En notations de vecteurs (au lieu de matrices) on s’int´eresse aux fonctions t ∈I→y(t)∈Kn telles que y0(t) =a(y(t)) pour tout t ∈I

MT241. Cours n^o 22, vendredi 13 d´ecembre 2002.

Soient A ∈ Mn(K) une matrice de taille n×n, et I un intervalle non vide de R;

d´esignons par S_K(I) l’ensemble de toutes les fonctions t → Y(t) d´efinies sur I, `a valeurs dans Kⁿ telles que

∀t∈I, Y⁰(t) = AY(t).

Il s’agit d’un K-espace vectoriel de fonctions.

Rappel: cas diagonalisable

D´esignons par a ∈ L(Kⁿ) l’endomorphisme de Kⁿ dont la matrice dans la base canonique est A. Supposons a diagonalisable, et soit (v₁, . . . , v_n) une base de Kⁿ telle que a(vj) =λjvj, pour j = 1, . . . , n. En notations de vecteurs (au lieu de matrices) on s’int´eresse aux fonctions t ∈I→y(t)∈Kⁿ telles que y⁰(t) =a(y(t)) pour tout t ∈I.

Proposition. L’espaceS_K(I) est ´egal `a l’ensemble de toutes les fonctions vectorielles de la forme

t∈I → Xn

j=1

cje^λjtvj.

Les n fonctions t → e^λjtv_j forment une base de S_K(I), qui est donc de dimension n.

Pour tout vecteur y0 ∈ Kⁿ donn´e et tout t0 ∈ I, il existe une solution unique sur I de y⁰(t) =a(y(t)), `a valeurs dans K^d et telle que y(t₀) =y₀.

D´emonstration. Supposons que t → z(t) ∈ Kⁿ soit solution, c’est `a dire que z⁰(t) = a(z(t)) pour tout t ∈I. On peut ´ecrire dans la base (vj), pour tout t ∈I

z(t) = Xn

j=1

zj(t)vj

o`u z_j(t)∈K pour tout j = 1, . . . , n. Alors a(z(t)) =

Xn

j=1

λjzj(t)vj

et

a(z(t)) =z⁰(t) = Xn

j=1

z_j⁰(t)vj.

L’unicit´e des coordonn´ees dans la base (vj) donne les n´equations diff´erentielles scalaires z_j⁰(t) =λ_jz_j(t), dont les solutions sont de la formez_j(t) =c_je^λjt pour un certainc_j ∈K.

On a donc

∀t∈I, z(t) = Xn

j=1

cje^λjt vj.

R´eciproquement, on a d´ej`a dit que les fonctions de cette forme sont des solutions de l’´equation. Montrons que les n fonctions fj(t) = e<sup>λjt</sup>vj forment une base de SK(I): elles sont g´en´eratrices d’apr`es ce qui pr´ec`ede; d’autre part si

c₁f₁+· · ·+c_nf_n = 0_SK(I)

on aura pour t0 ∈I quelconque

c1e^λ1t0v1+· · ·+cne^λnt0vn= 0Kⁿ

ce qui donnecje^λjt0 = 0 pourj = 1, . . . , npuisque (vj) est une base, puiscj = 0 puisque l’exponentielle n’est jamais nulle.

Etant donn´e un vecteur´ z₀ ∈Kⁿ quelconque, ´ecrivons z0 =

Xn

j=1

z0,jvj; on voit que

z(t) = Xn

j=1

z0,je^−t0λje^λjtvj

est une solution v´erifiant z(t₀) = z₀; on v´erifie que c’est la seule en passant aux coor- donn´ees dans la base (vj) et en utilisant l’unicit´e en dimension 1.

Cas g´en´eral: une m´ethode lourde mais imparable Exemple. Consid´erons le syst`eme `a matrice non diagonalisable

y₁⁰(t) =λy1(t) +y2(t) y₂⁰(t) = λy2(t).

On r´esout d’abord la seconde ´equation,

y2(t) =c2e^λt.

