I Dimensionnement d’un module

(1)

Les sacs seront laissés devant le tableau. Conservez seulement de quoi écrire et une calculatrice : pas de téléphone !

Si vous ne comprenez pas une notation, une question, ou si vous pensez avoir découvert une erreur d’énoncé, signalez-le immédiatement.

Problème 1 : Supercondensateur

On étudie quelques applications industrielles de condensateurs de grande capacité. On noteC0la capacité d’un de ces condensateurs.

Données :

• capacité d’un supercondensateurC0=3200 F,

• tension maximale aux bornes d’un supercondensateurU_max=2,85 V

• résistance d’un « module »rm=10 mΩ.

I Dimensionnement d’un module

I.1. On considère un condensateur de capacitéC0 initialement déchargé aux bornes duquel on branche à l’instantt= 0un générateur de tension de force électromotriceE = 2 V et de résistance interne rE=1 Ω.

(a) Établir l’expression de la tension uC(t)aux bornes du condensateur.

(b) En déduire la durée nécessaire pour avoiruc>

1,75 V.

(c) Déterminer également l’expression de l’inten-

sitéi(t)traversant le condensateur.

R

E C

u

C

i

I.2. Rappeler l’expression de l’énergie électrostatique stockée dans un condensateur. En déduire la capacité Cnécessaire pour stocker une énergie deEn=100 MJ quand la tension aux bornes du condensateur estUn=500 V.

I.3. (a) Déterminer la capacité de l’association série de deux condensateurs de capacitésC1etC2. (b) Déterminer la capacité de l’association parallèle de deux condensateurs de capacitésC1etC2. (c) En déduire comment brancher des supercondensateurs de capacitéC0pour que leur association

stocke l’énergieEnquand la tension à ses bornes estUnsans que la tension aux bornes de chacun des supercondensateurs ne dépasseUmax. On nomme « module » cette association et on noteCm

sa capacité.

II Charge d’un module

II.1. On charge un « module » par un générateur de tension de force électromotriceE=500 V dont la résis- tance interne estrE=1 Ω.

(a) Déterminer l’ordre de grandeur de la durée de charge.

(b) Déterminer l’expression de la puissance fournie par le générateur lors de la charge et en déduire la puissance maximale qu’il doit pouvoir fournir.

(c) Déterminer l’expression de la puissance dissipée par effet Joule et en déduire l’instant où elle est égale à la moitié de la puissance fournie par le générateur.

II.2. Déterminer l’expression, en fonction de la capacitéCm, de la résistancerEet de la tensionEde l’énergie fournie par le générateur, notéeE_Eet calculer le quotientE_n/E_E. Commenter.

II.3. On charge d’abord le « module » par un générateur de tensionE/2puis quand la tensionu_C 'E/2 on remplace ce générateur par un générateur de tensionE.

(a) Tracer l’allure de la tensionuCaux bornes du module au cours de ces deux étapes.

(b) Déterminer l’énergie totale fournie par les deux générateurs, notéeE_E⁰, et commenter. Quel défaut présente cette technique ?

III Alimentation d’un moteur

On modélise le module comme un condensateur de capacitéCmen série avec un résistor de ré- sistancerm. Le module est initialement chargé sous une tension deE=500 V. On le branche à l’instantt= 0sur un moteur électrique.

r_m C_m

u_c i

P

r_p

u_p u_p

i

−U_p

U_p

III.1. Dans un certain régime d’utilisation, la caractéristique du moteur notéP peut être modélisée par la caractéristique en convention récepteur du moteur sur la figure ci-dessus : elle est caractérisée par la tensionUp<500 V. On considère qu’il possède de plus une résistance internerp=1 Ω.

(a) Déterminer l’expression de la tensionuc(t)et tracer l’allure de la courbe représentative deuc(t).

(b) Déterminer l’expression de la puissance reçue par le moteur, tracer son allure.

(c) Pour quelle valeur deUp(en fonction deE) la puissance initiale est-elle maximale ? Calculer la valeur de ce maximum et commenter.

