Les surprises de l’électronique quantique subnanoseconde

Les surprises de l’électronique quantique subnanoseconde

Bernard Plaçais

Groupe de Physique Mésoscopique Laboratoire Pierre Aigrain

ENS

Séminaire ENS 14 décembre 2006

Groupe de physique mésoscopique (P13)

(Julien Gabelli) (Gwendal Fève)

Adrien Mahé

(Adrian Bachtold), Takis Kontos, Jean-Marc Berroir, BP, Christian Glattli

Gaz d’électrons bidimensionnel (2DEG) et nanotubes de carbone (CNT) (Bertrand Bourlon)

(Bo Gao) Julien Chaste Thomas Delattre Chéryl Feuillet-Palma

sub-micro nano

Des pionniers à l’ENS

Optique électronique quantique

avec des électrons uniques balistiques

détecteur source

Séparatrice (beam-splitter)

source

détecteur cohérent

monomode

conducteur Naturelle

Cohérente électron unique

 Interférences, Hanbury-Brown et Twiss,

 maitrise des temps courts (<_φ)

Optique électronique quantique

avec des électrons uniques balistiques

100mK à

10µm qqs

kT ~ hV_F

détecteur source

Séparatrice (beam-splitter)

source

détecteur cohérent

monomode

conducteur

 Interférences, Hanbury-Brown et Twiss,

 maitrise des temps courts (<_φ) Naturelle

Cohérente électron unique

contact

=> 2DEG

Plan de l’exposé

1. Conduction quantique en continu (introduction)

2. Les surprises de la conduction quantique en alternatif

ex : relaxation de charge d’une capacité quantique

3. Quantification du courant alternatif et sources électrons uniques

Plan de l’exposé

1. Conduction quantique en continu (introduction)

2. Les surprises de la conduction quantique en alternatif

ex : relaxation de charge d’une capacité quantique

3. Quantification du courant alternatif et sources électrons uniques

Gaz d’électrons bidimensionnels Hétérojonction de semiconducteurs

à modulation de dopage gaz d’électrons 2D

_F~ 30 nm l_e ~ 10-20 µm

l_ > 20 µm

à très basse température (T~30 mK)

Transport électronique balistique cohérent

Les nano-conducteurs quantiques

y ψ₂ ψ1

xˆ

nombre de modes N :

Fermi

N W



 2

Fermi

N W



 2

W ~ 1

pour W = 30 nm

eikx

conducteur 3D ( ruban métallique Cu, Ag, … )

2

4 2

~

Fermi

N W

 ² 4 2

~

Fermi

N W



~ 1 à 5.10³ pour W = 30 nm

W

conducteur 2D (gaz électrons 2D, graphène, …)

GaAs

AlGaAs

Confinement 2D Interface

B 

k , x Énergie

Niveaux de Landau



10

T qq mK 100

l_ 



États de bord unidimensionnels Dégénérescence de spin levée Régime d’effet Hall Quantique

x

B

E

drift

V

Réservoirs et résistance d’un conducteur monomode balistique

- ^V +

h e eV I  .

eV

 h



1e 1e 1e 1e 1e ...

Pauli Heisenberg : eV . ~ h V

e



) ( f_R 

e^- 

_L

_R )

(

f_L  h

G e

 h2

G e

 2

~ 25.8 k 

e2

R eh2

R  h

= quantum

1 mode + 1 diffuseur

eV ^D

eV

 h



h D e G

 h2

D e G

 2

Conductance = transmission (formule de Landauer) ^



n

Dn

h G e

2





n

Dn

h G e

2

Cas général : N modes

non-localité : 2 barrières : R₁₊₂≠R_1+R2

Barrière de transmission variable (CPQ) et quantification de la conductance

-50 0 50 100

0 1 2 3

Vg ( mV )

conductance ( e2 / h ) états de bord = équipotentielles 1

2

B w

Barrière de transmission variable (CPQ) et quantification de la conductance

-50 0 50 100

0 1 2 3

Vg ( mV )

conductance ( e2 / h ) états de bord = équipotentielles B w

2 1

canal 1

Barrière de transmission variable (CPQ) et quantification de la conductance

-50 0 50 100

0 1 2 3

Vg ( mV )

conductance ( e2 / h ) états de bord = équipotentielles B w

canal 1 canal 2+ 2 1

La lame séparatrice (beam splitter)

