RIVI~ES ET LE THI~0R~ME DE M. SAXER. Par

(1)

SUR LES VALEURS EXCEPTIONNELLES DES FONCTIONS DE-

RIVI~ES ET LE THI~0R[~ME DE M. SAXER.

Par

TItI~ODORE VAROPOULOS

k PARIS.

I. On doit ~ M. Saxer 1 des propositions remarquables concernant les fonctions enti~res d'ordre quelconque, et en particulier la suivante:

Soit g(x) une fonction entitle, et considdrons ses deux tn'emi~res ddriv6es g'(x), g"(x); s'il n'y a qu'un hombre fini de valeurs de x qui annulent l'une des fonctions g(x),g'(x),g"(x) sans a,nuler les auh'es, la fonction g(x) a n6cessairement la forme

g(x) =p(x)~(=)

p(x), q(x) $tant des polynomes.

M. Saxer, pour d6montrer cette proposition, s'appuie sur l'impossibilitd d'u~e identit~ de la forrne

.(x)eJ,(') + #(x)d.(~) + r(x)A'(x) + ~(x)=o,

6tant des polynomes et fl(x),f~(x) des Jbnctions enti~re,% si l'on

**. (x), # (x), r (x), * (x)**

a a la lois

a (x) ~ O, f l (x) ~ const.

2. Dans ce qui suit j'dtablis, suivant les indications de M. Montel, quel- ques propositions concernant les valeurs exceptionneUes des fonctions en~i~res et d'une elasse de fonctions mdromorphes et ensuite j'expose une d6monstration du thdor~me de M. Saxer bas6e sur le lemme suivant.

i Ueber die Picardschen Ausnahmewerte sukzessiver Derivierien. Math. Zeitschrift t. I7 (I923), p. 2o6--227 (Th~se, Ziirich 1923).

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24 Th6odore Varopoulos.

I. T h ~ o r 6 m o : Si une fonction enti~re g (x) admet la valeur a comme valeur exceptionnelle (au sens de MM. P i c a r d , Borel) sa ddriv6e g' (x) admettra 0 comme valeur exceptionnelle (au sens de M. Borel) seulement.

En effet, la f o n c t i o n enti~re g (x) se me~tra sous la f o r m e g (x) = a + (x) eQ %

p (x) ~tan~ u n p o l y n o m e si la valeur a es~ exceptionneUe au sens de M. P i c a r d ou u n e f o n c t i o n d ' o r d r e inf~rieur 's celui de la f o n c t i o n g (x) si la valeur a est exceptionnelle au sens de M. Borel.

I1 vient

g' (x) = IF (x) + p Q' (x)]

il est 6viden~ que l'ordre de la croissance de la f o n c t i o n p ' (x) + p (x) Q' (x) est inf6rieur s celui de la f o n c t i o n g (x). Or, M. Valiron a dgmontr6 que l'ordre de la d6riv6e g' (x) est le m~me que celui de la f o n c t i o n g (x). ~

On volt donc que la valeur o est bien une valeur exceptionnelle p o u r la d~rivde au sens large du mot e z c e p t i o n n e l (au sens de IV[. Borel).

I I . Le th6orSme r e s t e r a vrai si on l'afTlique f, une fonction enti~'e diz~s6e f ( x ) .

par un polynome c'est&-dire "~ une f o n c t i o n de la f o r m e 9 - - p ( x )

E n effet il suffit de m o n t r e r q u ' u n e telle f o n c t i o n ne sauraR pas a d m e ~ r e deux valeurs excep~ionnelles a, b. S'il en d~ai~ ainsi on a u m i t

f ( x ) : ap (x) + f l (x) e ~,(~) f ( x ) ~- bp (x) + f~ (x)e '~-(~) ce qui nous c o n d u i r a i t s l'identit6

(b -- a)p (x) -~./l (x) e~ ,(~) --f~ (x) e q~(~) , (a ~ b) off p (x) est un p o l y n o m e ~ o, ~ (x), ~ (x) des fonctions enti~res n o n constantes, f l (x), f~ (x) des fonctions enti~res d ' o r d r e infdrieur s celui de f ( x ) .

Une telle identit~ est impossible.