III.2. On peut également faire fonctionner le moteur de manière à ce que l’intensité du courant qui le traverse soit constante, en faisant varierUpen fonction du temps. On noteIp>0l’intensité constante traversant alors le moteur.

(2)

(a) Déterminer dans ces conditions l’expression deuc(t)ainsi que celle deUp(t)correspondante. Tra- cer l’allure de leurs courbes représentatives ainsi que l’expression de la durée de fonctionnement.

(b) Déterminer l’expression de la puissance reçue par le moteur en fonction du temps et tracer sa courbe représentative.

III.3. Décrire brièvement, en s’appuyant sur des allures de courbes, le fonctionnement si le moteur consomme désormais une puissance constante. On ne cherchera pas à résoudre l’équation différentielle.

IV Dépannage

On considère le cas où ce moteur alimente un véhicule. La tension de charge initiale est toujoursE=500 V.

On met en service un véhicule de recharge mobile, équipé d’une cellule de deux « modules » branchés en parallèle, de capacité notéeCd.

Le véhicule de recharge mobile rejoint un véhicule équipé d’un

« module »Cm, en panne car sa tension a chuté jusqu’à 80 V. Le véhicule de recharge mobile branche son module sur celui d’un autre véhicule par l’intermédiaire d’un résistor de résistance 1 Ω.

C

_m

C

_d

1Ω

IV.1. Déterminer les tensions aux bornes de chacun des modules à l’issue de la recharge.

IV.2. Déterminer l’énergie dissipée par effet Joule lors de la recharge ainsi que la constante de temps de celle-ci.

Problème 2 : Générateur de Marx

On s’intéresse à des montages utilisés pour tester la réponse de composants ou d’installations électriques à des circonstances extrêmes.

I Générateur de choc

On considère le montage de la figure 1 dans lequel les deux condensateurs sont identiques, de même capa- citéC.

C1

u_C₁

R1 i₂

C2 u_C₂ R2

Fig. 1 : Générateur de choc. Les deux condensateurs ont même capacitéC.

I.1. (a) Établir l’équation différentielle vérifiée par la tensionuC₂. On pourra pour y parvenir mettre en œuvre la technique utilisant les impédances complexes.

(b) Mettre l’équation différentielle sous forme canonique et identifier :

• une pulsation propreω0,

• un facteur de qualitéQ,

qu’on exprimera en fonction deR1, R2etC.

(c) Vérifier que pourR1R2, le facteur de qualité se met sous la forme :

Q=α R1

R2

β

. (1)

Avecαetβdes constantes positives. On considère cette condition réalisée dans toute la suite, sauf mention explicite du contraire.

I.2. Initialement la tension aux bornes du condensateurC1estuc₁=U0, et le condensateurC2est déchar- gé. On utilisera autant que possible la simplificationR1 R2, en utilisant le développement limité pourxpetit :

(1 +x)^γ'1 +αx, (2)

avecγune constante.

(a) Déterminer l’expression deuC₂en fonction du temps. On la mettra sous la forme : uC₂(t) =U∞+V e^−ω²^t−e^−ω¹^t

, (3)

avecU∞, V, ω1etω2des constantes positives. On utilisera le développement limité 2 pour expri- merω1en fonction deR1etCetω2en fonction deR2etC.

(b) Comparer les valeurs deω1etω2et en déduire l’allure deUC₂(t).

(c) On cherche à simuler l’effet de la foudre. Proposer des valeurs deR1, R2permettant d’avoir une tensionUc₂qui :

• augmente initialement rapidement en un temps de l’ordre de 1 µs,

• puis diminue lentement en un temps de l’ordre de 50 µs.

I.3. Calculer l’ordre de grandeur de la valeur initiale de l’intensité du courant traversant le condensateur i2pour les paramètres choisis précédemment etU0de l’ordre de 10 kV.

II Circuit d’alimentation

On étudie désormais la charge du condensateurC1préalable à celle deC2étudiée précédemment. Cette charge s’effectue au moyen d’un générateur idéal de haute tension continueEen série avec une résistance Rcélevée. Le circuit de décharge comporte également un éclateurXformé de deux conducteurs séparés d’une distance de l’ordre du cm. Ce circuit est représenté sur la figure 2.