On reporte ensuite dans la premi`ere ´equation pour obtenir une ´equation avec second membre

y₁⁰(t)−λy₁(t) =c₂e^λt que l’on sait r´esoudre. On trouve une solution de la forme

y1(t) =c1e^λt+c2te^λt.

Th´eor`eme.Pour tout vecteurY0 ∈Kⁿ donn´e il existe une solution unique deY⁰ = AY,

`a valeurs dans K et telle que Y(t0) = Y0.

D´emonstration. On raisonne d’abord dans C, o`u on peut toujours ´ecrire A = P⁻¹UP

avec U∈Mn(C) triangulaire sup´erieure. On pose Z(t) = PY(t), et on voit que l’´equation Y⁰ = AY, avec Y(t0) = Y0, ´equivaut au syst`eme Z<sup>0</sup> = UZ avec Z(t0) = Z0 := PY0; on r´esout ce syst`eme triangulaire en commen¸cant par la derni`ere ´equation, puis en remontant de proche en proche; `a chaque ´etape les r´esultats de dimension un nous garantissent existence et unicit´e.

Vers l’exponentielle de matrice Majorations de la norme

Pour toute matrice A∈Mn(K) on pose kAk₂ =¡Xⁿ

i,j=1

|A_i,j|²¢_1/2 .

Il s’agit de la norme usuelle du “vecteur” de Kⁿ² correspondant `a la matrice A. Pour tout vecteur colonne X∈Kⁿ on a alors l’in´egalit´e

kAXk ≤ kAk2kXk.

Le coefficient Yi du produit Y = AX est ´egal `a P_n

j=1 Ai,jxj, et on peut majorer avec Cauchy-Schwarz

|Y_i|² ≤¡Xⁿ

j=1

|A_i,j| |X_j|¢₂

≤¡Xⁿ

j=1

|A_i,j|²¢¡Xⁿ

j=1

|X_j|²¢ c’est `a dire

|Yi|² ≤¡Xⁿ

j=1

|Ai,j|²¢ kXk², et ensuite

kYk² = Xn

i=1

|Yi|² ≤¡Xⁿ

i=1

Xn

j=1

|Ai,j|²¢

kXk² =kAk²₂kXk². Majoration des accroissements finis: le cas vectoriel

Lemme. Si f : [a, b]→Kⁿ est d´erivable (o`u a < b), avec d´eriv´ee continue, alors kf(b)−f(a)k ≤

Z _b

a

kf⁰(t)kdt.

V´erification pour R² pour simplifier. Fixons un vecteur v= (v1, v2)∈R² et calculons (f(b)−f(a)). v= (f₁(b)−f₁(a))v₁+ (f₂(b)−f₂(a))v₂ =

= Z _b

a

¡f₁⁰(t)v1+f₂⁰(t)v2

¢dt= Z _b

a

(f⁰(t). v)dt ce qui permet de majorer avec Cauchy-Schwarz

¯¯(f(b)−f(a)). v¯

¯≤ Z _b

a

kf⁰(t)k kvkdt, et on termine en choisissant v=f(b)−f(a).

Approximations successives

On d´esignera la dimension par d, pour ne pas m´elanger avec l’indice n utilis´e pour les suites de vecteurs ci-dessous. Soit A ∈ Md(K); si Y(t) est solution de Y⁰ = AY sur un intervalle I contenant 0, et si on pose Y0 = Y(0), alors

°°

°Y(t)−

³

In+tA +· · ·+ tⁿ n!Aⁿ

´ Y0

°°

°

tend vers 0 quand n→+∞, pour tout t∈I.

Consid´erons pour tout n≥0 la fonction vectorielle d´efinie sur I par fn(t) = Y(t)−¡

Y0+tAY0+· · ·+ tⁿ n! AⁿY0

¢.

