Solution de la question 241

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

T H . L OXHAY

Solution de la question 241

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 11 (1852), p. 424-426

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SOLUTION DE LA QUESTION 241

(TOir t. X, p. 3S7);

PAR M. TH. LOXHAY, Répétiteur à l'École militaire de Belgique.

Soit

T„-H2=:«Tn_H1 — £T„,

équation caractéristique d'une série récurrente; on a

T ' —• fi T T* I /» Tp 2

- ^ t l " ""h> - = constante. (EULER.)

Solution. L'échelle de relation de la série récurrente étant composée de deux termes, on sait que la fraction génératrice aura la forme —, j ~ ; cette fraction

° a'-H $'x -h x²

pourra se décomposer en deux fractions partielles, A

T>

et -, de sorte que l'on aura

a - h Sx A B a' -f- p'x -f-x3 x — p x — q avec les relations

— fI

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**( 4 * 5 )**

P o u r déterminer les quantités a et i , i l faut r e t ? quer que l e terme général de la série récurrente est doaalf par l a formule

et, par suite,

T „+, = •

Subti tuant ces valeurs dans l'équation caractéristique, on aura

— — — ai— —

mais ce résultat devant subsister pour toutes les valeurs imaginables de À et B, on obtiendra, en égalant séparé- ment les coefficients de ces quantités à zéro,

i — fl^ + ^ - o , i — aq -h bq* = o ; d'où

Si l'onmultiplie successivementTⁿpar - et par - , et que Ton retranche des deux produits Tn + 1, il viendra

Tn _ B / i i \

p q \p 91 q n pn \ q p I '

multipliant encore ces deux résultats l'un par l'autre, on aura

pq \p q

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(4*6)

-«(puis, en remplaçant - - par a, —par b, et —^ par b",