A2836. Déradicalisation MB
--- Q1) Avec k=4, p= 48 et q= 27, on a ( 481/4 +271/4 )² = √48 + √27 + 2(48*27)1/4 .
( 481/4 +271/4 )² = 4√3 +3√3 + 2 (24*34)1/4= 7√3 + 2*6 = 12 + 7√3.
√(12 + 7√3) = 481/4 +271/4 .
Q2) Sur le modèle de Q1, on résoud le système pq = (51/2)4 , √(p/17) +√(q/17) = 13, où p et q sont interchangeables.
En éliminant q : 4p – 52√(17p) + 2601 = 0 dont les solutions sont 1377/4 et 4913/4 Vérification : 1377 = 81*17 et 4913 = 173 ,
[(81*17/4)1/4+(173/4)1/4]4 = (9/2)√17 + (17/2)√17 + 2 [(81*17/4)1/4(173/4)1/4] (9+17)/2 = 13 et 2[(34 174)/ 24 ]1/4 = 3*17 = 51.
√(51 + 13√17) = (1377 / 2)1/4 +(4913 / 2)1/4 .
Q3) Parmi quelques identités démontrées par RAMANUJAN figure celle-ci
Simple vérification : (a+b+c)3 = a3 +b3+c3+ 3(ab²+a²b+bc²++b²c+c²a+ca²) +6abc Avec [a, b, c] = [3√(1/9) , – 3√(2/9), 3√(4/9) ] , on trouve :
a3 + b3 + c3 = 1/3, et 6abc = – 4/3
3(ab²+a²b+bc²+b²c+c²a+ca²) = (3/9)(3√4 –3√2– 3√32+ 3√16+ 3√16+ 3√4) = 3√2 Au total : 1/3 – 4/3 + 3√2 = 3√2 – 1 .
3√(3√2 – 1) = 3√1/9 – 3√2/9 + 3√4/9