II.1. Tant que la tension aux bornes de l’éclateur est inférieure en valeur absolue à la valeur de ruptureUX, celui-ci se comporte comme un interrupteur ouvert.

(3)

E

R

_c

X R

₁

i

₂

C

₂

u

_C₂

R

₂

C

₁

u

_C₁

Fig. 2 : Circuit d’alimentation du générateur de choc. L’éclateurX se comporte comme un interrupteur ouvert ou fermé selon la valeur de la tension à ses bornes. Il est ouvert tant qu’elle est inférieure en valeur absolue àUXmais se ferme dès qu’elle atteintUX, et le reste tant qu’un courant le parcourt.

(a) Déterminer l’évolution temporelle de la tensionUC1aux bornes du condensateurC1initialement déchargé.

(b) En déduire la durée nécessaire pour que la tension aux bornes de l’éclateur atteigne la valeurUX. Comparer aux valeur duI.2cet commenter.

II.2. Dès que la tension aux bornes de l’éclateur atteint la valeurUX, un arc électrique se forme dans l’écla- teur et ce dernier se comporte comme un interrupteur fermé, jusqu’à la fin de l’expérience.

Justifier brièvement, par exemple en considérant les ordres de grandeur des intensités des courants dans les deux phases, que le dispositif quand l’arc électrique est formé se ramène à celui étudié à la Section I.

III Générateur de Marx

Le montage précédent permet de régler les paramètres temporels d’un « choc » électrique mais pas d’aug- menter sensiblement l’amplitude de celui-ci. Le montage de la figure 3 permet en revanche de passer d’une haute tension de quelques dizaines de kV à des tensions de plusieurs centaines de kV.

E_M

X₁ X₂ X₃

X_f

Fig. 3 : Générateur de Marx. Tous les résistors on même résistanceRc, tous les condensateurs ont même capacitéCet tous les éclateurs ont la même tension de ruptureUXà l’exception du dernierXf dont la tension de rupture, notéeUX_f est supérieure àUX.

Tous les condensateurs ont même capacitéCet toutes les résistances ont même valeurRc. Les éclateurs ont tous la même tension de ruptureU_Xsauf le dernier dont la valeurU_Xfest réglable (en réglant l’écartement des conducteurs).

III.1. Les condensateurs sont initialement tous déchargés quand on allume le générateur de tension de force électromotriceEM. Déterminer la tension aux bornes de chacun des condensateurs au bout d’un temps assez long. Observera-t-on des décharges dans les éclateurs ?

III.2. Donner sans calcul un ordre de grandeur du temps nécessaire.

III.3. On déclenche manuellement un arc électrique dans le premier éclateurX1(une bougie de moteur de voiture suffit).

(a) On admet qu’on peut alors négliger les courants circulant dans les résistors. Donner un schéma électrique équivalent ne contenant plus que les condensateurs et les éclateurs.

(b) En déduire la tension aux bornes du second éclateur et justifier que l’arc électrique s’amorce. Dé- crire le fonctionnement ultérieur.

(c) On admet qu’il faut, dans l’air sec, une tension de 36 kV par cm d’air entre les écarteurs. Quelle pourra être la largeur maximale de l’écarteurXfpermettant d’observer un arc ? Quelle aurait été cette distance si on n’avait disposé que de l’alimentationEMsans machine de Marx ?

Données :Tension d’alimentation du générateur de chocE =40 kV ; résistance de charge ; capacité des condensateursC=2 nF ;Rc=1 MΩ ; tension de ruptureUX=30 kV ; tension d’alimentation du généra- teur de MarxEM =25 kV.

Exercice 1 : Structures électroniques

1. Écrire la structure électronique la plus stable des atomes suivants (le nombre en indice est le nombre de charge).

5B ₉F ₁₁Na ₁₄Si ₂₂Ti ₂₄Cr ₂₈Ni ₂₉Cu ₄₇Ag.

