G20031. T´ etra` edres ` a peindre
On aN couleurs pour peindre des t´etra`edres r´eguliers de mˆeme taille (une seule couleur par face ; un mˆeme t´etra`edre peut avoir des faces de plusieurs couleurs, mais pas forc´ement de couleurs toutes diff´erentes). Combien de t´etra`edres distincts par leur(s) couleur(s) peut-on faire ?
Solution
Comptons successivement les t´etra`edres monocolores, bicolores, tricolores et quadricolores.
Un t´etra`edre monocolore est enti`erement d´etermin´e par le choix d’une couleur. Il y en a donc N.
Pour faire un t´etra`edre bicolore, on peut choisir les couleursc1, c2(CN2 pos- sibilit´es), puis le nombre (1, 2 ou 3) de faces de couleurc1 (3 possibilit´es), la ou les faces restantes ´etant de couleurc2. On v´erifie que la sym´etrie du t´etra`edre conduit `a un objet unique d`es lors que l’on a fait ces deux choix.
On obtient ainsi 3CN2 t´etra`edres bicolores.
Pour faire un t´etra`edre tricolore, on peut choisir les couleursc1, c2, c3 (CN3 possibilit´es), puis celle des couleurs qui figure sur deux faces (3 possibi- lit´es). Le choix de la couleur d´edoubl´ee c1 et d’un couple non ordonn´e {c2, c3} pour les deux autres couleurs d´etermine le t´etra`edre de fa¸con unique. Posons en effet par exemple le t´etra`edre sur sa base de couleur c2. On peut ensuite le faire pivoter pour avoir face `a soi la couleur c3 et les deux derni`eres faces sont alors n´ecessairement de la couleurc1. Il y en a donc 3CN3.
La constitution d’un t´etra`edre quadricolore n´ecessite de choisir 4 couleurs parmiN soitCN4 possibilit´es, mais il convient de remarquer que l’on peut obtenir deux t´etra`edres non superposables avec un mˆeme quadruplet de couleurs. En effet on peut toujours par exemple poser le t´etra`edre sur la base de couleur c1, puis proc´eder `a une rotation pour amener la couleur c2 face `a soi et il y a alors deux possibilit´es de placer la couleurc3 soit `a droite soit `a gauche. Il y a donc 2CN4 t´etra`edres quadricolores.
Il ne reste plus qu’`a additionner les 4 termes pour trouver le r´esultat remarquablement simple suivant : N2·(N2+ 11)
12 , vrai pour toutN ≥0.
Ce r´esultat s’´ecrit aussi CN4 +CN+34 = CN4 +KN4, somme des nombres de combinaisons sans r´ep´etition et avec r´ep´etition. On peut le justifier directement comme suit : je fixe un ordre parmi les couleurs. Je tire une combinaison de 4 couleurs avec possibilit´e de r´ep´etition, soit c1 ≤ c2 ≤ c3 ≤c4. Je colorie enc1 une face et je pose le t´etra`edre dessus ; je colorie en c2 la face devant moi ; je colorie enc3 la face sur ma droite ; je colorie en c4 la face sur ma gauche. J’obtiens ainsi KN4 t´etra`edres distincts, dont tous ceux qui sont monocolores, bicolores, ou tricolores. Mais ce faisant, il manque ceux des t´etra`edres quadricolores qui sont les images dans un miroir desCN4 d´ej`a obtenus.
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