'xx =! 2

Leçon 41 : Proportionnalité ^inverse

l. ^Activités

Activité I

Soit y

la durée (en h) mise

pour parcourir

^240km à [a vitesse x ^km i h _'

Voici

la durée selon ^la vitesse'

X 40 60 ^{80 100}

t20

v 6 ^{4 3}

r2ls

²

Compléter ^les pointillés et le tableau .

Si x=4o alors y=24ol4o:6'

.

Si x:60 ^alors

Y=....

.

Si.x=80 alors y=..'.

- -2,

_x ^{telle que}

représentative

suivant

x

:100

_alors y

-....

x =120 alors

y:....

y

^est inversement

à x.

de cette relation ^{dans un repère} orthonormé'

a. ^:

Si Si

x 40 60 80 100

t20

v 6 4 3

t2l5

²

ylx xxy

Larelationentre x

^et

y peutreprésenterparl'équation 240=""" ou y-"""'

Le nombre d'heures ^est inversement proportionnel ^à latvitesse'

b.

Tracer la courbe représentative de ^cette

relation

^{dans un repère} orthonormé'

Activité 2

^|

Soit

l'équation

Y

Tracer la courbe

Activité

³

Si

^{y, est} inversement proportionnel

à

x _'

Pour Y = 30

et

x

: 4,

^{écnre cette relation'}

2.

^Essentiel

1.

Définition

Soit deux grandeurs

x

et y

. y et x

^sont inversement

proportionnelles

^lorsque

1t-

v

=kx' =! ^tel

^que

'xx

^{ft est un} nombre fixe

non'nul'

r78

L'égalité |

⁼

kx;:

IL

;

^{tel que}

^k

^{est un nombre}

^{fixe non}

^{nul peut}

s'interpréter

par

( y

est inversement proportionnel

à

x >.

Le

nombre

fr

est appelé le

coefficient

de proportionnalité inverse.

f)ans

une situation de proportionnalité _inverse

lorsqu'on

écrit une

égalité

du

type .K, y=

_x

_{_}

tel

que k+0et x+0, onpeutaussiécrire l'égalitét xy:kavec k+0.

Exemple 1.

Tracer la courbe

d'équation y:9

,"prérentant la proportionnalité inverse.

x Solution

De l'équation

_{y =}

3

^{on déduit}

^{que xy:6}

donc 6 est

le

coefficient de

X

proportionnalité

inverse. j

On dresse le tableau suivant :

Graphique.

La

courbe représentative n'est pas une droite.

Elle

est symétrique par rapport à

l'origine.

Exemple 2.

Tracer la courbe d'équation _{y =}

-9

,"présentant la proportionnalité inverse.

x Solution

I

De l'équation y

- -6

^{on déduit que xy}

^=-6

^donc

-6

^{est le} coeffrcient de

X

proportionnalité inverse.

\

179

X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 I 2 ^-tJ 4 5 6

v

-l

-1.2 -1r5 ^.t _-J -6 ^X 6 J 2 1,5 1,2 1

X -6 -5 -4 ^{-Ja a}

-l

^{0 I 2 J 4} 5 6 v I 1,2 1,5 2 J^-l 6 X -(t -3 -2 - 1,5 -1,2

-l

C2

On

^dresse le tableau suivant ^:

Graphique.

Exemple

3. .

Si v estinversementproportionnelà t et v=2 ^pour t=3.Ecrirelaformule

,

représentant la proportionnalité inverse puis tracer sa courbe représentative.

Solution

Soit

v =

! _{t.l que k}

_{est le}

coefficient

de proportionnalité. inverse.

t^

Onreport€ v:2 et

t=3dans

l'équation - v=5, t' or obtient 2=+

³

soit /r:6.

Donc

l'équation cherôhée est-y =.9

t

Courbe représentative.

180

2.

Résolution d'un problème. \

.

Exemple l.

Pour fabriquer

unc

arrnoire, _un

menuisier

met 3 heures et son fils met 5 heures.