2. Donner les quatre nombres quantiques qui désignent l’état de l’électron célibataire des atomes suivants dans l’état fondamental :

3Li ₇Cl ₃₁Ga ₃₉Y ₇₉Au.

(4)

Correction du problème 1

I Dimensionnement d’un module

I.1. Il s’agit de la charge d’un dipôle RC par une source de tension idéale.

(a) On a immédiatement : duc/dt+uc/(rEC0) =E/(rEC0). La continuité de la tensionucassure queuc(0) = 0. L’unique solution vérifiant cette équation est :

uc=E

1−e^−t/τ

avec :τ=r_EC0. (4)

(b) On auraE−uc=Ee^−t/τ60,25 V pour

t>τln(E/0,25 V) =6,6·10³s=1,84 h=1 h51 min. (5) (c) On a :

i=C0duc

dt = E rE

e^−t/τ. (6)

On a représenté ci-dessous leurs courbes représentatives :

X

₀

X

∞

0 τ

63%

100%

t

charge q ou tension u

C

On a iciuc0= 0;uc∞=E.

0 τ

0 ( q

∞

− q

0

) / τ

63%

100%

t intensité i

On a ici(q∞−q0)/τ=E/rE. I.2. L’énergie estEn=CU_n²/2. On doit donc avoir ici :

Cm=2En

U_n² =800 F. (7)

I.3. Comme vu en TD, la capacité de l’association série de deux condensateurs de capacitéC1etC2est C1C2/(C1+C2), son inverse est1/C1+C2.

I.4. De même la capacité de l’association parallèle de deux condensateurs de capacitéC1etC2estC1+C2.

I.5. On généralise immédiatement : une association série depcondensateurs de même capacitéC0aura pour capacitéC0/qalors que leur association parallèle aura pour capacitépC0. On doit ici réaliserp associations parallèle dep⁰condensateurs en série de telle sorte que :

• la tension aux bornes de chacun, qui vautUn/p⁰n’excède pasUmax: il faut doncp⁰> Un/Umax= 175,4 et on peut choisirp⁰=176 ;

• la capacité de l’ensemble vailleCm: Comme chaque association série a une capacitéC0/p⁰, on doit avoirpC0/p⁰=Cm, soitp=p⁰×Cm/C0=44.

II Charge d’un module

II.1. (a) On peut négliger la résistance du module devant celle du générateur (qui modélise également les résistances de contact). Le résultat de la questionI.1donne iciτ=rECm=800 s=13 min20 s.

(b) La puissance fournie par le générateur, notéeP_Eest, puisqu’il est en convention générateur : P_E=Ei=E²

rE

e^−t/(r^E^C^m⁾. (8) Elle est maximale ent= 0où elle vautE²/rE=250 kW.

(c) La puissance dissipée par effet Joule estP_J = rEi². Elle sera égale à la moitié de la puissance fournie par le générateur quand :

P=rEi²=E² rE

e^−2t/τ =P_E 2 = E²

2rE

e^−t/τ →t=τln(2) =554 s=9 min15 s. (9) Remarquons que cette puissance représente toute la puissance fournie par le générateur à l’instant initial, puisqu’alors la puissance reçue par le condensateur de tension nulle est nulle. La proportion de la puissance fournie par le générateur qui accroît l’énergie du condensateur augmente ensuite pendant que celle dissipée par effet Joule diminue.

II.2. L’énergie fournie par le générateur est : E_E=

∞

Z

t=0

P_Edt=

∞

Z

t=0

E²

r_Ee^−t/(r^E^C^m⁾dt=CmE². (10) On a chaque instant :

Ei=uci+RCduc

dt i→ PE= dEc

dt +P_J, (11)

d’où l’on vérifie que la puissance dissipée par effet JouleP_Jest bien la différence entre celle fournie par le générateur et celle reçue par le condensateur.

Le condensateur est chargé de0àE, il a donc reçu l’énergie électrostatiqueEn=CmE²/2; l’énergie dissipée par effet Joule est alorsE_E− E = n = CmE²/2 = En. On constate qu’on dissipe autant d’énergie dans le résistor qu’on en stocke dans le condensateur.

