :A→Retg:B→Rdeux fonctions monotones et telles que, pour toutx∈A, f(x)∈B.
ÏSi f etgont le même sens de variation, alors g◦f est croissante.
ÏSi f etgont des sens de variation contraire, alorsg◦f est décroissante.
Démonstration
1. On supposef etgcroissantes. Soit (x,y)∈A2tel quexÉy.
Commef est croissante, on af(x)Éf(y).
Commegest croissante, on a :g◦f(x)Ég◦f(y).
Doncg◦f est croissante.
2. On supposef etgdécroissantes. Soit (x,y)∈A2tel quexÉy.
Commef est décroissante, on af(x)Êf(y).
Commegest décroissante, on a :g◦f(x)Ég◦f(y).
Doncg◦f est croissante.
3. On supposef croissante etgdécroissante. Soit (x,y)∈A2tel quexÉy.
Commef est croissante, on af(x)Éf(y).
Commegest décroissante, on a :g◦f(x)Êg◦f(y).
Doncg◦f est décroissante.
4. On supposef décroissante etgcroissante. Soit (x,y)∈A2tel quexÉy.
Commef est décroissante, on af(x)Êf(y).
Commegest croissante, on a :g◦f(x)Êg◦f(y).
Doncg◦f est décroissante.
Soit Aune partie deRetf :A→Rune fonction monotone.
Soit (x,y)∈A2 tel quex,y.
On pose
tx,y= f(y)−f(x) y−x . Le réeltx,yest la pente de la corde entre les points de coordonnées¡
x,f(x)¢ et¡
y,f(y)¢
du graphe de f (on remarque que tx,y=ty,x). On a alors les caractérisations suivantes :
1. La fonction f est croissante surAsi, et seulement si, pour tout (x,y)∈A2tel quexÉy,tx,yÊ0.
Autrement dit, pour tous couples de points du graphe de f la droite reliant ces deux points a un coefficient directeur positif ou nul.
2. La fonction f est strictement croissante surAsi, et seulement si, pour tout (x,y)∈A2tel quex<y, tx,y>0.
Autrement dit, pour tous couples de points du graphe de f la droite reliant ces deux points a un coefficient directeur strictement positif.
3. La fonction f est décroissante surAsi, et seulement si, pour tout (x,y)∈A2tel quexÉy,tx,yÉ0.
Autrement dit, pour tous couples de points du graphe de f la droite reliant ces deux points a un coefficient directeur négatif ou nul.
4. La fonction f est strictement décroissante sur Asi, et seulement si, pour tout (x,y)∈A2tel quex<y,tx,y<0.
Autrement dit, pour tous couples de points du graphe de f la droite reliant ces deux points a un coefficient directeur strictement négatif.
Remarque 2.16 – Monotonie et représentation graphique
x y f(x)
f(y)
Fonction strictement croissante
y=f(x) corde de pentetx,y
Exercice 2.4
La somme de deux fonctions monotones est-elle monotone ? Résolution
On notef etgles fonctions définies par : pour toutx∈R,f(x)=x3etg(x)= −x.
On sait que la fonctionf est croissante et que la fonctiongest décroissante.
On noteh=f+g.
On ah(0)<h(2). Donc,hn’est pas décroissante. De plus,h(0)>h µ1
2
¶
. Donc,hn’est pas croissante.
Ainsi,hn’est pas monotone.
On retiendra que :
la somme de deux fonctions monotones n’est pas nécessairement monotones.
Méthode 2.5 – Étudier la monotonie d’une fonction ÏPour montrer qu’une fonction est monotone, on peut :
• utiliser la définition2.9;
• utiliser les propositions2.7et2.8.
ÏPour montrer qu’une fonction n’est pas croissante, on exhibe deux réelsxÉytels que f(x)>f(y).
ÏPour montrer qu’une fonction n’est pas décroissante, on exhibe deux réelsxÉytels que f(x)<f(y).
I.7. Fonctions majorées, fonctions minorées et fonctions bornées
Définition 2.10 – Fonction majorée, fonction minorée, fonction bornée SoientAune partie non vide deRetf :A→R. On dit que :
Ï f estmajoréelorsque :
∃M∈R,∀x∈A,f(x)ÉM. On dit queM estunmajorantde f.
Ï f estminoréelorsque :
∃m∈R,∀x∈A,mÉf(x).
On dit quemestunminorantde f.
Ï f estbornéelorsque f est majorée et minorée. Autrement dit :
∃(m,M)∈R2,∀x∈A,mÉf(x)ÉM.
On considère la fonction f : R → R
x 7→ 1
1+x2. Ï Pour toutx∈R, 1+x2>0, d’où 1
1+x2 Ê0.
Donc, f est minorée par 0.
Ï Pour toutx∈R, 1+x2Ê1>0, d’où 1 1+x2 É1.
Donc, f est majorée par 1.
Ï Ainsi, f est bornée.
Exemple 2.10
Théorème 2.3
Une fonctionf est bornée si, et seulement si, la fonction|f|est majorée.
Démonstration
Ï(⇒) On suppose quef est bornée.
Par définition, il existe (m,M)∈R2tel que, pour toutx∈A, on amÉf(x)ÉM.
On poseC=max(|M|,|m|)∈R+. On a :MÉ |M| ÉCetmÊ −|m| Ê −C.
D’où, pour toutx∈A,−CÉ −|m| ÉmÉf(x)ÉMÉ |M| ÉC. D’où,|f(x)| ÉC.
Ï(⇐) On suppose que :∃C∈R+,∀x∈A,|f(x)| ÉC.
On a alors, pour toutx∈A, f(x)ÉC. Donc,f est majorée.
On a de plus, pour toutx∈A,−CÉf(x). Donc,f est minorée.
Ainsif est bornée.
Soient Aune partie non vide deRetf :A→Rune fonction.
Ï La fonction f est majorée si, et seulement si, l’ensemble f(A)=©
f(x)|x∈A}est majoré.
Ï La fonction f est minorée si, et seulement si, l’ensemble f(A)=©
f(x)|x∈A}est minoré.
Ï La fonction f est bornée si, et seulement si, l’ensemble f(A)=©
f(x)|x∈A}est borné.
L’ensemble f(A) est appeléensemble imagede f.
Remarque 2.17 – Lien avec les notions de partie majorée, minorée et bornée
Ï Une fonction f est majorée si, et seulement si, son graphe est en dessous d’une droite horizontale.
Ï Une fonction f est minorée si, et seulement si, son graphe est au dessus d’une droite horizontale.
Ï Une fonction f est bornée si, et seulement si, son graphe est entre deux droites horizontales.
Remarque 2.18 – Représentation graphique