I I I . Consid6rons une fonction de la forme f ( x ) ~ X ) ; f ( x ) , g (x) 6tant des fonctions nuiromo~Thes. Si eUe admet la valeur a cornme exceptionnelle au sens de M M . Pieard, Borel alors (a fonction f ( x ) g' (x) --.)r (x) g (x) admettra ndcessairement la valeur z6ro 1 Sur les zdros des fonctions entibres d'ordre infini (C. R. 2I mars 1921 , t. 172 , pp. 741--744)-

(3)

Sur les valeurs exceptionnelles des fonctions d6rivdes et le thdor6me de M. Saxer. 25

comme valeur exceptionnelle 1 lorsque f ( x ) et g(x) ont des' ordres de crois~'anee d~f- ]~rents.

Nous pouvons t o u j o u r s supposer sans nuire s la g~n~ralit5 que l'ordre de la f o n e t i o n f ( x ) est sup~rieur s eelui de g (x). A cet effet nous n ' a v o n s qu's p r e n d r e

I

g(x) ~t la place de f ( x )

f(x)

N o t r e fonction se m e t t r a sous la f o r m e

,f(x)

(-x-) = a + -g ( ~ e'pC:)

f, (~)

e t a n t une f o n e t i o n entibre qui croit moins rite que f ( x ) et q~ (x) une lone-

A (x)

tion enti~re.

I1 vient

d'off

9

f' .q g].f g'

=

t .q"

+ .

f ' (~)9 (.~) - f ( x ) 9 ' (x) = {f,'.q - fl .<I' + a A ~']e'p (~)

et eomme l'ordre de la f o n c t i o n f l ' g - - f i g ' + g f l q~' est infdrieur '2 eelui d e f g --2"g' on voit que la valeur o est bien une valeur exeeptionnelle au sens large du m o t exceptionnel.

IV. Sous les m~mes conditions la fonction f (x) g~x) admettra la valeur a comme valeur exceptionnelle au sens de M. Borel.

E n effet nous avons

.f(x) = ag (~)+A (x) ~'~,~

p a r consdquent

f (x) = ~g' (x) + [A' (x) + A ~,' (x)} ~';,(~) f (x) = ag' (x) +f~ (x)e~ ,(~'1

au sens f2 (x) d e s i g n a n t u n e f o n c t i o n qui erolt moins vile que f ( x ) , done

f (x) . f~ (x) ,r (~)

.q' (x) - a ~ g, (x)

~ '

et la v a l e u r a est bien une valeur exceptionnelle pour la f o n c t i o n f ( x ) de M. Borel.

i A u s e n s d e M. B o r e l .

4 - - 2 7 3 7 7 . Acta mathematica. 51. l m p r i m 6 le 13 n o v e m b r o 1927.

(4)

26 Thdodore Varopoulos.

Y. Voici m a i n t e n a n t c o m m e n t on arrive s o b t e n i r la proposition de M.

Saxer.

Consid6rons les trois f o n c t i o n s g (x),

g' (x), g" (x) et

supposons qu'elles n ' o n t pas de racines

non

communes. N o u s pouvons poser

g (x) = ~ (x) :,(x)

g' (x) = ~ (x)e o.x) .q" (x) = ~ (x)e ~

9o (x), ol (x), a 2 (x), a s (x) d6signant des f o n c t i o n s entibres.

g' g "

- ~ e f ' ( ~ ) , - 7 ~ e J ~ ( ~ ) ; ./'1 ~ a ~ . - - o ~ ,

g g

et en dliminan~ g il vien~

ce qui nous f o u r n i t

Une telle expression

On en d~duit

f ~ - = s ~ - ~

I - - 0 f ' - S ' =

[e-S'] '.

est impossible s i f l ~ const, car la f o n c t i o n

e -r,

ad- m e t t a n t la valeur o comme valeur exceptionnelle sa d~riv6e ne p e u t a d m e t t r e a u t r e valeur exceptionnelle que la valeur o selon la p r o p o s i t i o n 1.

D o n c

g' (x) __ const.

9 (x)

et alors n o t r e f o n c t i o n enti~re g (x) serait de la f o r m e .q (x) = e ~ + "

), /x 6rant des constantes.

Supposons m a i n t e n a n t que les trois fonctions

g,g',g"

o n t les m~mes racines sauf u n n o m b r e fini de racines qui ne sont pas communes, nous pouvons alors poser

g' (x) = q (x) 9o (x) e"~('~) .q" (~) = ~. (x) ~ (~) :,c~)

p, q, r d t a n t des polynomes; ~ , a~, a~, as d~signant des f o n c t i o n s entibres.