(5)

II.3. Dans les deux cas la constante de temps est la même puisqu’elle ne dépend que derEetCet pas de la tension du générateur.

(a) L’allure des évolutions deucest donnée sur la figure ci-contre.

(b) En adaptant les résultats précédents, on obtient les expressions deuc(t)eti(t)suivantes : générateurE/2 :uc = ^E₂e^−t/τ soiti1(t) =

E 2r_Ee^−t/τ

générateurE : uc(t) = E 1−e^−t/τ +

E

2e^−t/τsoiti2(t) = _2r^E

Ee^−t/τ 1 2 3 4 5 6

E/2 E

t/τ u_c

On calcule donc l’énergie dissipée par effet Joule :

E_J⁰ =

∞

Z

t=0

rEi²₁(t)d+

∞

Z

t=0

rEi²₂(t)d= 2

∞

Z

t=0

E² 4rE

e^−2t/τdt= CmE² 4 .

On dissipe de cette manière deux fois moins d’énergie par effet Joule. Ce résultat n’est pas sur- prenant puisque la valeur maximale du courant est deux fois plus faible, que la puissance est quadratique en courant : bien qu’on effectue deux charges successives, on gagne malgré tout un facteur deux.

Par ailleurs l’énergie reçue dans le condensateur à l’issue des deux charges est toujoursEn = CmE²/2puisqu’elle ne dépend que de la variation de la tension à ses bornes. L’énergie fournie par le générateur est donc :

En+E_J =3CmE²

4 . (12)

En revanche la charge sera plus longue puisqu’on doit faire deux charges de même constante de tempsτ.

III Alimentation d’un moteur

III.1. (a) Supposons que l’intensitéiest positive, on peut alors modéliser le moteur par une source idéale de tensionuP = +Up. On obtient alors un circuit RC d’équation différentielle :

(rm+rp)i+uc=Up→duc

dt + uc

(rm+rp)Cm

= Up

(rm+rp)Cm

, (13)

dont l’unique solution vérifiant la condition initialeuc(0) =500 V≡U0est : uc=Up+ (U0−Up)e^−t/((r^m^+r^p^)C^m⁾→i=−Cmduc

dt =U0−Up

rm+rp

e^−t/((r^m^+r^p^)C^m⁾. (14)

PourU0−Up>0, le courant est bien positif tant queuc>Upce qui est toujours le cas. L’hypothèse initiale est donc vérifiée.

Les deux autres hypothèses auraient conduit à des incohérences :

• si on suppose i < 0 alorsuc = −Up, les calculs précédents donnenti(t) = (U0 + Up)e^−t/((r^m^)+r^p^)C^m>0.

• si on supposei= 0alorsuc=cste=U0et la tension aux bornes des résistors est nulle. La loi des mailles assure alors queup=ucor le régimei= 0impose queup6Up< U0. (b) Comme on l’a établi auparavant, on ai = ^U_r⁰^−U^p

m+r_pe^−t/((r^m^+r^p^)C^m⁾. Le moteur étant décrit en convention récepteur, la puissance qu’il reçoit est :

Pm=upi=Up(U0−Up) rm+rp

e^−t/((r^m^+r^p^)C^m⁾. (15) Il s’agit d’une exponentielle décroissante deUp(U0−Up)/(rm+rp)à0, avec une constante de temps de(rm+rp)Cm.

(c) Cette puissance sera maximale quandUp(U0−Up)est maximale,iepourUp=U0/2. On peut en effet chercher le maximum de cette fonction en :

• cherchant l’annulation de sa dérivée par rapport àUp,

• reconnaissant une parabole qui s’annule enUp= 0et enUp=U0, dont le maximum est donc enU0/2.

On a donc :

P_mi= U₀²

4(rm+rp)=62,5 kW. (16)

Ceci correspond à70chevaux, puissance du moteur d’une petite automobile.