Ils

décident à

fabriquer

ensemble.

Aider-les

à calculer

la

durée pour

fabriquer

une armoire-

Solution

Notons x

la durée (en h) mise à

fabriquer

une armoire.

-

Le

menuisier

met

-r heures pour

I

_armoire.

J

- Son

fils

met

r n"u.",

pou,

] ₎

^armoire.

Donc

pour fabriquer une armoire,

il faut

^:

.35

8x - ^l5

soit t:T t5 Vérification

Ona g*g=t 53

l5

-

Le

menuisier

rnet !l

₈

h"u.., pour + : : _{t - g}

^armoiannolre

l5

- Son

fils

met ¹⁵ '-

--- - 8

³

1 ^g heuresnourf :,

_armoire.

Donc

^pour fabriquer une armoire,

il leur faut ]! h.rr."r.

Exemple 2.

Pour parcourir.une certaine distance, un véhicule a

mis 6min

à la vitesse constante de 50km / h .

Un

autre a

mis

⁵ min

Quelle ^{est la vitesse}

du

second véhicule ?

Solution

Notons

v la vitesse (en _{km/h) et}

r

le temps (en s).

D'après

I'hypothèse, on

a; v=L

t

1==)h 6r,k

^dans l'équation

v:a _{, on} a:

Reporter

^y=50

_et I: rr, ^=U;

t8l

Numération

Calculer

^v

Reporter

^{/ =}

5.t:

^{l'équatio n}

^{u=+, on}

^a

3600

600

-

l,

-n120 t2

dans

I

,,- i 'ttz

=720

=60

720

Le

secohd véhicule

roule

^{à la vitesse 60lcmlh}

Bxercices

1.

^a.

^Pour

^chaque

^tableau

^:

.

Dire ^si

^{y est} inversement proportionnel

à

^x'

-Sioui,dansl'affirmative,donnersoncoefficientpuisécrirel'égalitédecette

situation.

a).

D,aprèsa. ^dans

le

cas où y

estinversementpropo4ionnel

^à

x

' est-ce

que

x est inversement ProPortionnel

à

_Y ^?

Si

oui, trouver son coefficient

puis

écrire ^cette

équation'

Est-ce ^que

l'informative

ci-dessous est ^{vraie ?}

Pourquoi

^{? < En général'}

si

^y

est inversement proportionnel

à x alors

^{x est} inversement proportionnel ^à

c). d).

b.

c.

X I 2

I

J 4

v t2 ^{6 4 J}

b).

x ^{3 6} 9

l2

v ^{6 9}

t2 l5

X

-2 -1 v2 ⁶

v ^{2 4 -8}

-213

x ^a

)

2 I

t/2

v v2 ^{314 312 3}

y>.

i

d. Si ^y

^est inversement proportionnel

à x

, est-ce Que

y

est proportionnel ^U

:'

t82 Pourquoi ^?

2. Dans

chaque cas,

y

est invercement

proportionnel

_à

x. Tracer

la-courbe représentative dans un repère orthonormé.

à.

y

: _- -

3 ^{passant par les points}

(l;-3)et (_l;3).

x

b:

y

: a

_x

-

passant par

I'origine,

les

points (2;l)

et

(-2;-l).

3. ^y

estinversementpro.portionnelà

x et y:g telque x=3.

a.

Donner

l'équation de cette sifuation

b- Comment est la

valeur

de y, sï'xest

doublé

?

c-

comment

est la

valeur d"

y, si xest augmenté de 20% ?

4.

¹²

ouvriers

développent une route en 15 semaines. En

combien

de temps développent cette route

par

30 ouvriers ?

5.

Un automobiliste a

parcouru

_40hn.Un

bicycliste

a parcouru 15

hn

On sait que

ces

deux

personnes ont

mis

la même durée

du

trajet et que

Ia

vitesse du

bicycliste

est 20bnlh de moins que celle

de

I'automobiliste- Calculer la vitesse de chacun-

183