Note sur les maxima d'un produit

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A UGUSTE D ELADÉRÉERE Note sur les maxima d’un produit

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 3 (1844), p. 165-167

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(2)

NOTE SUR LES MAXIMA D'UN PRODUIT.

P A R M. AUGUSTE D E L A D É R É E R E , professeur, licencie è& bcience* phjsique:» et mathématiques.

Décomposer un nombre a en parties telles que le produit do puissances positives déterminées de ces parties soit un maximum.

Soient

J , / , Z , M

..ces parties, on a x\y-\-z+u\-...~a.

Or, en appelant m, /,/, q, les exposants des puissances , il faut que jc

mK

y

n

z

p

u

q

... soit un maximum. Et il est évi-

x

m

r

H

z

p

u

q

...

dent qu on y satisfera en rendant —

lm n p q

un

mum ; car le dénominateur est constant.

(3)

Mais on a m

m

— 166 —

xmynzpuq... xxx y y zz uu

m . . . .

m mm n n pp qq

et il est aussi évident que — + — + —+ ... + ~ + ^ - + • • • m l m l m n n

+ « + - =F<z- C'est donc comme si on pro- posait de décomposer « en m-J-zi-f-^-l-^ -}- ...facteurs

— . — . . . - . - . . . - . - ... - . - . . . , dont le produit soit m m n n p p q q

maximum, et l'on sait qu'il faut, pour cela, que tous les oc Y z u

f a c t e u r s s o i e n t é g a u x ; o n a d o n c — = - = : - = - . . . p o u r m n p $ les équations qui, conjointement avec x-\-y-\-z-\-u...= a, serviront à trouver les valeurs de x,y, s, u ... qui rendent le produit maximum j il y a autant d'équations que d'incon- nues , et l'on a

an x =

z = etc.

On voit en même temps que, par le même procédé, ou rendrait x~my~nz~f> u~q... = • — minimum.

11 en serait de même pour

car élevant à la m n' p' q'.. .i é m e puissance, on aura

xmn'p'ïynm'p'q' zp™'n'<f U^'^'P' ; et si ce produit est maxi- mum , il en sera de même de l'autre. Donc il suffit de poser

x r z « ,. .

—r-r-7 = —T T-i = — -r r- = — — - = ..., ou divisait

mnpq' îimpq pmnq qmnp'

, , r ,

par m n ri n. / m \ H p q

Vyy n' r' q'

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— 167 — Enfin, on rendra par le même procédé,

x my p' z p' u 9. . . un minimum.

Cette question est ainsi démontrée par l'algèbre élémen- taire. (Voir t. I I , p. 417).