III.2. (a) On a immédiatement (en faisant attention à la convention pour le courant sur le condensateur) : i=Ip=−Cmduc

dt →uc=U0− Ipt Cm

. (17)

Comme de plusuc−up= (rm+rp)i(tant quei>0), on a : Up=U0−(rm+rp)Ip− Ipt

Cm

, (18)

valable tant queUp>0ietant que :

t6t_fin'CmU0

Ip

−Cm(rm+rp). (19)

Remarquons qu’il faut queIpsoit inférieur àU0/(rm+rp) =500 A. À cet instant la tensionuc

sera encore positive puisqueuc−Upest toujours positive.

(6)

(b) La puissance reçue par le moteur est :

P=upi=U0Ip−(rm+rp)I_p²−I_p²t Cm

=P0−I_p²t Cm

. (20)

0

0 t_fin

U₀

(rm+rp)Ip

t uc

u_c U_p

0

0 t_fin

P₀

t

P

III.3. La décharge du condensateur conduit, si Up = cste à une diminution de la puissance en raison de la diminution du courant. On doit donc diminuerUpau cours du temps pour garder la différenceuc− upsuffisamment importante. Cependant, l’étude à intensité constante conduit à une décroissance de la puissance : on doit donc avoir par ailleurs une augmentation de l’intensité, ce qui va accroître encore la diminution deuc…

0 200 400 600

100 200 300 400 500

t(s)

u(V) u_c

Ri_c u_p

Fig. 4 :Décharge d’un condensateur dans un moteur absorbant une puissance constante. La résistance estr_m+r_p =1 Ω, la capacité estC_m=800 F. La puissance est maintenue constante à sa valeur initialeP= (U_c0−U_p0)U_p0/R=40 kW tant que possible.

On obtient alors une évolution comme celle représentée sur la figure ci-contre. On constate qu’elle s’interrompt quand la tension aux bornes du résistor est égale à celle du moteur : on peut alors montrer que la puissance dissipée dans le moteur est alors maximale àucfixé. Commeucva continuer à diminuer, la puissance sur le moteur ne pourra plus rester constante.

IV Dépannage

IV.1. La capacité du dépanneur est celle d’une asso- ciation parallèle de deux condensateurs :Cd = 2Cm =1600 F. La recharge s’interrompt quand le courant est nul, soit quand les tensions des deux condensateurs sont égales : on a doncuCm=uCd.

C

_m

u

cm

i

C

_d

u

cd

r

_E

= 1 Ω

Par ailleurs on ai = Cdducd

dt = −Cmducm

dt (ce qui traduit la conservation de la charge dans la partie supérieure du circuit) soit, en posantUc0=80 V :Cmucm+Cducd=cste=CmUc0+CdE.

L’équilibre final s’écrit donc, en notantUeqla tension commune à l’équilibre : (Cm+Cd)Ueq=CmUc0+CdE→Ueq=CmUc0+CdE

Cm+Cd

=360 V. (21)

IV.2. Les expressions précédentes donnent :

ucd−ucm

rE

=i=Cmducm

dt →ducm

dt + ucm

rECm

−(Cm+Cd)Ueq−Cmucm

rECmCd

= 0 (22)

→ducm

dt +ucm(Cm+Cd)

r_ECmC_d =Ueq(Cm+Cd)

r_ECmC_d . (23)

On identifie la constante de tempsτ =rECmCd/(Cm+Cd) =533 s =8 min53 s dans laquelle on reconnaît la capacité équivalente de l’association série des deux capacités.

On détermine l’énergie dissipée par effet Joule, notéeE_J en comparant les énergies électrostatiques initiale et finale. On détermine :

E_J =E_elec,ini− E_elec,fin=CmU_c0²

2 +CdE²

2 −(Cm+Cd)U_eq²

2 (24)

=CmU_c0²

2 +CdE²

2 −C_m²U_c0² +C_d²E²+ 2CmC_dUc0E

2(Cm+C_d) =CmCd(U0−E)²

2(Cm+C_d) (25)

Correction du problème 2

I Générateur de choc

I.1. (a) L’impédance, notéeZ2, de l’association parallèle deR2etC2vérifie : 1

Z2

= 1 R2

+jCω.

