A4929. Une récidive MB
Soit i le chiffre qui suit 202, les 4 choix possibles pour les signes conduisent à
q=(p2+p+2020+i)
(3(p−3)) q=(p2+p+2020+i)
(3(p+3)) q=(p2−p+2020+i)
(3(p−3)) q=(p2−p+2020+i) (3(p+3))
On essaie les nombres premiers p en ne s'occupant que de la divisibilité, on examine ensuite la primalité des nombres q obtenus. On ne trouve rien pour p = 17 ou 29.
p=2 - - 135 2023 X
p=3 + - 113 2022 OUI
- - 113 2028 OUI
p=5 - - 85 2020 X
- + 340 2020 X
+ + 342 2022 X
- + 341 2026 X
+ + 343 2028 X
p=7 + + 173 2020 OUI
- + 172 2022 X
- - 69 2028 X
p=11 - + 89 2026 OUI
+ + 90 2028 X
p=13 + - 46 2026 X
p=19 + + 50 2020 X
p=23 + - 33 2022 X
+ + 43 2028 OUI
31 - - 29 2028 OUI
On retiendra les équations :
p² – 3pq + p – 9q +202i = 0 avec p=3, q= 113, i = 2, millésime 2022 p² – 3pq – p – 9q +202i = 0 avec p=3, q= 113, i = 8, millésime 2028 ou aussi p=31, q= 29, i = 8, millésime 2028 p² – 3pq + p + 9q +202i = 0 avec p= 7, q=173, i = 0, millésime 2020 ou aussi p= 23, q= 43, i = 8, millésime 2028 p² – 3pq – p + 9q +202i = 0 avec p= 11, q= 89, i = 6, millésime 2026.
Jusqu'à présent, parmi les quatre équations, la seule qui ait au moins deux solutions, pour une même valeur de i (i= 8), est la deuxième.
En reprenant uniquement cette équation
p² – 3pq – p – 9q +2028 = 0 et en poursuivant, on trouve une troisième solution : p = 337, q=113.
Cette équation a donc 3 couples de nombres premiers solutions : (3,113), (31, 29) et (337, 113)
