D 1813 Un encadrement
Solution proposée par Pierre Renfer 1) Calcul du rapport d’aires
On utilise les coordonnées barycentriques dans le repère affine (A,B,C).
Le pied H de la hauteur issue de A, milieu de [AA’], a pour coordonnées :
2 2 2
2 2 2
c b a
c b a 0 H
La somme de ces coordonnées est 2a2
Ces coordonnées s’obtiennent en additionnant les coordonnées de somme a2, de A et A’.
Les coordonnées de A’ sont donc :
2 2 2
2 2 2
2
c b a
c b a
a ' A
Par permutation circulaire, on obtient les coordonnées de B’ et C’ :
2 2 2
2 2 2
2
c b a
c b a
a ' A
2 2 2
2
2 2 2
c b a
b
c b a ' B
2
2 2 2
2 2 2
c
c b a
c b a ' C
Pour avoir les coordonnées, de somme 1, de A’, B’, C’, il reste à diviser ces vecteurs colonnes respectivement par a2, b2, c2 .
Et le déterminant des vecteurs colonnes ainsi obtenus est le rapport S S' :
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 6 6 6 2 2 2
2 2 2
4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 6 6 6 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
c b a
) c b a ( ) c b a ( ) c b a 3 (
c b a
a c a c c b c b b a b a c b a c b a 3 2
c b a
a c a c c b c b b a b a c b a c b a
c c
b a c
b a
c b a b
c b a
c b a c
b a a
c b a
1 S
S'
2) Encadrement du rapport d’aires
La minoration est facile.
Comme le triangle est acutangle, les facteurs a2b2c2, a2 b2 c2, a2b2c2 sont positifs, (nuls si le triangle est rectangle).
Donc : 3 S S'
La valeur minimale 3 est obtenue pour les triangles rectangles.
Pour la majoration, on va poser : x a2, y b2, zc2 Par homgénéité, on peut supposer : xyz1
Alors :
z z 2 1 y
y 2 1 x
x 2 3 1
S
S'
On peut assimiler un triplet (x,y,z), de somme 1, à un point P intérieur à un triangle équilatéral IJK, barycentre de (I,x), (J,y), (K,z).
On suppose : xyz
Le fait que le triangle ABC est acutangle impose : xyz qui équivaut à : 2 x 1
Ces inégalités limitent le domaine du point P à l’intérieur du triangle MSG, privé de M, sur la figure :
Soit f la fonction qui au point P associe
z z 2 1 y
y 2 1 x
x 2 )1 z , y , x (f ) P
(f
On peut prolonger f par continuité au point M en posant : ,0 0 2
,1 2 f 1 ) M
(f
En effet :
) y x 1 xy (
1 ) y x ( 2 )
y x ( 1
) y x ( ) y x ( 2 1 xy
1 ) y x ( 2 ) y x ( 1
xy 4 ) y x ( 2 1 xy
1 ) y x ( ) 2 P (f
0 2
Donc : lim (f P)0
M
P
La fonction f est continue sur le compact T que constitue le triangle MSG, frontère comprise.
Elle atteint donc un maximum en un point de T.
On va montrer que ce maximum est atteint en un point de la frontière de T, car on n’obtient pas de point stationnaire à l’intérieur de T, par la méthode du multiplicateur de Lagrange.
En effet soit : g(P)(f P)( xyz1)
Alors les points stationnaires vérifient :
y 0 y 2 1 x
x 2 1 z ) 1 P z( g
x 0 x 2 1 x
z 2 1 y ) 1 P y( g
z 0 z 2 1 y
y 2 1 x ) 1 P x( g
2 2 2
La diférence des deux premères lignes donne : 0 z
y x
) z 2 1 ( ) x y (
2 2
2
Ceci est impossible pour un point P intérieur à T.
Il reste à étudier les trois côtés de la frontière de T :
Si P
MN , alors 2z 1 et (f P)0
Si P
SG , alors z y croît de la valeur 41 à la valeur 3 1.
Et
2
y 1 y 4 1 y
) y 2 1 ( y 2 1
1 y ) 4 P
(f 2 2 croît de 0 à 1.
Si P
GM , alors xy croît de la valeur 31 à la valeur 2 1.
Et
2
x 1 x 4 1 x
) x 2 1 ( x 2 1
1 x ) 4 P
(f 2 2 décroît de 1 à 0
Le maximum de la fonction f est donc 1 et cette valeur est atteinte au point G.
On conclut que le rapport S
S' est compris entre 3 et 4.
La valeur minimale 3 est atteinte pour les triangles ABC rectangles.
La valeur maximale 4 est atteinte pour les triangles ABC équilatéraux.
