Seconde solution de la question 453

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

A STIER

Seconde solution de la question 453

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 18 (1859), p. 71-72

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SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 453 :

PAR M. ASTIER, DE LYOW.

Dans la formule connue

\ogp=hml— h -H )

°^r \n-+- i pn )

onsidérons la suite

i i

hn An H- i * (Â - j - //) n

On a évidemment à la limite

log/? = S²+ . . . + S i i + . . . + S^iJ.

Si Ton fait la somme deux à deux des termes cquidistants

(*) Cette îemarque appartient a M Michaux

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( 7 * )

des extrêmes, le numérateur sera constant et égal à kn + (k + i ) « ,

Je dénominateur sera toujours plus grand que

/ « X (k -f- i)n et plus petit que

[~X HT- n H- i) n~V Donc

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et, en remplaçant « - f i par /^, ce qui est permis, à la limite

ou, à fortiori,

Donc

et

i i i i i . i i

H 1 + 1 < H h..-H

2 ƒ> 2

2 3 p — I 2 ƒ> 2 /? — I

d'où l'on conclut

log («H- i ) < - - H - H - . . . + - < ! • + - log«.