-50 0 50 100

0 1 2 3

Vg ( mV )

conductance ( e2 / h ) états de bord = équipotentielles B w

e^

1 2

1 D  2

Mach-Zehnder électronique

D2 QPC1

S

D1 QPC2

MG

0 50 100 150 200

0 5 10

15 -9.0 -7.5 -6.0 -4.5 -3.0

Time (minute) ~ Magnetic Field Modulation Gate Voltage, V_MG (mV)

Current (a.u.)

K L

G G

G

m 20 à µm 20

2 1

2 1





 

 K

L

G G

G

m 20 à µm 20

2 1

2 1





 



(M. Heiblum, séminaire ENS 14/04/05)

D1 S

BS1 _M1

M2 BS2

D2

eV

 h



2

 0

I

 0

I

- +

V

1e 1e 1e 1e 1e ...

Le réservoir

=

source naturelle non-bruyante !

Le flot d’électrons est régulé par le principe de Pauli

 pas de fluctuations !

Pauli

bruit de grenaille

=

bruit de partition quantique

eV ^D

eV

 h







eI

I   

^{I 2 } 2^eI





 ² 2 1

(Glattli, SPEC-CEA) Barrière de transmission D

1

3  0 

D

Kumar et al. PRL (1996)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0





0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5

1 .8 .6 .4 .2 0





Bruit





e conductanc

Résumé

• conductance  transmission

• transport non-local, interférences (R_A+B≠R_A+R_B, G_A+B≠G_A+G_B)

• la dissipation est dans les réservoirs

• réservoirs = sources électrons uniques non-bruyantes

• bruit quantique de partition

• briques de bases pour une optique électronique quantique (beam-splitter, Mach Zehnder, Fabry-Pérot, ….)

Plan de l’exposé

1. Conduction quantique en continu (introduction)

2. Les surprises de la conduction quantique en alternatif

ex : relaxation de charge d’une capacité quantique

3. Quantification du courant alternatif et sources électrons uniques

Dynamique électronique cohérente Courant (module et phase)

Régime balistique:

L

v





 tan

vF

 L

 Temps de transit

1

5 .

10 ^





 qq m , v qq m s

L _F  qq 10ps , f GHz

V_ac I_ac 

Z(ω)

montage

3 mm 3 cm

dc rf

local

G=X+iY

Capacité quantique

EF

E

-  +0 V

_ _ Cgéo

) ( E N

EF

 0 q

 0 q

Capacité quantique

EF

E

-V+

_ _ Cgéo

) ( E N

V e E_F  

q



q

 eV

Capacité quantique

EF

E

-  +0 V

_ _ Cgéo

) ( E N

V e E_F  

q



q

 eV

 q

EF





F  E

Capacité quantique

EF

E

-  +0 V

N )

(

, 1

1 )

(

1   ₂ 









 



 







 _{Q F}

Q géo

L C e N E

C q C

E e N e V q

 e ₍¹ ₎ ^{1 1} _^{ ,  2 ( )  N}









 



 







 _{Q F}

Q géo

L C e N E

C q C

E e N e V q

 e

_ _ Cgéo

) ( E N

V e E_F  

q



q



C

1

eV

 q

EF





F  E

Le circuit RC quantique

V

V

l < m

eV ( t )

I( t )

B

Capa-méso

(B. Etienne, Y. Jin, LPN-Marcoussis)

Capa-méso

(B. Etienne, Y. Jin, LPN-Marcoussis)

que vaut la résistance de relaxation de charge R_q ?



