Enonc´e noI152 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
1) Un chemin qui garantit l’acc`es de Z´ephyrin au champ de carottes est d´efini de la fa¸con suivante :
– Z´ephyrin part en ligne droite dans une direction quelconque ; il s’arrˆete au bout de 115,50 m`etres s’il n’est pas sorti du serpolet ;
– il tourne alors de 120 degr´es et repart en ligne droite ; au bout de 115,50 m`etres au plus, il est sorti du serpolet ;
– si `a un moment quelconque Z´ephyrin arrive au champ de pommes de terre, il lui tourne le dos pour traverser en 100 m`etres la bande de serpolet.
En effet, les deux trajets de 115,50 m font passer Z´ephyrin par les 3 sommets d’un triangle ´equilat´eral de hauteur 100,02 m. Aucune disposition d’un tel triangle ne peut ˆetre compl`etement int´erieure `a une bande de 100 m de largeur.
Il en r´esulte que Z´ephyrin arrivera au champ de carottes en moins de 331 m`etres.
2) Pour trouver Z´ephyrine, une m´ethode consiste `a partir dans une direction Oxet `a utiliser d’abord les indications de Goupil pour localiser la projection surOx du point o`u est Z´ephyrine.
Si Goupil lui dit que son dernier bond l’a ´eloign´e (E), Z´ephyrin fait demi- tour ; s’il s’est rapproch´e (R), Z´ephyrin continue dans le mˆeme sens. Quand la s´equence des 3 derni`eres r´eponses estRER, Z´ephyrin est dans l’axe d’une bande de largeur 10 m`etres o`u se trouve Z´ephyrine. Cela lui a demand´e, si x est (en d´ecam`etres) l’abscisse de Z´ephyrine `a partir de l’origine O, un nombre de bonds
b|x−1|+ 3,5c.
Mais si x+ 0,5 est entier, Goupil dira `a un certain moment que le dernier bond a laiss´e Z´ephyrin `a ´egale distance, Z´ephyrin peut alors s’arrˆeter, se trouvant dans l’axe d’une bande de largeur 10 m`etres en bordure de laquelle est Z´ephyrine, apr`es un nombre de bonds|x−1|+ 1,5.
Z´ephyrin tourne alors `a angle droit et longe l’axe de la bande selon la mˆeme m´ethode. Si la distance de Z´ephyrine `a Ox est y (compt´ee alg´ebriquement en d´ecam`etres dans la direction que prend alors Z´ephyrin), Z´ephyrin arrive en vue de Z´ephyrine au bout de (au plus)
b|y−1|+ 2−0,5√
3cbonds suppl´ementaires.
Cas de la distanceD= 20 m`etres
Avec cette m´ethode (pas forc´ement optimale), Z´ephyrin trouve Z´ephyrine en 9 bonds dans le cas le plus d´efavorable (par exemple (x, y) voisin de (−1,6,−1,2)).
On peut remarquer que sans l’assistance de Goupil, Z´ephyrin obtiendrait le mˆeme r´esultat de la fa¸con suivante : un premier bond selon Ox, un second
1
bond amenant Z´ephyrin `a la distance 10 q
1 + 1/√
2 m`etres de O, puis 7 bonds restant `a cette mˆeme distance de O (et parcourant les sommets d’un octogone r´egulier de cˆot´e 10 m). On peut voir que les champs de vision de Z´ephyrin (10 cercles de rayon 10 m`etres) centr´es en ces points et O recouvrent le cercle de 20 m`etres de rayon ainsi que son int´erieur.
Cas de la distanceD= 30 m`etres
La m´ethode d´ecrite marche en 10 bonds, par exemple pour (x, y) = (−60/29,−63/29).
Cas de la distanceD= 10N m`etres
La m´ethode indiqu´ee conduit `a un ordre de grandeur deN√
2+5 ou 6 bonds.
2
