A5917. Les inséparables **
Q₁ *
Les deux entiers 22021 et 52021 sont écrits l’un à la suite de l’autre en notation décimale pour former un seul entier.
Déterminer le nombre de chiffres de cet entier.
Q2 **
Déterminer tous les entiers strictement positifs n tels que 2n et 5n commencent par le même chiffre.
PROPOSITION Thérèse Eveilleau
Q₁
Le nombre de chiffres de l'entier N est l'entier immédiatement supérieur (ou égal) à son logarithme décimal soit : 1+
⌊
log(N)⌋
Pour 22021 , nous avons 1 +
⌊
2021 * log(2)⌋
SOIT 609.Pour 52021 , nous avons 1 +
⌊
2021 * log(5)⌋
SOIT 1413.Il y aura donc 2022 chiffres : 609 + 1413 = 2022 Q2
20 et 50 commencent par 1.
25 et 55 commencent par 3.
210 et 510 commencent par 1.
215 et 515 commencent par 3.
278 et 578 commencent par 3.
288 et 588 commencent par 3.
298 et 598 commencent par 3.
Il semble que le chiffre de début pouvant être commun est 3.
ANALYSE
Si 2n et 5n commencent par le même chiffre c, alors il existe deux entiers p et q tels que : c *10p < 2n < (c+1)*10p ET
c *10q < 5n < (c+1)*10q
Ces inégalités sont strictes car aucune puissance de 2 ou de 5 ne peut être un multiple de 10.
En multipliant membre à membre ces deux inégalités strictes , nous obtenons : c² *10p+q < 10n < (c+1)² *10p+q
c² < 10n-p-q < (c+1)²OR c est un chiffre non nul 1 c 9 DONC
1 c² < 10n-p-q < (c+1)² 100 SOIT 1 10n-p-q < 100 n-p-q = 1 Il s’ensuit que
c² < 10 < (c+1)²
c=3 est la seule valeur satisfaisant ces inéquations.
DONC, si les puissances nièmes de 2 et de 5 comment par le même chiffre, ce sera obligatoirement 3.
EXEMPLES donnant le même début.
Les puissances nièmes de 2 et de 5 commencent par 3 pour les exposants suivants :
Nous avons une série d’exposants allant de 10 en 10, puis nous avons « un saut de 63 » et on recommence...
Le décalage de 10 venant du fait que 210 et 510 sont très proches d’une puissance de 10 : 210 = 1 024 103
510 = 9 765 625 107
De même le décalage de 63 venant du fait que 263 et 563 sont très proches d’une puissance de 10.
263 = 9 223 372 036 854 775 808 1019
563 = 108 420 217 248 550 443 400 745 280 086 994 171 142 578 125 1044 etc.
15 ;
78 ; 88 ; 98 ; 108 ; 118 ; 181 ; 191 ; 201 ; 211 ; 274 ; 284 ; 294 ; 304 ; 367 ; 377 ; 387 ; 397 ; 407 ; 470 ; 480 ; 490 ; 500 ; 563 ; 573 ; 583 ; 593 ; 603 ; 666 ; 676 ; 686 ; 696 ; 759 ; 769 ; 779 ; 789 ; 852 ; 862 ; 872 ; 882 ; 892 ; 955 ; 965 ; 975 ; 985 ;
1048 ; 1058 ; 1068 ; 1078 ; 1088 ; 1151 ; 1161 ; 1171 ; 1181 ; 1244 ; 1254 ; 1264 ; 1274 ; 1284 ;
1347 ; 1357 ; 1367 ; 1377 ; 1440 ;1450 ; 1460 ; 1470 ; 1533 ; 1543 ; 1553 ; 1563 ; 1573 ; 1636 ; 1646 ; 1656 ; 1666 ; 1729 ; 1739 ; 1749 ; 1759 ; 1769 ; 1832 ; 1842 ; 1852 ; 1862 ; 1925 ; 1935 ; 1845 ; 1955 ; 2018 ; 2028 ; 2038 ; 2048 ; 2058 ; 2121 ; 2131 ; 2141 ; 2151 ; 2214 ; 2224 ;2234 ; 2244 ; 2254 ; 2317 ; 2327 ; 2347 ;
2410 ; 2420 ; 2430 ; 2440 ; 2503 ; 2513 ; 2523 ; 2533 ; 2543 ; 2606 ; 2616 ; 2626 ; 2636 ;
2699 ; 2709 ; 2719 ; 2729 ; 2739 ; 2802 ; 2812 ; 2822 ; 2832 ; 2895 ; 2905 ; 2915 ; 2925 ; 2988 ; 2998 ; 3008 ; 3018 ; 3028 : 3091 ; 3101 ; 3111 ; 3121 ; 3184 ; 3194 ;3204 ; 3214 ; 3224 ; 3287 ; 3297 ; 3307 ; 3317 ; 3380 ; 3390 ; 400 ; 3410 ; 3420 ; 3473 ; 3483 ; 3493 ; 3503 ; 3513 ; 3576 ; 3586 ; 3596 ; 3606 ; 3669 ; 3679 ; 3689 ; 3699 ; 3709 ; 3772 ;3782 ; 3792 ; 3802 ;
3865 ; 3875 ; 3885 ; 3895 ; 3905 ; 3968 ; 3978 ; 3988 ; 3998 ; etc.
Recherche faite avec le programme de base :
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/puissance.html Les fichiers .swf tournent an autonomie avec :
flashplayer_32_sa.exe OU
FlashPlayer.exe à trouver sur le web...