(5)

Sur les valeurs exceptionnelles des fonctions d6riv6es et le th~or~me de M. Saxer. 27

avec

On en d6duit

E n p r e n a n t la

~galit4, il vient

c ' e s t ~ - d i r e

q.' = q _ ( r ?P = g p (x) ' g q txJ

A (x) --- ~ - - ~ , , f~ (~) --- ~ - o~.

d6riv~e l o g a r i t h m i q u e des deux

PP P P

'q9' 9 _ q' P + A' (x)

g q 1)

q ' t0 p

_~eJ~ - - q_ ~f, = + f , ' (x)-

q P q P

m e m b r e s de la p r e m i e r e

En m u l t i p l i a n t les deux m e m b r e s par---P-e-S,(') nous ob~enons q

[+ ]

_ P _ r e f , - s , ~ q - - p q

i q~ q, fl' (x) e -I,(x)

L ]'

^{19e -A(~)} ^{~ I}^- P~: e r , - ~ , 9 ^q~

Le cas off f 2 - - f l ~ const, n e p e u t p a s s e p r e s e n t e r car la f o n c t i o n ~ e -f,(x) q qui est une f o n c t i o n enti~re divisde p a r u n p o l y n o m e a d m e t la v a l e u r z~ro c o m m e valeur exceptionnelle et a l o r s sa d~riv6e selon la p r o p o s i t i o n I I ne p e u t a d m e t t r e a u t r e v~leur exceptionnelle que la v a l e u r o, or s i f l - - f 2 6fair diff6rent d ' u n e c o n s t a n t e la d~riv6e a d m e t t r a i t la valeur I alors qu'eUe a d m e t d6js la valeur o c o m m e valeur exceptionnelle.

E x a m i n o n s le cas off f o - - f l ~ const.

~ O U S a v o n s

e - s (x) = = f o n c t i o n rationneUe et alors

P e - A (~) ~ P (x) + log Q (x) q

(6)

~ 8 Theodore Varopoulos.

P(x)

dtant rationneile et

Q (x)

de la forme Q (x) : H ( x , a,)%

les a, dtant des hombres complexes quelconques comme il nous r a remarqu~ i~[.

NSrlund.

De notre identit~ r~sulte que Q (x) se r~duit '~ une coustante ct alors A (x) = const.,

I

par consequent le quotient-g-se r~duit k une fonction rationnelle.

g Donc, en int~grant

log g (x) = ~ (x) + lo~ A (x)

B(x)

dtant rationnelle et

A (x)

de la forme A (x) : T/(x -- a,)",

a, dtant des nombres complexes quelconques. P a r consdquent g (x) - { ~ ( x - a,)~ } e~(~)

et comme la fonction g (x) cst supposde enti~re alors la rationnelle B (x) dolt se r~duire ~ un polynome.

N o t o n s que les trois fonctions g (x), g' (x), g" (x) out bien un hombre fini de rucines non communes lorsque g (x) est de la forme

( I I ( x -- a,)", }e B(~)

B ( x ) grant un polynome et les a, des nombres complexes quelconques.

VI. Th~or~me. Soit une fonction enti~,re g (x) et g' (x) sa ddrivde. S'il n'y a qu'un hombre fini de valeurs de x qui annule, t l'une des f o , ctions g (x),g' (x) sans annulet l'autre, le hombre des racines communes est 9qni.

En effet, puisque le nombre des racines non communes es~ fini les fonctions g(x),g'(x) peuvent se mettre sous la forme

a (x) = p (z) r (x) eJ,(~) g' (x) = q (x)r (x) e1,(~)

p (x), q (x) ~tant des polynomes; r (x),f~ (x),f2 (x) d~signant des fonctions enti~res.

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Sur les valeurs exceptionnelles des fonctions d~riv~es et le th~or~me de M. Saxer. 29 I1 est facile de montrer que ~ (x) a un nombre fini de racines, c'est-~-dire qu'il est de la forme

r (x) e Q (~').

En effet, nous avons

g' (x) _ q (x) ef~-~, = p' (x) + ~' (x)

g (x) - p (x) p ( x ) ~ + A ' (x),

~'

(x)

on volt donc que ~ n'admet qu'un nombre fini de pSles, par consdquent la fonction ~ (x) ne peut admettre qu'un nombre fini de z6ros.

Cette proposition peut encore s'~noncer de la mani~re suivante: Consid~rons une fonction enti~re g (x) et sa d~riv~e g' (x). S i le hombre des racines non communes des fonctions g (x), g' (x) est fini, le hombre des racines communes est aussi fini.

Paris, D6cembre I925.