A216 – Les aiguilles de l’horloge sont-elles des bissectrices ?
Solution
Cela n’arrive jamais.
Soient αh,αm,αs les angles formés respectivement par les aiguilles des heures, minutes et secondes. Si t est le temps qui s’est écoulé depuis minuit, ces angles exprimés en radians sont égaux à :
α = 2 π t/43200, h α =2 π t/3600 et m α =2 π t/60. s
Supposons que partant du sommet de l’horloge dans le sens des aiguilles, on rencontre d’abord l’aiguille des heures puis celle des minutes et enfin celle des secondes. L’angle de 120° entre les deux premières rencontrées est tel que
m h -α
α =2π /3 +2 π n avec n entier positif, 0n12. De la même manière avec les aiguilles des minutes et des secondes, on doit avoir la relation : αm-αs=2π /3 + 2 π m avec m entier positif, 0m60.
D’où le système de 2 équations en t, n et m : 2π t/43200 - 2 π t/3600 = 2 π /3 + 2 π n 2π t/3600 - 2 π t/60 = 2 π /3 + 2 π m
En éliminant t, on obtient une relation entre m et n : (3600*m+1200)/59 = (43200*n+14400)/11 m = (2124*n+697)/33.
Cette dernière équation ne donne jamais de solution entière pour m quand n varie entre 0 et 12.