Pour n = 0, on note simplement que t → kf0(t)k = kY(t)−Y0k est continue, donc born´ee par un certain M sur [a, b]⊂I, o`u on choisit a <0< b. On a fn(0) = 0 et

f_n⁰(s) = AY(s)−¡

AY0+· · ·+ sⁿ⁻¹

(n−1)!AⁿY0

¢= Afn−1(s)

donc kf_n⁰(s)k ≤ kAk2kfn−1(s)k. La majoration des accroissements finis, appliqu´ee `a l’intervalle [0, t] pour unt∈[a, b] permet de montrer de proche en proche quekfn(t)k ≤ MkAkⁿ₂ tⁿ/(n!). On commence avec

kf1(t)k=kf1(t)−f1(0)k ≤

¯¯

¯ Z _t

0

kf₁⁰(s)kds

¯¯

¯≤MkAk2|t|.

Cours n^o 23, lundi 16 d´ecembre 2002.

Parenth`ese: l’espace physique

L’espace E qui sert `a traiter de la g´eom´etrie, qui est aussi l’espace de la physique, n’est pas un espace vectoriel, mais un ensemble depoints. Mais ´etant donn´es deux points A et B, on donne un sens auvecteur−→AB, ´el´ement d’un espace vectoriel E =−→E; ladistance de deux points P et Q not´ee d(P,Q) est d´efinie par d(P,Q) = k−→PQk. On peut arriver `a donner un sens `a des op´erations telles que

B = A +−→AB

qui signifient que les vecteurs repr´esentent des d´eplacements entre points. Si on a un mouvement t →M(t), sa d´eriv´ee sera bien un vecteur, mais qu’il faut ´ecrire comme

−

→v(t₀) = lim

h→0

1 h

−−−−−−−−−−−→

M(t₀)M(t₀+h).

Pour d´efinir l’acc´el´eration, on va d´eriver la fonction vectorielle −→v(t), donc on retrouve en gros le cadre que nous avons choisi pr´ec´edemment.

Si on fixe un rep`ere orthonorm´e (O,−→i ,−→j ,−→

k) de l’espace, les points comme les vecteurs admettent une repr´esentation par des ´el´ements de R³, par l’interm´ediaire de leurs coordonn´ees (ou de leurs composantes) dans ce rep`ere. C’est pourquoi on choisit souvent de ne parler que d’´el´ements deR³, qui seront selon les cas consid´er´es comme des points ou comme des vecteurs.

Exponentielle de matrice Suites convergentes

D´efinition. On dit qu’une suite (v_n) de vecteurs de K^d tend versle vecteurv ∈K^d (ou converge vers v) si kvn−vk tend vers 0 quand n tend vers l’infini.

Proposition.Caract´erisation de la convergence avec les coordonn´ees.Pour chaquen≥0 on donne un vecteurv_n= (v_n,1, . . . , v_n,d)∈K^d. La suite(v_n)de vecteurs deK^d converge

vers w = (w1, . . . , wd) ∈K^d si et seulement si pour tout i = 1, . . . , d la suite num´erique (vn,i) converge vers wi quand n tend vers l’infini.

Lemme. Si la suite (vn) deK^d tend vers w, il en r´esulte que kvnk tend verskwk.

D´emonstration. Il suffit de noter que

¯¯kv_nk − kwk¯

¯≤ kv_n−wk.

Il en r´esulte qu’une suite convergente de vecteurs (vn) est born´ee, c’est `a dire qu’il existe un nombre M tel que kvnk ≤M pour tout entier n≥0.

Lemme. Si A,B∈Md(K) on a

kABk2 ≤ kAk2kBk2.

On a d´ej`a vu le cas o`u B = X est une matrice colonne. Dans ce cas kAXk₂ ≤ kAk₂kXk.

On consid`ere maintenant B comme matrice form´ee de vecteurs colonne B₁, . . . ,B_d. La matrice C = AB est form´ee des colonnes AB1, . . . ,ABd, donc

kCk²₂ = Xd

j=1

Xd

i=1

|C_i,j|² = Xd

j=1

kAB_jk² ≤ kAk²₂ Xd

j=1

kB_jk² =kAk²₂kBk²₂, ce qui ach`eve la v´erification.

