Série des exercicres nombres complexes : L1 FDV

Série des exercicres nombres complexes : L1 FDV

Exercice 1 :

Mettre sous forme algébrique a+ib, avec a,b∈R, les complexes suivants : z₁ = ¹⁺²ⁱ_3−4i;z₂ = ¹¹⁺⁵ⁱ_1−i +¹¹⁻⁵ⁱ_1+i ;z₃ = (¹⁺ⁱ_3−i)²;z₄ = ¹₂+i

√3

2 z₅ =−_1−i^2√

7;z₆ = ⁽¹⁺ⁱ⁾_(1−i)⁹5;z₇ = (1+3i)(2−i)¹ ; z₈ = ^(1+11i)_1−i ²;z₉ = 2e^i2π3 ;z₁₀= ^2e

iπ 4

e^−3iπ4 z₁₁ = 2e^iπ4 ·e^−3iπ4 ;z₁₂= 2 ^e

iπ 3

3e^5iπ6

Exercice 2 :

1. Déterminer l’expression exponentielle des nombres complexes suivants : z₁ = ¹⁺ⁱ_1−i =;z₂ = 1 +i√

3;z₃ = _1+i⁻² ;z₄ = ¹⁺ⁱ

√

√ 3

3+i z₅=sinx + i cosx ; 2. En déduire les complexes suivants :

z₁²;z₂⁴;z⁵₂+z₂⁵; _1−i^z32

Exercice 3 :

Soit u et v les deux complexes définis par :

u= 1 +i v = 1 +i√ 3

1. Déterminer les modules de u et v 2. Déterminer les arguments de u et v 3. Soit z le nombre complexe défini par :

z = ^u_v

Déterminer la forme algébrique de z 4. Déterminer la forme trigonométrique de z 5. Déterminer le module et un argument de z 6. En déduire les valeurs de :

cos(^−5π₁₂ )etsin(^5π₁₂)

Exercice 4 :

Ecrire sous forme algébrique et puis trigonométrique le nombre complexe ci-dessous : z = (¹⁺ⁱ⁻

√3(1−i) 1+i )²

Exercice 5 :

(a) Déterminer le module et un argument de ¹⁺ⁱ_1−i En en déduire la valeur de(¹⁺ⁱ_1−i)²⁰¹⁷ (b) Déterminer le module et un argument de1 +i√

3En en déduire la valeur de(1 +i√ 3)²⁰¹⁰

(c) Déterminer les puissances n ème de : z₁ = ¹⁺ⁱ

√ 3

1+i ;z₂ = ^1+itan(θ)_1−itan(θ);z₃ = 1 +cos(φ) +isin(φ);

Exercice 6 :

Linéariser les fonctions suivantes : (a) f =sinx⁵

(b) g =cosx³ ·sinx⁴ (c) h=sinx³·cosx²

Exercice 7 :

Comment choisir l’entier naturel pour que(√

3 +i)ⁿsoit réel ? Imaginaire ?