Matrices – Algèbre des matrices carrées
Denis Vekemans∗
Exercice 1 On considère les matrices suivantes :
A= 1 2 3 4
!
et B = −1 0 1 2 2 3
!
Calculer, lorsque cela est possible, A2,B2, AB, BA,At, Bt, AAt, AtA, (At)2, BBt, BtB,(Bt)2, AtBt et BtAt.
Exercice 2 Soientaetbdes nombres réels. On considère les matrices
A= cos(a) −sin(a) sin(a) cos(a)
!
; B = cos(b) −sin(b) sin(b) cos(b)
! .
1. CalculerAB etBA. En déduire que AetB commutent.
2. Montrer queA est inversible et calculerA−1.
Exercice 3 On considère la matrice
A= 2 −2 2 −3
! .
1. DéterminerA2 et montrer queA2+A= 2I2.
2. En déduire queA est inversible et exprimerA−1 en fonction deA.
3. Ecrire la matriceA−1.
Exercice 4 Soit K un corps et soit D ∈ M2(K). Montrer que DA = AD pour tout A ∈ M2(K) si et seulement si D=λI2 pour unλ∈K.
Exercice 5 Soit K un corps. Montrer que l’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est un groupe pour la multiplication.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
Exercice 6 Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3. On considère les applications linéaires f et g de R3 dansR3 définies par
f(x, y, z) = (x+z,2y−z, x),
g(e1) =e1+e3, g(e2) = 2e2−e3, g(e3) =e1. 1. A-t-onf =g?
2. Donner les matricesMf etMg def etgdans la base B.
3. Donner l’image deBpar l’application linéaireh= 2f−g.
4. Pour tout(x, y, z)∈R3, donner les coordonnées deh(x, y, z)dans la base B.
5. En utilisant les trois questions précédentes, donner, par trois méthodes différentes, la matriceMh deh dans la base B.
Exercice 7 Soit f: R3 → R3 une application linéaire. On pose g = f −Id. On suppose g◦g 6= 0 et g◦g◦g= 0.
1. Soitv∈R3 tel que(g◦g)(v)6= 0. Montrer que les vecteursv, g(v),(g◦g)(v) forment une base deR3. 2. Donner la matriceMg de g, puis la matrice Mf de f dans cette base.
Exercice 8 Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3. On considère l’endomorphisme φ de R3 défini par
φ(e1) = 0, φ(e2) =e1−e2−e3, φ(e3) =−e1+e2+e3. 1. Ecrire la matrice deφdans la base B.
2. Trouver une base deker(φ) et une base de Im(φ).
3. Trouver un vecteurv deR3 tel que φ(v)6= 0 et montrer qu’alors la famille(v, φ(v))est libre dans R3. 4. Trouver un vecteurwde ker(φ) tel que la famille F = (v, φ(v), w) soit une base de R3.
Ecrire la matrice de φdans la base F.
Exercice 9 Calculer l’inverse des matrices suivantes :
A= −1 1 2 3
! B =
1 1 3 1 2 4
−1 1 0
C=
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
.
Exercice 10 Soitf l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canoniqueB= (e1, e2, e3)est
A=
2 0 1 0 2 1 0 1 2
.
1. Montrer quef est bijectif et déterminer la matrice de f−1 dans la baseB.
2. On posee′1=e1,e′2 =e1+e2−e3 ete′3 =e1+e2+e3. (a) Montrer que B′ = (e′1, e′2, e′3) est une base deR3. (b) DéterminerA′ la matrice def dans la baseB′.
(c) Donner la matrice de passage de la base Bà la base B′. (d) CalculerAn pour toutn∈N∗.
Exercice 11 SoitK un corps. On définit dansMn(K) la relation ∼par A∼B ⇐⇒ ∃P ∈ Mn(K), inversible, A=P−1BP.
Montrer que ∼est une relation d’équivalence.
Exercice 12 Juin 2005.
Pour tout nombre réel m, on considère la matriceA(m)∈ M3(R) suivante :
A(m) =
1 m m2 m m2 m
1 0 m
.
1. Déterminer pour quelles valeurs dem la matrice A(m)est inversible.
2. Déterminer le rang de la matriceA(m) en fonction du paramètrem.
Exercice 13 SoitA=
13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5
1. Montrer queA est inversible et calculer son inverse.
2. En déduire l’expression deAn pour tout n∈Z.
Exercice 14 On considère la matriceM :
M =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
Montrer que l’on a pour tout n∈N:Mn=anM+bnI3. Expliciter an∈Retbn∈R.
Exercice 15 SoitU ∈ Mn,1(R) tel que UtU =||U||22 = 1.
1. Montrer que S = In −2U Ut est une matrice symétrique telle que S2 = In, en déduire que S est inversible et calculer S−1.
2. Montrer queP =In−U Ut est une matrice symétrique telle queP2 =P. Montrer queP n’est jamais inversible.
Exercice 16 SoientA etB des matrices carrées de taillentelles queIn−AB soit inversible.
Calculer(In−BA)(In+B(In−AB)−1A).In−BAest-elle inversible ?
Exercice 17 SoitA= (ai,j)i∈{1,...,n},j∈{1,...,n} ∈ Mn(R).
On définit la trace de A que l’on note tr(A) comme égale à la somme des éléments de la diagonale principale. On a donc
tr(A) =
n
X
i=1
ai,i.
1. Montrer que∀A∈ Mn(R), ∀B ∈ Mn(R), ∀λ∈R, ∀µ∈R, on a :
tr(λA+µB) =λtr(A) +µtr(B) ; tr(AB) =tr(BA).
2. Calculertr(AtA)en fonction des coefficients de A.
Exercice 18 SoientA=
5 4 3 7 6 5 5 4 3
etB=
1 2 3 2 3 4 1 2 3
.
Déterminer toutes les matricesX ∈ M3(R) telles queA=BX.
Exercice 19 Soit R2[X] l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, à coefficients dans R.
SoitB={1, X, X2} la base canonique deR2[X].
Soitφ l’endomorphisme deR2[X]défini parφ:P(X)7−→XP′(X)−12P. Donner la matrice deφdans la base B.
Exercice 20 On considère C comme un R-espace vectoriel de dimension 2 (C ∼= R2), ce qui revient à dire qu’on peut se donner z=a+ıb∈Cavec a∈R etb∈R.
SoitB1 ={1, ı}la base canonique deCcomme un R-espace vectoriel de dimension 2. On écrit zdans la base B1 :zB1 = a
b
!
∈ M2,1(R).
On pose =−12 +ı√23. 1. Vérifier que1 ++= 0.
SoitB2 ={1, } une autre base deCcomme un R-espace vectoriel de dimension 2.
2. Ecrirez dans la base B2 (i.e. zB2 ∈ M2,1(R)) et donner A∈ M2,2(R) telle que zB2 =A zB1. Donner B ∈ M2,2(R) telle que zB2 =B zB1.
Soitc l’endomorphisme deC qui àz∈Cassocie son conjuguéz∈C.
SoitCB1 ∈ M2,2(R) la matrice associée à l’endomorphismec dans la baseB1. 3. Donner la matriceCB1.
SoitCB2 ∈ M2,2(R) la matrice associée à l’endomorphismec dans la baseB2. 4. Donner la matriceCB2.
5. Donner en justifiant (par des calculs ou non), l’existence de l’inverse de la matriceB, la matrice B−1 et la matrice B−1CB1B.
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
