Repérage sur le cercle

La trigonométrie dans le triangle rectangle est bien utile pour calculer des angles et des longueurs, mais hélas elle se limite aux angles aigus !

Nous allons donc choisir cette année une nouvelle unité de mesure d'angles et une nouvelle définition des sinus et cosinus (compatibles bien sûr avec les résultats déjà connus !) qui ouvriront à terme un nombre incroyable de possibilités !

I) LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE 1) Définition

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; ⃗i, ⃗j) , on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon 1.

On définit alors un sens positif de parcours (sens contraire des aiguilles d'une montre), appelé « sens direct » ou « sens trigonométrique ».

2) Enroulement de la droite des réels

Soit M un point quelconque de . Pour préciser sa position, on enroule une droite graduée d d'origine I(1 ; 0) autour de et on note quelle graduation  sur d va correspondre au point M.

Ex : Au point M de tel que la longueur de l'arc IM vaut 1, on associe le réel  = 1.

O

I

M

⃗j

x = 1

–1

d

+

Repérage sur le cercle et trigonométrie

3) Valeurs remarquables de 

La longueur du cercle étant 2 , les valeurs de   qui correspondent à des points « simples à placer » seront des fractions de .  Il y a en effet proportionnalité entre la mesure de l'angle au centre et la longueur  de l'arc intercepté.

 0 π π₂ π_{4 3}π 2 π₃ π₆ −π₂ −π₄

̂

IOM 0° 180° 90° 45° 60° 120° 30° 90° 45°

4) Mesure d'un angle en radians

À chaque réel  correspond un point M et donc un angle ̂IOM . La valeur de  peut donc permettre de « mesurer » l'angle ̂IOM . On appelle  : « mesure en radians » de l'angle ̂IOM .

Le tableau précédent donne la correspondance radian-degrés des angles usuels. Il y a donc une correspondance entre :

● La position d'une graduation  sur la droite des réels.

● La position du point M associé à  sur le cercle trigonométrique. ● La longueur  de l'arc IM.

● La mesure en radians  de l'angle ̂IOM .

Le radian sera désormais l'unité de mesure d'angles privilégiée en mathématiques !! 5) Et si la droite des réels fait plusieurs tours ?

Plaçons ci-dessous les points associés aux réels −π 2 ;

3 π 2 ;

7 π 2

On constate que ces trois réels sont associés au même point !

O

I

II) SINUS ET COSINUS D'UN RÉEL QUELCONQUE 1) Définition

Soit le cercle trigonométrique muni du repère (O ; ⃗i, ⃗j) . Soit  un réel quelconque, et M le point de associé à . On appelle alors « cos  » et « sin  » les coordonnées de M.

2) Lien avec la trigonométrie du collège Dans la figure précédente, on a choisi  ∈

_[

2

]

On a alors dans le triangle HOM rectangle en H : ● cos α=cos ̂HOM =OH

OM= OH

1 =OH =xM ● sin α=sin ̂HOM =HM

OM = HM

1 =HM = yM 3) Propriétés

D'après la définition ci-dessus, on a pour tout  de :ℝ ● –1 cos  1 et –1 sin  1

● cos²  + sin²  = 1

● cos(– ) = cos  et sin(– ) = – sin 

● quelque soit l'entier relatif k, cos( + k ×2 π ) = cos  et sin( + k ×2 π ) = sin 

I

O

⃗j

M

4) Valeurs remarquables des sinus et cosinus  0 π₆ π₄ π₃ π₂ π cos  1

√

√

√

√

√

√

Pour tout  ≠ k ×2 π (k ∈ ℤ

)

1) Valeurs exactes de cos x et de sin x

Méthode : Ajouter ou retrancher plusieurs fois 2 de façon à obtenir une valeur de  x dont on puisse déterminer le sinus ou le cosinus à l'aide du cercle trigonométrique.

Ex : Déterminer : cos80 π 3 et sin 80 π 3 Rédaction : On remarque que : 80 π 3 = 13×6 π 3 + 2 π 3 =13×2 π+ 2 π 3 80 π 2 π −1 O π 6 −5 π 6 5π 6 3π 4 2 π 3 π 2 π 3 π 4 −2π 3 −3 π 4 _−π 3 −π 4 −π 6 −π 2 π ⃗j ⃗i 1 2 √ 2 2 √3 2

0

2) Valeur exacte de sin x connaissant cos x et vice versa Méthode : Utiliser la propriété cos2

x+sin2x=1 Ex : Déterminer : sin x sachant que cos x=5

9 et x [0∈ ; ] Rédaction :

Pour tout x de , on a ℝ cos2x+sin2x=1

or cos x=5 9 donc 25 81+sin 2 x=1 donc sin2x=1−25 81= 56 81 donc sin x=

√

√

De plus x [0∈ ; ], donc sin  x 0 Bilan : sin x=

√56

9 = 2

√14

9

3) Équation – inéquation du type cos x = a dans un intervalle Ex 1 : À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre :

(E) : cos x=

√

2 avec x [0∈ ; 2 [ Rédaction :

D'après le cercle trigonométrique ci-contre, on a : (E) ⇔ x= π 6 ou x= 11 π 6 S =

{

}

Ex 2 : À l'aide du cercle trigonométrique, résoudre : (I) : sin x <−1

2 avec x ]–∈  ; ] Rédaction :

D'après le cercle trigonométrique ci-contre, on a : (I) ⇔ −5 π 6 <x <− π6 S =

]

[

O

J

I

O

J

I