Théorème de Cauchy-Lipschitz global
Référence(s) :
F. Rouvière - Petit guide du calcul diérentiel à l'usage de la licence et de l'agrégation.
Dénition 1
SoitI un intervalle de Rn. Une fonctionf :I×Rn→Rn est dite globalement lipschitzienne en la deuxième variable lorsque pour toutK compact inclus dansI :
∃k >0,∀t∈K,∀y, z∈Rn,kf(t, y)−f(t, z)k6kky−zk
Théorème 1
Soit k·k une norme sur Rn. Soit I un intervalle de R. Soit f : I ×Rn → Rn continue et globalement lipschitzienne en la deuxième variable. Alors, si t0∈I etx∈Rn, le problème de Cauchy
(P) :
y0(t) =f(t, y(t)) y(t0) =x admet une unique solution, qui est globale.
Dans un premier temps, supposons que l'intervalle I est compact.
Étape 1
Le système (P)est équivalent à y∈E
F(y) =y , oùE=C0(I,Rn)et F(y)(t) =x+Rt
t0f(s, y(s))ds.
Si y est solution de (P), alors y est dérivable, et même C1, par continuité de f. De plus, on a y0(t) = f(t, y(t)), donc en intégrant, on obtienty(t) =x+Rt
t0f(s, y(s))ds.
Réciproquement, si y∈E et vériey(t) =F(y)(t), alorsy estC1 et est solution de(P). On s'est donc ramenés à un problème de point xe.
On va donc montrer que la fonctionF est contractante, pour appliquer le théorème de point xe de Picard.
Étape 2
Dénition d'une nouvelle norme surE.
CommeIest compact, on peut considérer la constante de Lipschitzkassociée àI, etl la longueur deI. On dénit la fonctionNk(y) = max
t∈I{e−k|t−t0|ky(t)k}.
On a :Nk est une norme surE parce queIest compact, k·kest une norme etexp>0.
De plus, pour touty∈E,e−klkyk∞6Nk(y)6kyk∞, donc les normesk·k∞ et Nk sont équivalentes.
CommeE est complet pourk·k∞,E est aussi complet pourNk. Étape 3
Comme f est continue, la fonction F est de E dans E, qui est complet. Montrons que la fonction F est contractante sur (E, Nk).
Soient y, z∈E; soit t∈I. On suppose quet>t0. Alors :
F(y)(t)−f(z)(t) = Z t
t0
(f(s, y(s))−f(s, z(s)))ds
1
Ainsi
e−k(t−t0)kF(y(t))−F(z(t))k6e−k(t−t0) Z t
t0
kf(s, y(z))−f(s, z(s))kds 6e−k(t−t0)
Z t t0
kky(s)−z(s)kds
6e−k(t−t0) Z t
t0
kek(s−t0)Nk(y−z)ds
=e−k(t−t0)Nk(y−z)
ek(t−t0)−1 6Nk(y−z)
1−e−k(t−t0)
De la même façon, si t6t0, on montre quee−k(t0−t)kF(y(t))−F(z(t))k6Nk(y−z) 1−e−k(t0−t). Ainsi, on a :
∀t∈I, e−k|t−t0|kF(y(t))−F(z(t))k6Nk(y−z)
1−e−k|t−t0| On prend alors le maximum surIet on obtient :
Nk(F(y)−F(z))6 1−e−kl
| {z }
<1
Nk(y−z)
La fonction F est donc contractante sur(E, Nk), qui est complet ; doncF admet un unique point xe sur E. Ainsi,(P)admet une unique solution, qui est dénie sur tout I.
Étape 4
Maintenant, on conclut dans le cas où l'intervalleI est quelconque.
On peut écrireIcomme une union croissante d'intervalles compactsI= S
j∈NIj, avec pour toutj∈N,t0∈Ij. D'après ce qui précède, pour toutj, on peut dénir la solutionyj de(P)surIj.
Soit y une solution de (P) sur I. Alors, pourj ∈N, par unicité de la solution sur Ij, on a : y|Ij ≡yj. Ainsi, la solutiony est unique surI.
Réciproquement, lesyj se raccordent (par unicité sur les Ij) et donc la fonctiony:t∈I→yj(t)sit∈Ij
est bien dénie et est solution de (P).
Ainsi, le problème(P)admet une unique solution dénie surI tout entier.
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