Cette majorationkAXk ≤ kAk2kXk n’est pas toujours tr`es pr´ecise. Par exemple, si A = I_d, on voit que kAk₂ = √

d, ce qui nous donnera l’in´egalit´e kAXk ≤ √

dkXk, alors qu’en faitkAXk=kXk! On peut d´efinir une autre norme pour les matrices qui donnerait une meilleure majoration.

Pour toutn≥1

kAⁿk2 ≤ kAkⁿ₂.

Comme expliqu´e, on n’a pas l’in´egalit´e pour n= 0 pour cette norme.

Limite de produits de matrices. Si(An) tend vers A et(Bn)vers Bet si les produits ont un sens, le produit AnBn tend vers AB.

On ´ecrit

AnBn−AB = (An−A)Bn+ A(Bn−B) ;

on sait que la suite (Bn) est born´ee, disons par M, puisqu’elle est suppos´ee convergente;

alors

kAnBn−ABk ≤ kAn−AkM +kAk kBn−Bk →0.

S´eries de vecteurs. On dit que la s´erie de vecteurs P

v_n converge si la suite des sommes partielles converge.

S´eries normalement convergentes de vecteurs dans K^d: si P

kunk < +∞, la s´erie de vecteurs P

un converge dans K^d.

On d´emontre facilement le r´esultat en passant aux coordonn´ees. Dans le cas parti- culier des s´eries de matrices, on obtient le principe suivant :

si P

kAnk<+∞, la s´erie de matricesP

An converge dans Md(C).

Etant donn´ee une matrice A de taille d×d, la s´erie num´erique `a termes positifs X °°

°Aⁿ n!

°°

°≤XkAkⁿ n!

est convergente, ce qui permet de poser e^A=

+∞X

n=0

Aⁿ n! . On voit que ke^Ak2 ≤ √

d+ e^kAk2. Le terme √

d n’a pas de sens int´eressant: il r´esulte d’un d´efaut de la norme que nous utilisons pour les matrices.

L’´equation fondamentale

(∗) d

dte^tA = A e^tA = e^tAA.

D´emonstration. Posons M(t) = e^tA et pour tout n≥0 posons M_n(t) = I_d+tA + t²

2! A²+· · ·+ tⁿ n! Aⁿ. On aura si |t|<T

kMn(t)k2 ≤√

d+ e^TkAk2 =: K.

On voit que M⁰_n+1(t) = AMn(t); si on fixe t0 tel que |t0| < T, et si on pose pour s tel que |s|<T− |t0|

f1(s) = Mn+1(t0+s)−Mn+1(t0)

on a f1(0) = 0, et kf₁⁰(s)k = kA Mn(t0 +s)k2 ≤ KkAk2. La majoration des AF nous donne

kf₁(s)k=kf₁(s)−f₁(0)k ≤

¯¯

¯ Z _s

0

kf₁⁰(u)kdu

¯¯

¯≤KkAk₂|s|.

En posant ensuite

f2(s) = Mn+2(t0+s)−Mn+2(t0)−sAMn+1(t0) on a encore f2(0) = 0, et

kf₂⁰(s)k=kAM_n+1(t₀+s)−AM_n+1(t₀)k ≤ kAk₂kM_n+1(t₀+s)−M_n+1(t₀)k₂ =

=kAk2kf1(s)k ≤KkAk²₂|s|.

La majoration des AF nous donne maintenant

kf2(s)k=kMn+2(t0+s)−Mn+2(t0)−sAMn+1(t0)k ≤

¯¯

¯ Z _s

0

|u|du

¯¯

¯= KkAk²s²/2.

En passant `a la limite quand n→+∞, pour s fix´e

kM(t0+s)−M(t0)−sAM(t0)k ≤KkAk²s²/2 donc

s→0lim

°°

°M(t0+s)−M(t0)

s −AM(t0)

°°

°= 0.

