D319 – Corps flottant – [*** à la main]
Un polyèdre convexe flotte à la surface de l’eau. Est-il possible que 90% de son volume se trouve en dessous du niveau de l’eau tandis que plus de la moitié de sa surface est à l’air libre ?
Solution proposée par Jean Nicot On prend le niveau de l’eau pour z=0
On considère une pyramide régulière à base carrée de côté b située en z=0 et de hauteur h.
Son volume est v = b²h/3 et sa surface est s = 4b -sans la base
On considère un parallélipipède rectangle de base celle de la pyramide et de hauteur immergée H.
Son volume est V= b²H et sa surface S=b²+4bH.
On a V= 9v si H= 3h
On a S=s si b+4H= ou 128h²+24bh-3b²=0 d’où h/b=(-12 + = 0,0857
Si b=12cm, h+1,03cm, H= 3,08 cm
Le volume immergé est b²H = 444,96 cm3. La poussée d’Archimède est donc de 444,96 grammes.
La surface totale du polyèdre est 2*(b²+4bH)=583,7 cm²
Une paroi faite avec une plaque d’aluminium d’épaisseur 1mm correspond à un volume de 58,37 cm3 ; avec une densité de 2,7 g/cm3, le poids est 157,6g. On équilibre la poussée d’Archimède en lestant le fond avec 444,96-157,6=287,6 grammes.
Il est donc possible d’avoir un tel polyèdre.