Celle, notéeZ1, de l’association série deC1et deR1estR1+ 1/(jCω).

(7)

En notantIl’amplitude complexe de l’intensité du courant traversantC1en convention générateur par rapport àuC₁, on a :

I=−UC₂

Z1

= UC₂

Z2

soit, après calculs :UC2+j(R1+ 2R2)CωUC2+UC2(jω)²R1R2C²= 0

En faisant l’analogiejω• ↔ d•

dt, on obtient l’équation différentielle vérifiée par la fonction réelle uC₂, sous forme canonique

d²uC₂

dt² +R1+ 2R2

R1R2C duC₂

dt + uC₂

R1R2C² = 0.

On peut également établir ce résultat en écrivant la loi des nœuds.

(b) On identifie

ω0= 1

√R1R2C ω0

Q =R1+ 2R2

R1R2C soit :Q=

√R1R2

R1+ 2R2

. (c) PourR1R2, on obtient :Q= (p

R1/R2)/2.

I.2. (a) On aQ1, doncQ <1/2. L’évolution est donc apériodique, régie par deux constantes :

−ω1=−ω0

2Q

1 +p 1−4Q²

−ω2=−ω0

2Q

1−p 1−4Q²

. CommeQ1, le DL dep

1−4Q²à l’ordre2enQest1−2Q²et on peut simplifier : ω1=ω0

Q = 2

R1C ω2=ω0Q= 1 2R2C. La conditionR1R2se traduit donc iciω1ω2.

La valeur deuC₂aux temps longs est nulle (second membre de l’équation différentielle) et les solutions générales sont donc :

uC₂= 0 +Ae^−ω¹^t+Be^−ω²^t. (26) On détermineAetBà l’aide des conditions initiales suruC₂(0)etuC˙₂(0). On sait déjàuC₂(0) = 0. Par ailleursuC˙₂ =i2/C. On déterminei2grâce à la continuité de la tension aux bornes des deux condensateurs. On auC₁(0) =U0etuC₂(0) = 0. Comme la tension aux bornes deR2est nulle, l’intensité qui la traverse est nulle et la loi des nœuds s’écriti=i2.

Par ailleurs, la loi des mailles s’écrituC₁−R1i = uC₂, soitU0 −R1i2 = 0et doncuC˙₂ = U0/(R1C).

La dérivation de l’expression 26 donne : duC₂

dt (t) =− ω1Ae^−ω¹^t+ω2Be^−ω²^t

→duC₂

dt (0) =−(ω1A+ω2B).

Les conditions initiales s’écrivent donc :

uC2(0) = 0 =A+B et : −(ω1A+ω2B) =uC˙2(0) = U0

R1C

soit :A=−B B= U0

R1C(ω1−ω2)' U0

R1Cω1

,

puisqueω1ω2. On a finalement : uC₂(t) =U0

2 e^−ω²^t−e^−ω¹^t .

(b) Commeω1ω2, on a deux échelles de temps très différentes et le termee^−ω¹^tdevient très vite négligeable sans que le termee^−ω²^tait significativement diminué.

L’allure est donnée sur la figure ci-contre (tracée pourω1= 5ω2) : les deux termes se compensent exactement àt= 0puis le terme en−exp(−ω1t) s’effondre rapidement ce qui laisse ressortir celui en exp(−ω2t)qui s’éteint ensuite à son tour plus lentement.

1 2 3 4 5 6

0,5

0 ω₂t

u_C₂/(U₀/2)

(c) Les temps caractéristiques de montée et descente sont respectivementτ1 ≡1/ω1 =R1C/2et τ2≡1/ω2= 2R2C. PourC=2 nF, il fautR1'1 kΩ etR2'12 kΩ.

I.3. Comme établi précédemment, le courant initial estU0/R1. PourU0de l’ordre de 10 kV, on aura une intensité importante, de l’ordre de 10 A.

II Circuit d’alimentation

II.1. (a) Tant que l’éclateur est ouvert, on assiste à la charge d’un classique d’un condensateur dans un circuit RC série, soit :

uC₁=E

1−e^−t/(R^c^C) .

