N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
Condition pour que quatre droites soient les génératrices d’un même système d’un hyperboloïde
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 5 (1886), p. 158-160
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CONDITION POUR QUE QUATRE DROITES SOIENT LES GÉNÉRA TRICES D'UN MÈNE SYSTÈME DTN HYPERROLOIDE;
PAR IN ANCIEN ÉLÈVE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE.
Soient
X X X X
— •^2
« 2
« 3
—-n Y Y Y Y
—y*
—y* _
&3
Z
z z z
C l -—-2
c2
— - 3
( l 59 )
Jes équations des quatre droites; posons
Cy b - = l^ aZ CX — m ? fa ay _ n^
et soient
U ) X—x _ Y—-y _ Z — z a ~~ b ~ c
les équations d'une nouvelle droite. Pour que les droites (i) fassent partie des génératrices d'un même système d'un hyperboloïde, il faut qu'une infinité de droites, telles que (2), les rencontrent; il faut donc que l'on ait
i—x yi—y Zi—x
a b c
aL bt et
pour i = 1, 2, 3 , 4? ('e (lul peut s'écrire
lai-h mbi-\- iici-\- ali-h bmi-h cni= o;
d'où l'on conclut
ah cn2
b\
Posant
a
° donc
i bx
2 b2
v ôv
C2 ^2
Cv ^r a
' •
= L.
. fh
2 2 C l C2
i\r,
= N,
«L J-
Cela doit avoir lieu pour une inimité de valeurs de
<7, /;, c et, en particulier, pour des valeurs a\ b'', c'\
n\ //', c"; a//;, i/7/, cw, telles que l'on n'ait pas
h c h" c"
V" c'"
= o,
sans quoi les directions a', / / , c'^ ^/", / / , r/y ; r/;//, />w, cw
seraient parallèles à u n même p l a n ; donc on doit avoir L = o, Aï = o, ÎST = o :
telles sont les conditions cherchées.
