5 49 43

A552. Des diviseurs à gogo ***

Q Démontrer que l'entier 3₁ ¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ est divisible par 7,13,31,43,49,181 et 379 mais ne l'est pas par 5 ou 11 ou 17 ou 19.

Q Démontrer que chacun des entiers :₂ N = 2₁ ¹²⁵ + 1 048 576, N = 3₂ ¹²⁵ + 3 486 784 401, N = 5₃ ¹²⁵ + 95 367 431 640 625

a un nombre de diviseurs distincts qui est un multiple de 2016.

Q1 :

On montre (par récurrence) que :

3^{2n –1}4²ⁿ⁻¹ se divise par 7 3^{6n –3}4⁶ⁿ⁻³ se divise par 13

3^{30n –15}4³⁰ⁿ⁻¹⁵ se divise par 31 3^{42n –21}4⁴²ⁿ⁻²¹ se divise par 43 3^{14n –7}4¹⁴ⁿ⁻⁷ se divise par 49 3^{10n –5}4¹⁰ⁿ⁻⁵ se divise par 181 3^{14n –7}4¹⁴ⁿ⁻⁷ se divise par 379 Montrons la dernière affirmation :

pour n=1 : 3⁷4⁷=18571=49⋅379 n⇒n1 3^14n74^14n7=

3¹⁴⋅3¹⁴ⁿ⁻⁷4¹⁴⋅4¹⁴ⁿ⁻⁷=

3¹⁴⋅3¹⁴ⁿ⁻⁷3¹⁴⋅4¹⁴ⁿ⁻⁷4¹⁴−3¹⁴⋅4¹⁴ⁿ⁻⁷= 3¹⁴⋅3¹⁴ⁿ⁻⁷4¹⁴ⁿ⁻⁷4¹⁴−3¹⁴⋅4¹⁴ⁿ⁻⁷=

3¹⁴⋅3¹⁴ⁿ⁻⁷4¹⁴ⁿ⁻⁷4⁷−3⁷⋅4⁷3⁷⋅4¹⁴ⁿ⁻⁷= K⋅379M⋅379

Pour montrer que 3¹⁰⁵4¹⁰⁵ ne se divise pas par 5 , on observe que 4⁴–3⁴ se divise par 5

Supposons par l'absurde que 3¹⁰⁵4¹⁰⁵ se divise par 5 alors 3⁴⋅3¹⁰¹4⁴⋅4¹⁰¹ se divise par 5

alors 3⁴⋅3¹⁰¹3⁴⋅4¹⁰¹4⁴−3⁴⋅4¹⁰¹ se divise par 5 alors ₃⁴_⋅3¹⁰¹_3⁴⋅4¹⁰¹ se divise par 5

alors ₃¹⁰¹_4¹⁰¹ se divise par 5

on réitère le processus jusqu'à affirmer que ₃¹4¹=7 se divise par 5 CONTRADICTION

De même :

Pour montrer que 3¹⁰⁵4¹⁰⁵ ne se divise pas par 11 , on observe que ₄⁵_–3⁵ se divise par 11

ce qui va impliquer que 3⁰4⁰=2 se divise par 11 CONTRADICTION Pour montrer que 3¹⁰⁵4¹⁰⁵ ne se divise pas par 17 ,

on observe que 4¹⁶–3¹⁶ se divise par 17

ce qui va impliquer que 3⁹4⁹=524288 se divise par 17 CONTRADICTION Pour montrer que 3¹⁰⁵4¹⁰⁵ ne se divise pas par 19 ,

on observe que ₄¹⁸_–3¹⁸ se divise par 19

ce qui va impliquer que ₃¹⁵_4¹⁵=1073742067 se divise par 19 CONTRADICTION

Q 2:

N₁=2²⁰⋅2¹⁰⁵1 et 2¹⁰⁵1=3²⋅11⋅43⋅211⋅281⋅331⋅m

m composé de nombres premiers > 331 Le nombre de diviseurs de N₁ vaut 21⋅3⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2n = 2016⋅n

N₂=3²⁰⋅3¹⁰⁵1 et 3¹⁰⁵1=7²⋅31⋅43⋅61⋅211⋅271⋅m

m composé nombres premiers > 271 Le nombre de diviseurs de ^N2 vaut 21⋅3⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2n = 2016⋅n

N₃=5²⁰⋅5¹⁰⁵1 et ₅¹⁰⁵_1=3²_⋅7²⋅29⋅43⋅61⋅127⋅421m

m composé nombres premiers > 421 Le nombre de diviseurs de ^N3 vaut 21⋅3⋅3⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2n = 2016⋅n