Université Claude Bernard Lyon 1 - 2005/2006
Licence Science et Technologies - UE Mathématiques IV, Algèbre
Partiel - durée 1h30
17 novembre 2005
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Question de cours
On suppose queE est un espace vectoriel de dimension nie sur un corps commutatif.
Expliquer les relations qu'il existe entre l'espace vectoriel E, son dual et son bidual.
Problème
Les trois parties du problème sont indépendantes et peuvent être traitées séparément dans l'ordre de votre choix. Dans les parties 1 et 2, E désigne un K-espace vectoriel de dimension nie n > 0et u est un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique Pu est scindé :
Pu = (−1)n
p
Y
i=1
(X−λi)hi.
Pour tout i ∈ {1, . . . , p}, Ni désigne le sous-espace caractéristique Ker(u−λiid)hi. On rappelle queE =N1⊕ · · · ⊕Np.
Partie 1
Soient d etndeux applications deE dansE dénies pour toutx∈Ni, i∈ {1, . . . , p}, par
d(x) =λix, n(x) =u(x)−λix.
1. Montrer que d etn sont des endomorphismes de E. 2. Montrer que d est diagonalisable.
3. Pour tout i ∈ {1, . . . , p}, on désigne par ni la restriction de n au sous-espace Ni. Montrer que, pour tout i, ni est nilpotente. En déduire que n est nilpotente.
4. En déduire que, pour tout endomorphismeudeE dont le polynôme caractéristique est scindé, il existe des endomorphismesdetndeE vériant les trois assertions suivantes :
(1) dest diagonalisable et n est nilpotent, (2) u=d+n,
(3) d◦n=n◦d. Partie 2
Il s'agit de montrer l'unicité de la décomposition de l'endomorphisme u donnée en question 4.
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Soient d0 et n0 des endomorphismes de E vériant les assertions (1), (2) et (3) de la question 4.
5. A l'aide des relations (2) et (3), montrer que u◦d0 =d0◦u. 6. En déduire que Ni est stable par d0.
7. Montrer les relations suivantes :
i) d◦d0 =d0◦d, ii)n◦n0 =n0◦n, iii)n−n0 =d0−d.
8. Déduire de la question 6 que les endomorphismes d et d0 sont diagonalisables dans une même base. En déduire qued0−d est diagonalisable.
9. Soientheth0 les indices de nilpotence denetn0. En utilisant la relation ii), calculer (n−n0)h+h0. En déduire quen−n0 est nilpotente.
10. Montrer qu'un endomorphisme nilpotent et diagonalisable est nul. En déduire que n=n0 et que d=d0.
Partie 3
Soit u l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique de R3 est
A=
3 −3 4 0 −1 4 0 −1 3
1. Calculer le polynôme caractéristique de u
2. Déterminer une base B = (e1, e2, e3) deR3 telle que la matrice de udans la base B soit formée de blocs triangulaires :
[u]B=
1 1 0 0 1 0 0 0 3
.
3. Décomposer la matrice[u]Ben la somme d'une matrice diagonaleD0et d'une matrice nilpotente N0.
4. En déduire une matrice diagonalisable D et une matrice nilpotenteN telles que A=D+N.