e D R_q h 1

 2

D e R_Landauer h 1

 2 Z_capa jC1_



Z = R+1/jCω

En régime cohérent, R_q≠R_Landauer



e D R_q h 1

 2

D e R_Landauer h 1

 2 Z_capa jC1_



Z = R+1/jCω

régime cohérent : R_q=½ h/e² ind de la transmission D !!!



e D R_q h 1

 2

D e R_Landauer h 1

 2 Z_capa iC1_



R_q=h/2e² constante = R_CPQ C_Q=e²N capacité quantique C_ capacité géométrique

… équivalent à l’association en série de:

M. Büttiker et al PRL 70 4114, PLA180,364-369 (1993)

Le circuit RC quantique à T≠0

• k_BT << D



Boîte quantique

Régime cohérent

• k_BT >> D



2 2

/ e h

R_q 

VG

B

2 

 

 

D R_q 1/

t2

D 

M. Büttiker et al., Phys.Rev.Lett. 70, 4114, (1993)

 



 

  



1 ⁱ

i

re e ) r

( s

1

( _F ) 2 ( _F ) s ( _F )

N s

i

 

 

  

 

Modèle unidimensionnel

M. Büttiker et al., Phys.Rev.Lett. 70, 4114, (1993)

 



 

  



1 ⁱ

i

re e ) r

( s

1

( _F ) 2 ( _F ) s ( _F )

N s

i

 

 

  

 

Modèle unidimensionnel

C_q

• Réponse linéaire dans le gaz 2D





 



 

^{) (V I U) eh}



( g

2



 

R_q

g

• Détermination self-consistante du potentiel U

M. Büttiker et al., Phys.Rev.Lett. 70, 4114, (1993)

C g

g iC

g ) iC

(

G 

 



 



 

  



1 ⁱ

i

re e ) r

( s

1

( _F ) 2 ( _F ) s ( _F )

N s

i

 

 

  

 

Modèle unidimensionnel

C_q

• Réponse linéaire dans le gaz 2D





 



 

^{) (V I U) eh}



( g

2



 

R_q

g

-0,90 -0,88 0

2

V_G (V)

T=0 K

1/

C q (K-1 ) Transmission

1

-0,90 -0,88

0 1 2

1/R q (e2 /h)

V_G (V)

1

Transmission

T= 0 K

Modèle unidimensionnel

2K

 

0 T  K

0 1

V₀ V₀

Transmission

V_G

0 0)/

1 (

1

V V V_g

D e_{  }

 

M. Büttiker PRB 41 7906 (1990)

B

2K

 

2 ( )

q F

C  e N  ₂

q 2 R h

 e

-0,90 -0,88 0

2

V_G (V)

T=0 K

1/

C q (K-1 ) Transmission

1

-0,90 -0,88

0 1 2

1/R q (e2 /h)

V_G (V)

1

Transmission

T= 0 K

Modèle unidimensionnel

2K

 

2 ( )

q F

C  e N  ₂

q 2 R h

 e

0 T  K

0 1

V₀ V₀

Transmission

V_G

0 0)/

1 (

1

V V V_g

D e_{  }

 

M. Büttiker PRB 41 7906 (1990)

B

2K

 

Double action de la grille

Boîte quantique

VG

VG

B

2 

 

 

Modèle unidimensionnel

150

T  mK

-0,90 -0,88

0 2

V_G (V)

1/

Transmission

C q (K-1 ) _1/4T

T=150 mK

1

-0,90 -0,88

0 1 2

x10

1/R q (e2 /h)

V_G (V)

Transmission

1 T= 150 mK

2 ( )

q

C e d N ^{ }   f_ 

2

2

2 2

( ) ( )

q

d N f R h

e f

d N

  

   

     





 



 



 

2

4 _B cosh2 /2 _B De

k Th k T





 

2

1

4Tcosh  / 2k T_B

0 1

V₀ V₀

Transmission

V_G

0 0)/

1 (

1

V V V_g

D e_{  }

 

