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Différence symétrique

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Academic year: 2022

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Différence symétrique

Démontrons par le théorème de la double inclusion la propriété suivante.

Propriété: pour tous ensemblesEetF, les ensemblesE∆Fet (E∪F)\(E∩F)sont égaux.

Démonstration: soitx∈E∆F. Ainsi,xest un élément deEmais pas deF, ou bienxest un élément deFmais pas deE. En d’autres termes,x est élément deEou deFmais pas deEet deFen même temps. On a doncx∈(E∪F)\(E∩F).

Soitx∈(E∪F)\(E∩F). Ainsi,xest élément deEou deFmais pas de Eet deFen même temps. En d’autres termes,xest un élément deEmais pas deF, ou bienxest un élément deFmais pas deE. On a donc x∈E∆F.

Par le théorème de la double inclusion, on aE∆F = (E∪F)\(E∩F).

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