E621 Les lignes de partage[*** à la main]

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E621 Les lignes de partage[*** à la main]

Solution

Considérons le cas général de 2n points. Dans un ensemble de 2n points (n>1) qui ne sont pas colinéaires 3 à 3, il est toujours possible d’isoler un sous-ensemble E d’au moins trois points qui sont les sommets d’un polygone convexe entourant tous les autres points.

Si deux ces points sont de couleurs opposées, la droite qui les joint partage le plan en demi- plans dont l’un contient n- 1 points rouges et n – 1 points bleus. Cette droite répond au problème.

Si les trois points sont monocolores, on peut supposer sans perte de généralité que l’un des points du sous-ensemble E est de couleur rouge. On le désigne par R . Il existe alors une ₁ ligne L qui passe par R et partage le plan en deux demi-plans telle que les 2n-1points sont ₁ tous du même côté par rapport à L. Faisons pivoter L dans le sens trigonométrique. Au cours cette rotation, la droite va « ramasser » tous les points bleus B₁,B₂,....,B_net les autres points rouges R₂,R₃,....,R_n. On désigne par b et par _i r le nombre de points bleus et de points _i rouges respectivement ramassés par L avant que celle-ci ne soit passée par B . _i

Dès lors on a la relation b_i i1 et les inégalités 0r₁r₂...r_nn-1.

On va démontrer qu’il existe un indice j tel que b_jr_j pour un indice j compris entre 1 et n.

Soit x_i r_ib_i pour i =1,2,…,n. Alors x₁ r₁0 et x_n r_nb_nr_n(n1)0. La suite des nombres entiers x a pour premier terme un nombre positif ou nul tandis que le dernier terme _i

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est négatif ou nul. Le tableau ci-après donne la séquence des x correspondant à la figure _i établie ci-dessus avec 20 points :

Au fur et à mesure que l’indice i va croissant de 1 à n, r est non décroissant tandis que _i b _i s’accroît d’une unité. Il en résulte que la suite des x ne peut pas décroître de plus d’une unité _i quand on passe d’un terme au suivant . En effet x_i-x_i_₁(r_ir_i_₁)(b_i_₁b_i)011 pour tout i = 1,2,….,n. Comme x₁0 et x_n 0et qu’il n’y a pas de « saut » de 2 unités, il y a donc au moins un indice j tel que x_j0. Pour un tel indice j, on a bien b_j r_j et R₁B_j est la ligne de partage.Dans l’exemple des 20 points, il apparaît qu’il y a un seul indice j=9 qui donne x₉ 0si bien que la ligne de partage est R₁B₉ tracée à l’encre verte.

Comme le polygone convexe qui englobe les 2n points a au moins 3 sommets et que chacun des sommets de ce polygone appartient à une ligne de partage, il y a au total au moins deux lignes de partage distinctes.

Sur l’ensemble initial de 20 points, on observe que le nombre de lignes de partage dépasse largement 2. En voici plusieurs d’entre elles (sans recherche d’exhaustivité) :