M. Büttiker PRB 41 7906 (1990)

B

2K

 

conductance à l’ouverture du canal

D (transmission)

1 0

f=1,5 GHz, T = 30 mK

)2

RC ( 1 ) C G

Im(  

 

2 2

) RC ( 1

) C ( ) R

G

Re(  

 

B D

R C

Capacitif cohérent à forte transmission

D (transmission)

1 0

f=1,5 GHz, T = 30 mK

)2

RC ( 1 ) C G

Im(  

 

2 2

) RC ( 1

) C ( ) R

G

Re(  

 

R C

B D

résistif séquentiel à faible transmission

D (transmission)

1 0

f=1,5 GHz, T = 30 mK

)2

RC ( 1 ) C G

Im(  

 

2 2

) RC ( 1

) C ( ) R

G

Re(  

 

R C

B D

Mise en évidence du demi-quantum de resistance R_q

Gabelli et al Science 313 499 (2006)

0 1 2 3 4

-0,74 -0,72 -0,85 -0,84 -0,83

2 4 6 8

Sample E1 C

/2 = 1.085 GHz

R_q= h / 2e² A

Im(Z) (h/e2 )Re(Z) (h/e2 ) ^{Sample E3}

/2 = 1.2 GHz

R_q= h / 2e²

D C_ = 2.4 fF

V_G (V)

B C_ = 1 fF

Confrontation au modèle 1D

-0,05 0,00 0,05 0,10

-0,91 -0,90 -0,89

-0,02 0,00 0,02 0,04 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3

f = 515 MHz

Conductance G (e2 /h)

V_G(V)

f = 180 MHz f = 1.5 GHz

C K

e 0.5

2  C K

e 2.5

2 



K

 2



mK T 150

Conclusions

1. Violation de la loi d’addition des impédances (R_q≠R_Landauer) 2. Demi-quantum de résistance de relaxation de charge de R_q 3. Très bon accord théorie expérience

4. La réduction de R_q est un phénomène très général des conducteurs quantiques cohérents

5. La dynamique des circuits permet de sonder les temps de transit microscopiques

Plan de l’exposé

1. Conduction quantique en continu (introduction)

2. Les surprises de la conduction quantique en alternatif

ex : relaxation de charge d’une capacité quantique

3. Quantification du courant alternatif et sources électrons uniques

Source d’électrons uniques résolues en temps et en énergie

eV

 h



1e 1e 1e 1e 1e ...

V e



_L

1e ...

 D



_L

1e

excitation

 T



injecteur réservoir

Injection contrôlée de charges uniques

 

 

e2

C C

V(t)

QPC 2D electrons Dot



e

capacitor plate

V(t)

C



t time

C

e

V I

 

 

e2

C C

C

/ e²

exc

eV e

C_

2

2 ^

régime non-linéaire

Injection contrôlée de charges uniques

V(t)

QPC 2D electrons Dot



e

capacitor plate

V(t)

C

t time

C

e

V I C

/ e²

exc

eV e

C_

2

2 ^

Injection contrôlée de charges uniques

V(t)

QPC 2D electrons Dot



e

capacitor plate

Coulomb et Pauli V(t)

C

injection C

/ e²

t time

C

e

V I

Injection d’un seul électron

exc

eV e

C_

2

2 ^

Injection contrôlée de charges uniques

V(t)

QPC 2D electrons Dot



e

capacitor plate

Coulomb et Pauli V(t)

C

injection C

/ e²

t time

C

e

V

 



 h/ D

= 80 ps for 1°K and D =0.1

I

Injection d’un seul électron

exc

eV e

C_

2

2 ^

régime non-linéaire

2 /



eVexc    e C_

exc( ) V t

Régime linéaire :

Mesure statistique de l’injection

VG

VG

q  e

2eV_exc

t

La charge transférée par demi-période est quantifiée Donc courant alternatif quantifié

Charge moyenne transférée par alternance :

Régime d’injection :

2 2 /

  eV^exc  e C_

2eV_exc

t

exc( ) V t

Charge moyenne transférée par alternance :

q  e

I ( t )