(b) On cherche l’instantt_Xtel que : UX=E

1−e^−t/(R^c^C)

→tX=−R_cCln

1−UX

E

=1,39RcC=2,8 ms, très long devant la durée de décharge étudiée précédemment. Le courant correspondant sera donc d’autant plus faible et correspond à une puissance (E∗i2) fournie par l’alimentation de l’ordre du W, tout à fait raisonnable. On peut ainsi, avec une alimentation pas particulièrement puissance parvenir à charger le condensateurC2en une durée beaucoup plus courte qu’un circuitRCne contenant queC2ne le permettrait.

(8)

II.2. En supposant que le courant circulant dans la résistanceRcest négligeable, on retrouve exactement le circuit de la première partie. On peut donc calculer une intensité de l’ordre de 10 A. Or la tension aux bornes deRcestE−uC₁, le courant qui la traverse a donc pour intensité(E−uC₁)/Rc. Il faudrait, pour qu’il soit comparable à 10 A, que(E−uC₁)soit de l’ordre de 10 MV ce qui ne sera bien sur jamais le cas puisqueE=10 kV.

III Générateur de Marx

III.1. En remplaçant tous les condensateurs par des interrupteurs ouverts en régime stationnaire, on obtient qu’ils sont tous chargés sous la même tensionEM.

III.2. L’équation différentielle est d’un ordre très élevé…néanmoins, le temps caractéristique devrait dimen- sionnellement être de l’ordre deRcC=2 ms.

III.3. (a) On supprime du circuit toutes les branches comportant un résistor, on obtient le circuit représenté à la figure 5.

EM

X₁ X₂ X₃

Xf

Fig. 5 : Circuit équivalent quand les arcs des éclateurs sont amorcés. Le courant ne circule que dans les parties en noir : les condensateurs sont maintenant branché en série.

(b) On suppose que seul le premier éclateur est amorcé. Le circuit est alors celui représenté sur la figure ci-contre. La loi des mailles y assure que le potentielVa vaut2E et le potentielVbreste nul par continuité dans le troisième condensateur. La tensionVa−V_b = 2EM =50 kV aux bornes du deuxième éclateur est donc supérieure àUX=40 kV, ce qui y permet le passage du courant. Tous les éclateurs finissent par s’amorcer, permettant le passage du courant et la décharge dans l’éclateur finalXf.

EM EM EM EM Xf

Va

Vb

(c) Ce dernier est soumis à une tension maximale de4EM =100 kV. Il pourra donc s’amorcer tant que sa largeur est inférieure à :

100

36 kV·cm⁻¹ =2,8 cm.

Si on n’avait disposé que de l’alimentationEM, on n’aurait pu fournir queEM et donc avoir un écartement maximal quatre fois plus faible.

La partie finale du circuit est en fait un peu plus compliquée. On pourra la consulter surhttp://en.

wikipedia.org/wiki/Marx_generator.

Correction de l’exercice 1

1. Les structures sont :

5B: 1s²2s²2p¹ ₉F: 1s²2s²2p⁵ ₁₁Na: 1s²2s²2p⁶3s¹

14Si: 1s²2s²2p⁶3s²3p² ₂₂Ti: 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s²3d² ₂₄Cr: 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s¹3d⁵

28Ni: 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s²3d⁸ ₂₉Cu: 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶4s¹3d¹⁰ ₄₇Ag: [Kr]4s²3d¹⁰4p⁶5s¹4d¹⁰ Pour Cr, Cu et Ag, on a rempli préférentiellement rempli à moitié ou complètement une sous-couched au détriment de la couchessuivante.

2. Les nombres quantiques du dernier électron sont :

3Li:n= 2;l= 0;ml= 0;ms=±¹/2 17Cl:n= 3;l= 1;ml= 0,±1;ms=±¹/2 31Ga:n= 4;l= 1;ml= 0,±1;ms=±¹/2 39Y:n= 4;l= 2;ml= 0,±1,±2;ms=±¹/2 79Au:n= 6;l= 0;ml= 0;ms=±¹/2