Rappel d’exemples. Pour la rotation R d’angle π/2 on a vu que e^tR est la matrice de rotation d’angle t: on v´erifie bien la formule sur ce cas particulier.

Retour aux ´equations diff´erentielles

D´eriv´ee d’un produit matriciel. Soient t → A(t) et t → B(t) deux fonctions `a valeurs matrices d´efinies sur un intervalle ouvertI; on suppose que le produitA(t)B(t)est d´efini, et on suppose que tous les coefficients des deux matrices sont d´erivables surI. La d´eriv´ee de la fonction produit t →A(t)B(t) est ´egale `a

A⁰(t)B(t) + A(t)B⁰(t) (attention `a garder l’ordre ab des termes).

Proposition. La fonction Y : t → e^tAY₀ est la solution de Y⁰(t) = AY(t) telle que Y(0) = Y0.

Si Y(t) = e^tAY₀, on obtient en d´erivant Y⁰(t) = A e^tAY₀ = AY(t), donc on a bien une solution. On a expliqu´e avec la m´ethode lourde mais imparable qu’il y a unicit´e de cette solution, donc c’est bien la solution.

Remarque. Les colonnes Y_j de l’exponentielle sont les solutions de Y⁰ = AY qui partent des vecteurs ej de la base canonique `a l’instant t = 0. Dans certains cas cette remarque permet de calculer rapidement l’exponentielle, en r´esolvant lesd ´equations diff´erentielles correspondant `a cesddonn´ees initiales. C’est le cas bien sˆur pour les matrices diagonales, mais dans ce cas le calcul direct de la matrice exponentielle est lui aussi tr`es rapide.

Autres propri´et´es de l’exponentielle On note que

e^0d = Id. Proposition. Si les matrices A et Bcommutent, on a

e^A+B = e^Ae^B.

En particulier, la matrice e^A est inversible et son inverse est e^−A. D´emonstration. On remarque que si AB = BA,

(∗∗) B e^A= lim

n B (Id +· · ·+ Aⁿ

n! ) = lim

n (Id+· · ·+ Aⁿ

n! ) B = e^A B.

On introduit la fonction t→f(t) `a valeurs matrices d´efinie par f(t) = e^tA+tBe^−tAe^−tB,

dont on montre que la d´eriv´ee est nulle, grˆace aux propri´et´es (∗) et (∗∗) ci-dessus, f⁰(t) = (A + B) e^tA+tBe^−tAe^−tB+ e^tA+tB(−A) e^−tAe^−tB+ e^tA+tBe^−tA(−B) e^−tB = 0.

En ´ecrivant que f(1) =f(0), on obtient la relation e^A+Be^−Ae^−B = I_d.

En appliquant ceci `a B = −A, on trouve e^Ae^−A = Id, ce qui permet de transformer la relation pr´ec´edente en e^A+B= e^Be^A.

Unicit´e, retour

On peut maintenant retrouver l’unicit´e par une m´ethode plus ´el´egante:

si Y est solution de Y⁰ = AY sur un intervalle I contenant t₀, on a

∀t ∈I, Y(t) = e^(t−t0)AY(t₀), ce qui montre l’unicit´e.

La d´emonstration est quasiment identique `a celle qui a ´et´e donn´ee dans le cas de la dimension 1: posons Z(t) = e<sup>−tA</sup>Y(t), c’est `a dire que Y(t) = e^tAZ(t). Si Y⁰(t) = AY(t) on obtient

Z⁰(t) =−A e^−tAY(t) + e^−tAY⁰(t) =−A e^−tAY(t) + e^−tAAY(t) = 0, donc Z est constante, Z(t) = Z(t0) = e^−t0AY0 et

Y(t) = e^tAe^−t0AY(t0) = e^(t−t0)AY0.

Corollaire. Si A∈M_d(K) est de taille d×d, l’espace S_K(I) est de dimension d sur K.

En effet il r´esulte de ce qui pr´ec`ede que l’application lin´eaire Y →Y(t₀) est un isomor- phisme de SK(I) sur K^d.