B

Théorie : réponse non-linéaire à un échelon

2 q

C e d N( )  f



  

     

2

2

2 2 q

d N ( ) f R h

e f

d N( )

 



 



  

   

     





• linéaire : eV_exc  

Rq C_q

• non-linéaire : eV_exc  

nl

Rq C_q^nl

2 2

2

nl exc

q

exc

f ( eV ) f ( ) C e d N( )

eV

 

  ^{ }





2 2 2

2 2

2 2

2

exc

nl exc

q

exc exc

f ( eV ) f ( ) d N ( )

eV R h

e f ( eV ) f ( )

d N( )

eV

 

 

 

 

 



     

 





q t /

I( t ) e ^



  ²

nl exc q

q  V C

nl nl

q q

  R C

Première harmonique : 2 1 I i qf

 ^{ } i



Simplification : C   e²

C_  

2eV_exc

t

exc( ) V t

I ( t )

Fève, thèse novembre 2006

Cas particulier 2eV=Δ

2 2

2

nl exc

q

exc

f ( eV ) f ( ) C e d N( )

eV

 

 





nl 2 q

C e

  q  e 2 eV

 

• ,

N() 

 D<<1

e²/ D1

=> Quantification du courant alternatif et I=2ef, indépendant de ε et D

Mesure directe du temps de sortie tunnel

31 25 f  . MHz

32 ns

 

0 5 10 15 20 25 30 Temps (ns)

2eV_exc

e2

C_



0 5 10 15 20 25 30 Temps (ns)

0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30

Temps (ns)

0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30

Temps (ns)

0 5 10 15 20 25 30

e^

e^



q t /

I ( t ) e ^



 

D≈0,002 D≈0,005

D≈0,02

Mesure en détection homodyne (première harmonique)

-0,91 -0,90 -0,89 -0,88

0 1 2 3

I  (x ef)

5/4 3/2

 3/4

/2

/4

V_G ( V ) ^{-910 -905 -900}

-/4 0

-/2

V_G (mV)

2eV_exc = /2 2eV_exc = 

2eV_exc = 3/2

module phase

Quantification du courant ac : I=2ef, indépendant de ε et D pour 2eV_exc=Δ Phase ω fonction de D mais dépend peu de ε et V_exc

0 1 2 3 4

2eV_exc / 

2eV_exc=

f=180 MHz V_G=-901 mV

Im (I) (ef)

1 1.5 0.5

0

Quantification du courant alternatif

-0.91 -0.90 -0.89

0 1 2 3

B=1.28T f = 180MHz

Im(I) ( ef )

V_G (V)

N()

C

e ₂

f (  eV ) f ( )exc  

fluctuations quantiques à forte transmission

-0,91 -0,90 -0,89

0 1 2 3

B=1.28T f = 180MHz

Im(I) ( ef )

V_G (V)

0 1 2 3 4

2eV_exc=

2eV_exc / 

V_G=-901mV V_G=-893mV V_G=-880mV

Im (I) (ef)

0 0.5 1 1.5

Temps de sortie

-0,910 -0,905 -0,900

0 2 4 6 8 10

Temps (ns)

V_G ( V )

f=515 MHz f=180 MHz

f=31.25 MHz (domaine temporel) modèle V₀=-896 mV

V₀ =2.9 mV

-0,910 -0,905 -0,900

0,01 0,1 1 10

RC = temps de sortie tunnel  =h/DΔ

Quantification du courant ac

-912 -907 -902 -897 -892 -887

 5

/ 5 3/

5 / 7

 5

 / 5 3/

5 7/

2e V

V_G (mV) 1

0 2 3 4

Im (I_) (ef)

0.9 D

0.8 0.4

0.15 0.02

Modèle :

Conclusions

• Quantification du courant alternatif

• la source d’électrons uniques analogue aux sources de photons uniques

• Le temps tunnel = la constante RC du circuit

• Accord théorie expérience très bon